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Gauss a trouvé une formule de la courbure K d'une surface par un calcul assez compliqué mais plus simple en coordonnées de Riemann où elle est égale au tenseur de Riemann qui s'écrit alors, en deux dimensions.
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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Relativité générale : Le tenseur de Riemann
Relativité générale/Le tenseur de Riemann », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Vérifions, pour le paraboloïde, que le tenseur de Riemann est bien égal à la courbure totale de Gauss K :
On a aussi, par dérivation partielle des coefficients de la métrique du paraboloïde :
On a bien zéro puisque gxx = 0. On dérive de même gyy :
On obtient une équation de Laplace triviale pour gxx et une équation de Poisson pour gyy.