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Recherche:Sur les nombres récursivement ordinallement premiers

Sur les nombres récursivement ordinallement premiers
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Ce travail de recherche vise à explorer les propriété des nombres récursivement ordinallement premiers :

  • fréquence d’occurrence ;
  • cycloréductions[note 1] relatives ;
  • éventuelles propriétées remarquables annexes.

Contexte

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Les joies de la parentalité offrent moult opportunités d’étendre nos propres connaissances. Ce projet trouve son origine dans la question « quel âge a-t-elle ? », que les jeunes parents ont souvent l’occasion de se voir poser. C’est cette question qui a ici amené à se demander, « effectivement quel âge a-t-elle ? », et plus précisément, combien de cycles circadiens a-t-elle effectué ? Un rapide calcul, donne la réponse 911. Neuf cent onze, me suis-je dit alors, n’est-ce pas là un nombre premier ? Oui, et même un nombre premier de Sophie Germain, un nombre d'Eisenstein premier, ainsi qu’un nombre premier de Chen ! Formidable jour s’il en est, il fallait forcément féliciter l’intéressée, pour son 156-ième jour premier ! De là, se demander quand serait son prochain jour premier[note 2] était irrésistible. D’autant que celui-ci serait lui même ordinallement premier dans la suite des nombres premiers, puisque 157 est effectivement premier. Et 157, est lui même le 37-ième nombre premier, 37 étant le 12-ième nombre premier, un multiple de deux qui marque la fin de notre réduction par récursion sur l’ordinalité des nombres premiers.

Ainsi donc débute cette aventure à la (re?)découverte des nombres récursivement ordinallement premiers. Une rapide première recherche sur la toile n’ayant pas donné de résultat très probant sur cette thématique, l’idée de démarrer un projet de recherche pour aller plus avant sur ce thème s’en est suivi spontanément.

Notions

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Cette section fournit une première version informelle des concepts que cette recherche entend raffiner par des définitions et cycloréductions plus précises.

Le degré de premierté désigne ci-après le nombre d’itérations nécessaires pour obtenir un nombre non premier à partir de la démarche précédemment indiquée.

Les différents degrés sont nommés premierté nulle[note 3], premierté unième[note 4], premierté deuxième[note 5], premierté troisième, etc[note 6].

Un nombre sera qualifié de premier récursivement complet et dit de premierté intégrale s’il fait partie de la suite débutant par un et prenant comme successeur le nombre premier d’ordinal correspondant au tantième courant[note 7][note 8].

Cycloréductions afférentes

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Énumération des nombres premiers récursivement complets

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Une première implémentation rapide fourni le code suivant 

#!/bin/env ruby
# Implémentation non-optimisé en ruby, à copier/coller dans un script par exemple nommé "suite"
require 'prime'

# La limite est récupérée depuis la liste des arguments.
# Le passage par un nombre à virgule flottante offre plus de liberté de notation.
limit = ARGV[0].to_f.to_i
term = 1
loop do
  puts "#{term}"
  # Les éléments sont indexés à partir de zéro, d’où la soustraction
  term = Prime::EratosthenesSieve.instance.get_nth_prime(term-1)
  break if term > limit 
end
puts "#{term}"

Pour l’utiliser il suffit ensuite d’exécuter le script en passant une limite haute au-delà de laquelle arrêter la recherche, par exemple suite 1e8 pour obtenir la liste de toutes les termes de la suite jusqu’au premier dépassant la limite de cent millions : 1, 2, 3, 5, 11, 31, 127, 709, 5381, 52711, 648391, 9737333, 174440041. Une telle approche montre évidemment rapidement ses limites au niveau des ressources de calcul nécessaires étant donné la rapidité de la croissance de la suite.

Cela dit ces quelques entrées suffisent amplement pour en retrouver la trace sur internet, par exemple dans OEIS, une encyclopédie en ligne de suites numériques. Cette dernière fournie la liste des 23 premiers termes connus de la suite: 1, 2, 3, 5, 11, 31, 127, 709, 5381, 52711, 648391, 9737333, 174440041, 3657500101, 88362852307, 2428095424619, 75063692618249, 2586559730396077, 98552043847093519, 4123221751654370051, 188272405179937051081, 9332039515881088707361, 499720579610303128776791, 28785866289100396890228041.

Ces premiers éléments permettent de conclure qu’avec ses 911 jours révolues, ma petite bambina avait déjà dépassé son huitième jour premier récursivement complet ! Ce ne sera pas avant ses quatorze ans qu’une telle occasion se reproduira. Le jalon suivant à cent quarante-quatre ans est déjà peu probable au vu de la longévité connu à ce jour pour les êtres humains. L’étape suivante aurait mené une hypothétique personne née en l’an 1 à fêter le nombre premier récursivement complet correspondant en 1778 ! Il faudrait ensuite atteindre pas moins de 26 677 ans, un age que peu d’organismes sont susceptibles d’atteindre, à l’instar de la colonie clonale de peupliers faux-trembles (Populus tremuloides) et ses 80 000 ans ou de la posidonie (Posidonia oceanica) avec ses 200 000 ans[1].

Au-delà, il faudra chercher des entités pouvant respectivement se valoir d’une longévité en années[note 9] de

  • 10 020 548,
  • 242 090 006,
  • 6 652 316 231,
  • 205 653 952 378,
  • 7 086 465 014 783,
  • 270 005 599 581 078,
  • 11 296 497 949 738 000,
  • 515 814 808 712 156 300,
  • 25 567 231 550 359 146 000,
  • 1 369 097 478 384 392 000 000,
  • et 78 865 387 093 425 740 000 000.

En se tenant à l’estimation de quatorze milliards d’années attribuée à l’univers par la cosmologie contemporaine, seuls les trois premiers semble encore ouvert à de possibles candidats parmi les objets qui peuplent l’univers. Bref, malgré le peu de termes fournis ci-dessus, cela s’avère amplement suffisant pour ce qui est de célébrer les cycles circadiens premiers récursivement complets de n’importe quelle entité physique.

Évidemment une telle attitude relève largement d’un scandaleux anthropocentrisme, puisque des cycles bien plus courts sont mesurables dans la nature. Ainsi en se basant sur des cycles d’une durée de Planck, rapportée au présumé age de l’univers, il est possible d’envisager des quantités situées autour des 8 décillions[note 10]. À une telle échelle, l’ensemble des nombres sus-cités ne suffisent pas à énumérer tous les premiers récursivement complets d’entités ayant effectués autant de cycles. Tout cela sans compter les objets mathématiques encore sans usage dans la physique contemporaine. Ces développements sont laissés en exercice pour au lectorat[2].  

Détermination du degré de premierté d’un nombre

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Une première implémentation rapide fourni le code suivant 

#!/bin/env ruby
# Détermine le degré de premierté d’un nombre
require 'prime'
number = ARGV[0].to_f.to_i

def degree(value)
  #puts "#{value} (#{value.prime? ? 'prime' : 'not prime'})"
  return 0 if not value.prime?
  that = ordinal(value)
  return 1 + degree(that)
end

def ordinal(prime)
  limit = prime # assurément améliorable, pour peut qu’on dispose d'une 
  (0..limit).step do |index|
    that = Prime::EratosthenesSieve.instance.get_nth_prime(index)
    return index + 1 if that == prime
  end
  return 0
end

puts degree(number)

Ce qui permet par exemple d’exécuter premierté 919 et d’obtenir 3.

Construction de la suite des nombre complètement ordinallement premier

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Questions dérivées

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La démarche conduite jusque là ouvre à de nouvelles questions :

quelle est la fréquence pour chaque degré de premierté ?

Références

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  1. ↑ Quel est le plus ancien organisme vivant sur Terre ?
  2. ↑ Voici quand même une piste pour débuter : Quel est le plus grand nombre possible utile ?]

Ressources afférentes

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Notes

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  1. ↑ Synonyme à algorithme, préféré ici pour la congruité de son étymologie.
  2. ↑ 919
  3. ↑ Ou zérotième, ou zéroième. Tout nombre nombre non-premier est de premierté nulle
  4. ↑ Ou première
  5. ↑ Ou seconde
  6. ↑ Les férus de notations abscons se voient proposer d’en inventer une en tant qu’exercice.
  7. ↑ La primalité de un pouvant être sujet à débat, évidemment. En prenant comme définition tout nombre entièrement divisible seulement par un et lui même, un n’est pas à exclure. Si la définition rajoute une contrainte sur la cardinalité de l’ensemble des résultants à deux, alors un ne correspond plus. Dans ce cas, il suffira de prendre deux comme terme initial.
  8. ↑ Soit noté de manière plus symbolique :
    •  
    •  
  9. ↑ Simplifier à des années de 365 jours dans le cas présent.
  10. ↑ 8×10⁶⁰
  11. ↑ family of finite-differenced prime-indexed-prime sequences
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