Recherche:Sur les représentations des équations

Sur les représentations des équations

Travaux de recherche en mathématiques

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Ce travail de recherche vise à explorer des manières diverses de représenter des équations et le constater les perscpectives que chacune amène.

Contexte

Ce projet ne vise pas à résoudre de problème en particulier, il se veut uniquement un projet d’exploration.

Réflexion préliminaire

Ce projet part d’un souhait de rendre plus générique des représentations d’équation comme $ax^{n}+by^{m}=k$. Tout d’abord, rappelons que dans cette représentation, a et b sont des facteurs, x et y des variables, n et m des degrés, et k une constante. Bien sûr, ce type d’équation peu toujours être ramené à une équivalence comme $ax^{n}+by^{m}+(-k)z^{0}=0$. Pour éviter la pénurie de lettre lié au nombre de variables en jeu, il est possible d’utiliser des notations indexées, comme $f_{0}v_{0}^{d_{0}}+f_{1}v_{1}^{d_{1}}+f_{2}v_{2}^{d_{2}}+\dots =0$ – chaque élément utilisant l’initiale des noms précédemment énoncés. Soit $\sum _{i}f_{i}v_{i}^{d_{i}}=0$, où i index un ensemble de triplets. Si l’on reprend l’exemple précént, à trois variables, la mise sous la forme d’une représentation matricielle 3×3 paraît assez triviale. En prenant pour convention que la seconde partie de l’équation vaut toujours zéro et qu’elle est éludée dans la forme matricielle, il est possible de noter :

${\begin{pmatrix}f_{0}&v_{0}&{d_{0}}\\f_{1}&v_{1}&{d_{1}}\\f_{2}&v_{2}&{d_{2}}\end{pmatrix}}$

L’adjonction d’un nombre indéfinie de ligne trouve donc une interprétation évidente, chaque ligne correspond à un triplet réunissant facteur, variable et degré. L’adjonction de colonnes n’est pas aussi univoquement suggestif sur l’interprétation à donner aux nouvelles colonnes. Une interprétation possible est de prendre cela comme valeur des multiples dimensions de la variable. Ainsi si la variable est un nombre complexe ou un quaternion, coutumièrement noté $a+bi$ et $a+bi+cj+dk$. Pour rester dans la démarche de généralisation, en notant $\mathbb {I} _{n}$ l’élément neutre de la dimension n, il est également possible de noter cela respectivement $v_{0,0}\mathbb {I} _{0}+v_{0,1}\mathbb {I} _{1}$ et $v_{0,0}\mathbb {I} _{0}+v_{0,1}\mathbb {I} _{1}+v_{0,2}\mathbb {I} _{2}+v_{0,3}\mathbb {I} _{3}$. Ceci conduit à des notations comme $f_{0}(v_{0,0}\mathbb {I} _{0}+v_{0,1}\mathbb {I} _{1})^{d_{0}}+f_{1}(v_{1,0}\mathbb {I} _{0}+v_{1,1}\mathbb {I} _{1})^{d_{1}}+\dots =0$. Ou en reprenant la notation matricielle exposé précédemment, en intervertissant seconde et troisième colonne :

${\begin{pmatrix}f_{0}&{d_{0}}&v_{0,0}&v_{0,1}&v_{0,2}&\dots \\f_{1}&{d_{1}}&v_{1,0}&v_{1,1}&v_{1,2}&\dots \\f_{2}&{d_{2}}&v_{2,0}&v_{2,1}&v_{2,2}&\dots \end{pmatrix}}$

Évidemment, rien n’empêche d’envisager des facteurs et des degrés eux mêmes de dimension multiple. En notant $\left\lceil {\text{index}}_{\text{terme}}\right\rceil$ l’index de dimension maximum d’un terme donnée, on peut génraliser en

${\begin{pmatrix}f_{0,0}&\dots &f_{0,\left\lceil {\text{index}}_{f}\right\rceil }&d_{0,0}&\dots &d_{0,\left\lceil {\text{index}}_{d}\right\rceil }&v_{0,0}&\dots &v_{0,\left\lceil {\text{index}}_{v}\right\rceil }\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \end{pmatrix}}$