Schéma déductif des propriétés mathématiques au collège


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Géométrie
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Comment démontrer les propriétés du cours de collège, dans quel ordre et à partir de quels axiomes ? Voilà les questions auxquelles nous répondons ici.

À partir des propriétés des symétriesModifier

AxiomesModifier

Par deux points distincts, il passe une et une seule droiteModifier

Par un point, il passe une et une seule droite parallèle à une droite donnéeModifier

Par un point, il passe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnéeModifier

La symétrie axiale ne change pas les longueursModifier

Si A et B ont pour symétriques A' et B' par rapport à une droite D, alors AB = A'B'

La symétrie axiale ne change pas les anglesModifier

Si A, B et C ont pour symétriques A', B' et C' par rapport à une droite D, alors :  

Définition : La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment passant par son milieuModifier

Elle existe et est unique d’après l'axiome : "Par un point, il passe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée.

Parallèles et sécantesModifier

Deux droites ont soit un point commun (sécantes) soit aucun (parallèles), soit tous (confondues)Modifier

Si elles en avaient deux sans être confondues, cela contredirait cet axiome : "Par deux points distincts, il passe une et une seule droite".

Si deux droites sont parallèles, toute parallèle à l'une est parallèle à l'autreModifier

Prenons D et D' parallèles. Si D est parallèle à D et sécante avec D'. Soit I le point d'intersection, alors D et D' sont parallèles à D passant par le même point. Ceci contredit cet axiome : "Par un point, il passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée".

Si deux droites sont parallèles, toute sécante à l'une est sécante à l'autreModifier

Si elle ne l'était pas, elle lui serait soit :

  • parallèle : dans ce cas l'autre le serait aussi.
  • confondue : mais alors ne pourrait pas être sécante à la première.

Autres propriétés des symétries axialesModifier

Une droite perpendiculaire à l’axe d’une symétrie est invariante globalement par cette symétrie.Modifier

Évident par définition de la symétrie axiale.

L'image par une symétrie axiale d’une droite parallèle à l’axe est parallèle à la droite d'origineModifier

Supposons qu’elles se coupent en I, son symétrique I' serait aussi sur les deux droites, donc I=I'. Or les seuls points invariants par une symétrie axiale (par définition) sont ceux de l'axe. Mais si I appartient à l'axe, cela contredit le parallélisme de la droite d'origine avec l'axe.

Droites parallèles et perpendiculairesModifier

Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèlesModifier

D et D' sont distinctes et perpendiculaires à (AB). D'après la propriété : "Une droite perpendiculaire à l’axe d’une symétrie est invariante globalement par cette symétrie", D et D' sont invariantes par la symétrie d'axe (AB). Supposons-les sécantes en O. Alors O' le symétrique de O par rapport à (AB) appartient aussi à D et à D', qui ont alors deux points communs, ce qui contredit l'hypothèse de départ.

Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est alors perpendiculaire à l'autreModifier

Soit D et D' les deux parallèles. La perpendiculaire en A à l'une est sécante en B à l'autre d’après :"Si deux droites sont parallèles, toute sécantes à l'une est sécante à l'autre". Soit   la médiatrice de [AB], alors (AB) est perpendiculaire à D et   qui sont donc parallèles d’après la propriété : "Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles". Mais alors l’image de D par rapport à   est parallèle à D (d'après la propriété : "L'image par une symétrie axiale d’une droite parallèle à l’axe est parallèle à la droite d'origine"), et passe par B. De plus par l'axiome : "La symétrie axiale ne change pas les angles" et l'axiome : "Par un point, il passe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée" elle est égale à D'. Donc D' est parallèle à D.