Recherche:Résolution idéale au plus près de systèmes non-linéaires à base de fonctions/Préalable

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À COMPLETER

Préalable

Généralisation G1 : système simplifié à m équations et 2m+1 inconnues

Système en sinus m/2m+1

Soit le système simplifié en sinus à résoudre idéalement au plus près :

${\begin{cases}y_{1}+a=k_{1}\times \sin(1w)\\y_{2}+b=k_{2}\times \sin(2w)\\y_{3}+c=k_{3}\times \sin(3w)\\\cdots \\y_{m}+m=k_{m}\times \sin(mw)\\\end{cases}}$ OU AUSSI : ${\begin{cases}y_{1}+a=k\times \sin(1w)\\y_{2}+b=k\times \sin(2w)\\y_{3}+c=k\times \sin(3w)\\\cdots \\y_{m}+m=k\times \sin(mw)\\\end{cases}}$

Réduire le système :

${\begin{cases}y_{1}+a=k_{1}\times \sin(w)\\{\frac {y_{2}+b}{y_{1}+a}}={\frac {k_{2}}{k_{1}}}\times 2cos(w)\\{\frac {y_{3}+c}{y_{1}+a}}={\frac {k_{3}}{k_{1}}}\times \left(-1+4cos^{2}(w)\right)\\\cdots \\\cdots \\{\frac {y_{m}+m}{y_{1}+a}}={\frac {k_{m}}{k_{1}}}\times \cdots \\\end{cases}}$ OU AUSSI : ${\begin{cases}y_{1}+a=k\times \sin(w)\\{\frac {y_{2}+b}{y_{1}+a}}=2cos(w)\\{\frac {y_{3}+c}{y_{1}+a}}=-1+4cos^{2}(w)\\\cdots \\\cdots \\\cdots \\{\frac {y_{m}+m}{y_{1}+a}}=\times \cdots \\\end{cases}}$

Système en cosinus m/2m+1

Soit le système simplifié en cosinus à résoudre idéalement au plus près :

${\begin{cases}y_{1}+a=k_{1}\times (1-\cos(1w))\\y_{2}+b=k_{2}\times (1-\cos(2w))\\y_{3}+c=k_{3}\times (1-\cos(3w))\\\cdots \\y_{m}+m=k_{m}\times (1-\cos(mw))\\\end{cases}}$ OU AUSSI : ${\begin{cases}y_{1}+a=k\times (1-\cos(1w))\\y_{2}+b=k\times (1-\cos(2w))\\y_{3}+c=k\times (1-\cos(3w))\\\cdots \\y_{m}+m=k\times (1-\cos(mw))\\\end{cases}}$

Réduire le système :

${\begin{cases}y_{1}+a=k_{1}\times \sin(w)\\{\frac {y_{2}+b}{y_{1}+a}}={\frac {k_{2}}{k_{1}}}\times 2(1+cos(w))\\{\frac {y_{3}+c}{y_{1}+a}}={\frac {k_{3}}{k_{1}}}\times (1+2cos(w))^{2}\\\cdots \\\cdots \\{\frac {y_{m}+m}{y_{1}+a}}={\frac {k_{m}}{k_{1}}}\times \cdots \\\end{cases}}$ OU AUSSI : ${\begin{cases}y_{1}+a=k\times \sin(w)\\{\frac {y_{2}+b}{y_{1}+a}}=2(1+cos(w))\\{\frac {y_{3}+c}{y_{1}+a}}=(1+2cos(w))^{2}\\\cdots \\\cdots \\{\frac {y_{m}+m}{y_{1}+a}}=\times \cdots \\\end{cases}}$

Généralisation G2 : système simplifié à m équations et 2m inconnues

Système en sinus m/2m

Soit le système simplifié en sinus à résoudre idéalement au plus près :

${\begin{cases}y_{1}+0=k_{1}\times \sin(1w)\\y_{2}+b=k_{2}\times \sin(2w)\\y_{3}+c=k_{3}\times \sin(3w)\\\cdots \\y_{9}+i=k_{9}\times \sin(9w)\\\cdots \\y_{m}+m=k_{13}\times \sin(mw)\\\end{cases}}$ OU AUSSI : ${\begin{cases}y_{1}+0=k\times \sin(1w)\\y_{2}+b=k\times \sin(2w)\\y_{3}+c=k\times \sin(3w)\\\cdots \\y_{m}+m=k\times \sin(mw)\\\end{cases}}$

Réduire le système :

${\begin{cases}y_{1}+0=k_{1}\times \sin(w)\\{\frac {y_{2}+b}{y_{1}+0}}={\frac {k_{2}}{k_{1}}}2cos(w)\\{\frac {y_{3}+c}{y_{1}+0}}={\frac {k_{3}}{k_{1}}}\left(-1+4cos^{2}(w)\right)\\\cdots \\\cdots \\{\frac {y_{m}+m}{y1+0}}={\frac {k_{m}}{k_{1}}}\cdots \\\end{cases}}$ OU AUSSI : ${\begin{cases}y_{1}+0=k\times \sin(w)\\{\frac {y_{2}+b}{y_{1}+0}}=2cos(w)\\{\frac {y_{3}+c}{y_{1}+0}}=-1+4cos^{2}(w)\\\cdots \\\cdots \\{\frac {y_{m}+m}{y1+0}}=\cdots \\\end{cases}}$

Système en cosinus m/2m

Soit le système simplifié en cosinus à résoudre idéalement au plus près :

${\begin{cases}y_{1}+0=k_{1}\times (1-\cos(1w))\\y_{2}+b=k_{2}\times (1-\cos(2w))\\y_{3}+c=k_{3}\times (1-\cos(3w))\\\cdots \\y_{m}+m=k_{m}\times (1-\cos(mw))\\\end{cases}}$ OU AUSSI : ${\begin{cases}y_{1}+0=k\times (1-\cos(1w))\\y_{2}+b=k\times (1-\cos(2w))\\y_{3}+c=k\times (1-\cos(3w))\\\cdots \\y_{m}+m=k\times (1-\cos(mw))\\\end{cases}}$

Réduire le système :

${\begin{cases}y_{1}+0=k_{1}\times \sin(w)\\{\frac {y_{2}+b}{y_{1}+0}}={\frac {k_{2}}{k_{1}}}\times 2(1+cos(w))\\{\frac {y_{3}+c}{y_{1}+0}}={\frac {k_{3}}{k_{1}}}\times (1+2cos(w))^{2}\\\cdots \\\cdots \\{\frac {y_{m}+m}{y_{1}+0}}={\frac {k_{m}}{k_{1}}}\times \cdots \\\end{cases}}$ OU AUSSI : ${\begin{cases}y_{1}+0=k\times \sin(w)\\{\frac {y_{2}+b}{y_{1}+0}}=2(1+cos(w))\\{\frac {y_{3}+c}{y_{1}+0}}=(1+2cos(w))^{2}\\\cdots \\\cdots \\{\frac {y_{m}+m}{y_{1}+0}}=\times \cdots \\\end{cases}}$

Généralisation G3 : système simplifié à m équations et m+3 inconnues

Système en sinus m/m+3

${\begin{cases}y_{1}+a=k\times \sin ^{2n+1}(1w)\\y_{2}+b=k\times \sin ^{2n+1}(2w)\\y_{3}+c=k\times \sin ^{2n+1}(3w)\\\cdots \\y_{m}+m=k\times \sin ^{2n+1}(mw)\\\end{cases}}$

Système en cosinus m/m+3

${\begin{cases}y_{1}+a=k\times (1-\cos ^{2n+1}(1w))\\y_{2}+b=k\times (1-\cos ^{2n+1}(2w))\\y_{3}+c=k\times (1-\cos ^{2n+1}(3w))\\\cdots \\y_{m}+m=k\times (1-\cos ^{2n+1}(mw))\\\end{cases}}$

Généralisation G4 : système simplifié à m équations et m+3 inconnues

Système en sinus m/m+3

${\begin{cases}y_{1}+a=k\times \sin(1^{2n+1}w)\\y_{2}+b=k\times \sin(2^{2n+1}w)\\y_{3}+c=k\times \sin(3^{2n+1}w)\\\cdots \\y_{m}+m=k\times \sin(m^{2n+1}w)\\\end{cases}}$

Système en cosinus m/m+3

${\begin{cases}y_{1}+a=k\times (1-\cos(1^{2n+1}w)\\y_{2}+b=k\times (1-\cos(2^{2n+1}w)\\y_{3}+c=k\times (1-\cos(3^{2n+1}w)\\\cdots \\y_{m}+m=k\times (1-\cos(m^{2n+1}w)\\\end{cases}}$

On se servira des w:Polynôme de Tchebychev