Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Oscillateurs amortis : oscillateur électrique ou mécanique soumis à une excitation sinusoïdale, résonance

Réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable, lien avec la réponse en tension aux bornes du condensateur

Schéma d'un montage pour réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable

......On considère un R L C série soumis à la tension de sortie d'un montage suiveur alimenté en entrée par une tension sinusoïdale délivrée par un générateur B.F. dont on règle la f.e.m. efficace à une valeur constante $\;U_{g}\;$ et dont on peut faire varier la fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}$, la phase dépendant du choix de l'origine des temps et étant notée $\;\varphi _{u_{g}}\;$ ;

......on se propose de déterminer, en régime sinusoïdal forcé, la tension aux bornes de la bobine en supposant que l'on puisse négliger sa composante résistive , ce qui a pour conséquence que cette tension peut être notée $\;u_{L}(t)=$ $U_{L}(\omega )\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left[\omega \;t+\varphi _{L}(\omega )\right]$, puis d'étudier la variation de sa valeur efficace (ainsi que de sa phase initiale) en fonction de la fréquence, de déterminer une résonance éventuelle ainsi que la valeur de la fréquence de résonance quand celle-ci est possible et enfin la nature du filtre.

......Dans un 2^nd temps on se propose de déterminer le lien entre la tension aux bornes de la bobine $\;u_{L}(t)\;$ et la tension aux bornes du condensateur $\;u_{C}(t)\;$ pour déduire des propriétés de cette dernière étudiées en cours, celles de la tension aux bornes de la bobine (parfaite) établies directement dans un 1^er temps.

Réponse efficace complexe en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension efficace complexe de module constant, la fréquence f = ω/(2π) du régime étant variable

......Déterminer la réponse instantanée complexe $\;{\underline {u_{L}}}(t)\;$ en « tension aux bornes de la bobine parfaite » du R L C série ci-dessus, en fonction de ses grandeurs caractéristiques, de la pulsation $\;\omega \;$ imposée par le générateur et de la tension instantanée complexe $\;{\underline {u_{g}}}(t)\;$ de la sortie du montage suiveur ;

......en déduire la réponse efficace complexe $\;{\underline {U_{L}}}(j\,\omega )\;$ en « tension aux bornes de la bobine parfaite » en fonction des grandeurs caractéristiques du R L C série, de la pulsation $\;\omega \;$ et de la tension efficace complexe $\;{\underline {U_{g}}}\;$ de la sortie du montage suiveur.

Solution

Bien sûr il convient de refaire un schéma en complexe.

......Soit $\;u_{g}(t)=U_{g}\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left(\omega \,t+\varphi _{u_{g}}\right)\;$ la tension instantanée imposée au R L C série et $\;u_{L}(t)=U_{L}(\omega )\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{L}(\omega )\right]\;$ la tension instantanée aux bornes de la bobine parfaite, on leur associe les grandeurs instantanées complexes $\;{\underline {u_{g}}}(t)={\underline {U_{g}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\;\omega \,t\right)\;$ et $\;{\underline {u_{L}}}(t)={\underline {U_{L}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\;\omega \,t\right)\;$ avec leurs valeurs efficaces complexes respectives $\;{\underline {U_{g}}}=U_{g}\;\exp \!\left(j\;\varphi _{u_{g}}\right)\;$ et $\;{\underline {U_{L}}}(j\,\omega )=U_{L}(\omega )\;\exp \!\left[j\;\varphi _{L}(\omega )\right]$ ;

......$\;{\underline {u_{L}}}(t)\;$ est la tension instantanée complexe de sortie ouverte d'un pont diviseur de tension dont la tension instantanée complexe d'entrée est $\;{\underline {u_{g}}}(t)\;$ soit, en valeurs efficaces complexes, $\;{\underline {U_{L}}}(j\,\omega )={\dfrac {j\,L\,\omega }{R+j\,L\,\omega +{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}\;{\underline {U_{g}}}\;$ et, en multipliant haut et bas par $\;j\,C\,\omega \;$ pour obtenir une forme « usuelle », $\;{\underline {U_{L}}}(j\,\omega )={\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}}{\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)+j\,R\,C\,\omega }}\;{\underline {U_{g}}}$.

 

Réduction canonique de la réponse efficace complexe en tension aux bornes de la bobine parfaite

......Rappeler les expressions des grandeurs canoniques du R L C série « pulsation propre $\;\omega _{0}\;$ et facteur de qualité $\;Q$ » et

......en déduire la forme canonique de la réponse efficace complexe $\;{\underline {U_{L}}}(j\,x)\;$ en fonction de la pulsation réduite $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}$.

Solution

......On utilise les 2^èmes grandeurs canoniques relatives au R L C série,

• la pulsation propre $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;L\;C\;\omega _{0}^{2}=1\;$ $\Leftrightarrow$ $\;L\;\omega _{0}={\dfrac {1}{C\;\omega _{0}}}$,
• le facteur de qualité $\;Q={\dfrac {L\;\omega _{0}}{R}}={\dfrac {1}{R\;C\;\omega _{0}}}$,

......et on définit la pulsation réduite (ou fréquence réduite) par $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}={\dfrac {f}{f_{0}}}$ ;

......on élimine d'abord $\;_{o}mega\;$ au profit de $\;x\;$ en reportant $\;\omega =\omega _{0}\;x\;$ dans l'expression de $\;{\underline {U_{L}}}(j\,\omega )\;$ soit $\;{\underline {U_{L}}}(j\,x)={\dfrac {-{\cancel {L\;C\;\omega _{0}^{2}}}\;x^{2}}{1-{\cancel {L\;C\;\omega _{0}^{2}}}\;x^{2}+j\;R\;C\;\omega _{0}\;x}}\;$ et finalement, en reconnaissant dans $\;R\;C\;\omega _{0}\;$ l'inverse du facteur de qualité, $\;{\underline {U_{L}}}(j\,x)={\dfrac {-x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)+j\;{\dfrac {x}{Q}}}}$.

 

Tension efficace aux bornes de la bobine parfaite du R L C série

......Déduire, de ce qui précède, l'expression de la tension efficace $\;U_{L}(x)\;$ aux bornes de la bobine parfaite en fonction de la pulsation réduite $\;x$.

Solution

......La tension efficace $\;U_{L}(x)\;$ aux bornes de la bobine parfaite se détermine en prenant le module de la tension efficace complexe $\;{\underline {U_{L}}}(j\,x)\;$ correspondante soit $\;U_{L}(x)=\vert {\underline {U_{L}}}(j\,x)\vert ={\dfrac {x^{2}}{\sqrt {\left(1-x^{2}\right)^{2}+{\dfrac {x^{2}}{Q^{2}}}}}}$.

 

Phase à l'origine de la tension aux bornes de la bobine parfaite du R L C série

......Déduire, de même, l'expression de la phase à l'origine $\;\varphi _{L}(x)\;$ de la tension instantanée aux bornes de la bobine parfaite en fonction de la pulsation réduite $\;x$.

Solution

......La phase à l'origine $\;\varphi _{L}(x)\;$ de la tension instantanée aux bornes de la bobine parfaite se détermine en prenant l'argument de la tension efficace complexe $\;{\underline {U_{L}}}(j\,x)\;$ correspondante soit $\;\varphi _{L}(x)=\varphi _{u_{g}}+\mathrm {arg} \!\left[{\underline {U_{L}}}(j\,x)\right]=\varphi _{u_{g}}+\left(\pm \pi \right)-\mathrm {arg} \!\left[\left(1-x^{2}\right)+j\;{\dfrac {x}{Q}}\right]\;$ ou, en mettant $\;j\;{\dfrac {x}{Q}}\;$ en facteur dans le complexe dont on cherche l'argument dans la dernière expression de façon à ce que le facteur restant ait une partie réelle positive (plus exactement égale à $\;1{\big )}\;$ et par conséquent ait un argument se mettant sous forme d'un $\arctan()\;$ soit $\;\varphi _{L}(x)=\varphi _{u_{g}}+\left(\pm \pi \right)-\mathrm {arg} \!\left\lbrace j\;{\dfrac {x}{Q}}\left[1+j\;Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]\right\rbrace \;$ soit $\;\varphi _{L}(x)=\varphi _{u_{g}}+\left(\pm \pi \right)-{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left[Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]\;$ et finalement $\;\varphi _{L}(x)=\varphi _{u_{g}}+{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left[Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]\;$.

 

Recherche d'une éventuelle résonance en tension aux bornes de la bobine parfaite du R L C série

......On se propose de chercher une éventuelle résonance en $\;u_{L}(t)\;$ mais le numérateur de $\;U_{L}(x)\;$ dépendant de $\;x$, il nous faut chercher une forme canonique « pratique » correspondant à un numérateur constant en divisant haut et bas par le numérateur de façon à ce que $\;U_{L}(x)={\dfrac {U_{g}}{\sqrt {h(x^{2})}}}$ ;

......on vérifiera alors que $\;h(x^{2})\;$ peut être identifié à $\;g\!\left({\dfrac {1}{x^{2}}}\right)\;$ où $\;g(x^{2})\;$ est la fonction dont on a étudié la variation lors de l'étude d'une éventuelle résonance en charge du R L C série ;

......introduisant $\;\xi ={\dfrac {1}{x}}\;$ pour plus de simplicité lors de l'exposé, rappeler la variation de $\;g(\xi ^{2})\;$ suivant la valeur du facteur de qualité et

......introduisant ............... pour plus de simplicité lors de l'exposé, dans le cas où $\;g\;$ acquiert une valeur extrémale, l'expression de $\;\xi _{r}\;$ rendant $\;g\;$ extrémale ainsi que la valeur de cet extremum ;

......en déduire la variation de $\;U_{L}(x)\;$ suivant la valeur du facteur de qualité et

......en déduire dans le cas où il y a résonance, l'expression de la pulsation réduite de résonance $\;x_{r}\;$ ainsi que la valeur maximale de $\;U_{L}\;$ notée $\;U_{L,\,{\text{max}}}$.

Solution

......Pour obtenir une forme canonique « pratique » de la tension efficace aux bornes de la bobine parfaite on divise $\;U_{L}(x)={\dfrac {x^{2}}{\sqrt {\left(1-x^{2}\right)^{2}+{\dfrac {x^{2}}{Q^{2}}}}}}\;U_{g}\;$ haut et bas par $\;x^{2}\;$ ce qui revient, en ce qui concerne le dénominateur, à diviser l'ensemble des termes sous le radical par $\;x^{4}\;$ et donc le terme $\;(1-x^{2})\;$ par $\;x^{2}$, d'où la forme canonique « pratique » $\;U_{L}(x)=$ ${\dfrac {1}{\sqrt {\left({\dfrac {1}{x^{2}}}-1\right)^{\!2}+{\dfrac {1}{Q^{2}\;x^{2}}}}}}\;U_{g}\;$ ou encore $\;U_{L}(x)={\dfrac {1}{\sqrt {\left(1-{\dfrac {1}{x^{2}}}\right)^{\!2}+{\dfrac {1}{Q^{2}}}\;{\dfrac {1}{x^{2}}}}}}\;U_{g}\;$ se mettant sous la forme $\;U_{L}(x)={\dfrac {U_{g}}{\sqrt {h(x^{2})}}}\;$ 
avec $\;h(x^{2})=\left(1-{\dfrac {1}{x^{2}}}\right)^{\!2}+{\dfrac {1}{Q^{2}}}\;{\dfrac {1}{x^{2}}}$ ;

......ayant obtenu, dans le paragraphe « recherche d'une éventuelle résonance en charge … » du chapitre$31$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » l'expression $\;U_{C}(x)=$ ${\dfrac {U_{g}}{\sqrt {g(x^{2})}}}\;$ avec $\;g(x^{2})=\left(1-x^{2}\right)^{\!2}+{\dfrac {x^{2}}{Q^{2}}}$, on vérifie effectivement que $\;h(x^{2})=g\!\left({\dfrac {1}{x^{2}}}\right)\;$ soit encore, en posant $\;\xi ={\dfrac {1}{x}}$, la relation $\;h(x^{2})=g(\xi ^{2})$ ;

......or la dérivée de $\;g(\xi ^{2})\;$ relativement à $\;\xi ^{2}\;$ trouvée dans le paragraphe précédemment cité « recherche d'une éventuelle résonance en charge … » à savoir $\;{\dfrac {dg}{d\xi ^{2}}}(\xi ^{2})=$ $2\;\xi ^{2}+{\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\;$ a conduit à la discussion suivante :

• si le terme constant $\;{\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\;$ est strictement positif soit $\;Q<{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}$, la dérivée $\;{\dfrac {dg}{d\xi ^{2}}}(\xi ^{2})>0\;\;\forall \xi ^{2}\;$ et $\;g(\xi ^{2})\;$ étant une fonction $\;\nearrow \;$ de $\;\xi ^{2}$, on en déduit que $\;g(\xi ^{2})=$ $h(x^{2})\;$ est une fonction $\;\searrow \;$ de $\;x^{2}\;$ soit enfin que $\;U_{L}(x)={\dfrac {U_{g}}{\sqrt {h(x^{2})}}}\;$ est une fonction $\;\nearrow \;$ de $\;x^{2}\;$ donc $\;U_{L}(x)\;$ est une fonction $\;\nearrow \;$ de $\;x\;$ ;
• si le terme constant $\;{\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\;$ est négatif ou nul soit $\;Q\geqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}$, la dérivée $\;{\dfrac {dg}{d\xi ^{2}}}(\xi ^{2})\;$ s'annulant pour $\;\xi _{r}^{2}=1-{\dfrac {1}{2\;Q^{2}}}\geqslant 0\;$ avec $\;{\dfrac {dg}{d\xi ^{2}}}(0)=$ ${\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\leqslant 0\;$ d'une part et $\;\lim \limits _{\xi \rightarrow +\infty }\left[{\dfrac {dg}{d\xi ^{2}}}(\xi ^{2})\right]=+\infty >0\;$ d'autre part, on en déduit que $\;g(\xi ^{2})\;$ est minimale en $\;\xi _{r}^{2}\;$ ${\bigg [}$la valeur du minimum trouvée dans le paragraphe précédemment cité « recherche d'une éventuelle résonance en charge … » étant $\;g(\xi _{r}^{2})={\dfrac {1}{Q^{2}}}\left(1-{\dfrac {1}{4\;Q^{2}}}\right){\bigg ]}\;$ soit $\;g(\xi ^{2})=h(x^{2})\;$ minimale en $\;x_{r}^{2}={\dfrac {1}{\xi _{r}^{2}}}={\dfrac {1}{1-{\dfrac {1}{2\;Q^{2}}}}}\;$ et par suite que $\;U_{L}(x^{2})={\dfrac {U_{g}}{\sqrt {h(x^{2})}}}\;$ est maximale en $\;x_{r}^{2}\;$ donc $\;U_{L}(x)\;$ est maximale en $\;x_{r}={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {1}{2\;Q^{2}}}}}}>1\;$.

......En conclusion pour $\;Q<{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}$, $\;U_{L}(x)={\dfrac {x^{2}}{\sqrt {\left(1-x^{2}\right)^{2}+{\dfrac {x^{2}}{Q^{2}}}}}}\;U_{g}\;\nearrow \;$ de 0 à $\;U_{g}$,

......En conclusion pour $\;Q\geqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}$, la tension instantanée $\;u_{L}(t)\;$ aux bornes de la bobine parfaite entre en résonance en la fréquence réduite $\;x_{r}={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {1}{2\;Q^{2}}}}}}>1\;$ c'est-à-dire en la fréquence $\;f_{r}={\dfrac {f_{0}}{\sqrt {1-{\dfrac {1}{2\;Q^{2}}}}}}>f_{0}$, avec $\;U_{L}(x)={\dfrac {x^{2}}{\sqrt {\left(1-x^{2}\right)^{2}+{\dfrac {x^{2}}{Q^{2}}}}}}\;U_{g}\;$ $\left\lbrace {\begin{array}{l}\nearrow \;\;{\text{de }}0{\text{ à }}U_{L,\,{\text{max}}}={\dfrac {Q\;U_{g}}{\sqrt {1-{\dfrac {1}{4\;Q^{2}}}}}}&{\text{quand }}x\nearrow {\text{ de }}0{\text{ à }}x_{r}\\&{\text{puis}}\\\searrow \;\;{\text{de }}U_{L,\,{\text{max}}}={\dfrac {Q\;U_{g}}{\sqrt {1-{\dfrac {1}{4\;Q^{2}}}}}}{\text{ à }}U_{g}&{\text{quand }}x\nearrow {\text{ de }}x_{r}{\text{ à }}+\infty \end{array}}\right\rbrace \;$.

 

Nature du filtre suivant le facteur de qualité

......Montrer que le filtre est un « passe-haut ou un passe-bande » suivant la valeur du facteur de qualité ;

......on rappellera comment on pourrait déterminer la condition sur $\;Q\;$ pour que ce soit un passe-bande $\;\ldots \;$ mais sans refaire le calcul effectué en cours.

Solution

• Si $\;Q<{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}$, il n'y a pas de résonance en tension aux bornes de la bobine parfaite, la réponse efficace en $\;U_{L}(x)\;$ étant $\;\nearrow \;$ d'une valeur 0 à B.F. jusqu'à une limite $\;U_{g}\neq 0\;$ à H.F., nous en déduisons la nature « passe-haut » du filtre et
• si $\;Q\geqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}$, il y a résonance en tension aux bornes de la bobine parfaite, la réponse efficace en $\;U_{L}(x)\;$ étant d'abord $\;\nearrow \;$ à partir d'une valeur 0 à B.F. puis $\;\searrow \;$ jusqu'à une limite $\;U_{g}\neq 0\;$ à H.F., nous en déduisons la nature « passe-bande ou passe-haut » du filtre suivant l'existence ou non d'une fréquence finie de coupure haute à –3dB ;

...........la condition pour qu'il existe une fréquence finie de coupure haute à - 3 dB étant $\;U_{L}(x_{c,\,h})={\dfrac {U_{L}(x_{r})}{\sqrt {2}}}>U_{L}(+\infty )\;$ avec la valeur de la réponse efficace à la résonance en tension aux bornes de la bobine parfaite $\;U_{L}(x_{r})={\dfrac {Q\;U_{g}}{\sqrt {1-{\dfrac {1}{4\;Q^{2}}}}}}$, se réécrit $\;{\dfrac {Q\;U_{g}}{{\sqrt {2}}\;{\sqrt {1-{\dfrac {1}{4\;Q^{2}}}}}}}>U_{g}\;$ ce qui, étant exactement la même équation en $\;Q\;$ que celle obtenue lors de l'écriture de la condition pour qu'il existe une fréquence de coupure basse non nulle à - 3 dB pour le filtre « réponse en tension aux bornes du condensateur », conduit à la même solution c'est-à-dire que la condition pour qu'il existe une fréquence finie de coupure haute à - 3 dB est $\;Q\gtrsim 1,31$ ;
...........en conclusion de cette étude si $\;{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\leqslant Q\lesssim 1,31\;$ la réponse en tension efficace aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante est un « passe-haut » et
...........en conclusion de cette étude si $\;Q\gtrsim 1,31\;$ c'est un « passe-bande ».

......Finalement pour un facteur de qualité restant faible $\;Q\lesssim 1,31\;$ la réponse en tension efficace aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante est un « passe-haut » alors que
......Finalement pour un facteur de qualité plus grand $\;Q\gtrsim 1,31\;$ c'est un « passe-bande ».

 

Tracé de la courbe de valeur efficace en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante imposée par le générateur en fonction de la fréquence réduite

......Compte-tenu de la variation établie dans une question précédente, tracer les différents types de courbes possibles de valeur efficace en tension aux bornes de la bobine (parfaite) en fonction de la fréquence réduite.

Solution

Superposition des courbes de réponse en tension efficace aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série soumis à tension efficace fixée en fonction de la fréquence réduite x pour les facteurs de qualité donnant une absence de résonance Q = 0,4, une résonance limite en x infinie Q = 1/[2^1/2], floue Q = 1 et modérément aiguë Q = 3

......Voir ci-contre la superposition des tracés de la réponse en tension efficace aux bornes de la bobine d'un « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence réduite, chaque courbe correspondant à une valeur différente du facteur de qualité

• $\;Q=0,4\;$ donnant une absence de résonance,
• $\;Q=3\;$ donnant une résonance qualifiée de « modérément aiguë » en $\;x_{r}={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {1}{2\;Q^{2}}}}}}\simeq 1,03$,
• $\;Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$ donnant une résonance limite en $\;x_{r}={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {1}{2\;Q^{2}}}}}}=\infty \;$ et
• $\;Q=1\;$ donnant une résonance qualifiée de « floue » en $\;x_{r}={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {1}{2\;Q^{2}}}}}}\simeq 1,41$.

 

Tracé de la courbe d'avance de phase de la tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série sur la tension sinusoïdale de valeur efficace constante imposée par le générateur en fonction de la fréquence réduite

......Tracer l'allure de la courbe d'avance de phase de la tension aux bornes de la bobine (parfaite) sur la tension imposée par le générateur en fonction de la fréquence réduite.

Solution

Superposition des courbes d'avance de phase de la tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série sur la tension à ses bornes en fonction de la fréquence réduite x pour les facteurs de qualité donnant une absence de résonance Q = 0,4, une résonance limite en x infinie Q = 1/[2^1/2], floue Q = 1 et modérément aiguë Q = 3

......Voir ci-contre la superposition des tracés de l'avance de phase de la tension aux bornes de la bobine parfaite du « R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » sur la tension à ses bornes en fonction de la fréquence réduite, chaque courbe correspondant à une valeur différente du facteur de qualité

• $\;Q=0,4\;$ donnant une variation lente et assez régulière du déphasage,
• $\;Q=3\;$ donnant une variation relativement rapide au voisinage de la fréquence réduite propre et relativement lente en dehors,
• $\;Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$ donnant une variation légèrement plus rapide qu'aux faibles valeurs du facteur de qualité, variation du déphasage restant assez régulière et
• $\;Q=1\;$ donnant une variation modérément rapide au voisinage de la fréquence réduite propre avec toutefois une variation restant notable mais plus faible en dehors.

 

Lien entre les tensions efficaces complexes aux bornes de la bobine parfaite et du condensateur d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable et conséquences

......Rappeler l'expression de la tension efficace complexe $\;{\underline {U_{C}}}(j\,x)\;$ aux bornes du condensateur du R L C série précédent en fonction de la pulsation (ou fréquence) réduite $\;x\;$ et

......vérifier le lien suivant entre les tensions efficaces complexes aux bornes de la bobine parfaite et du condensateur du R L C série excité sinusoïdalement pour une même pulsation réduite $\;x\;$

$\;{\underline {U_{L}}}(j\,x)=\left[{\underline {U_{C}}}\!\left({\dfrac {j}{x}}\right)\right]^{*}\;{\dfrac {\underline {U_{g}}}{{\underline {U_{g}}}^{*}}}\;$ ;

......en déduire les conséquences sur la variation de $\;U_{L}\;$ connaissant la variation de $\;U_{C}\;$ ainsi que
......en déduire celles sur la variation de $\;\varphi _{L}\;$ connaissant la variation de $\;\varphi _{C}$.

Solution

......La tension efficace complexe aux bornes du condensateur du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante s'écrivant $\;{\underline {U_{C}}}(j\,x)=$ ${\dfrac {1}{\left(1-x^{2}\right)+j\;{\dfrac {x}{Q}}}}\;{\underline {U_{g}}}={\dfrac {1}{\left[1+(j\;x)^{2}\right]+{\dfrac {j\;x}{Q}}}}\;{\underline {U_{g}}}\;$ et celle aux bornes de la bobine du même R L C série $\;{\underline {U_{L}}}(j\,x)={\dfrac {-x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)+j\;{\dfrac {x}{Q}}}}\;{\underline {U_{g}}}$, nous transformons cette dernière en divisant haut et bas par $\;-x^{2}=\left(j\,x\right)^{2}\;$ soit $\;{\underline {U_{L}}}(j\,x)={\dfrac {1}{\left(-{\dfrac {1}{x^{2}}}+1\right)+{\dfrac {1}{j\,x\;Q}}}}\;{\underline {U_{g}}}={\dfrac {1}{\left(1-{\dfrac {1}{x^{2}}}\right)-{\dfrac {\dfrac {j}{x}}{Q}}}}\;{\underline {U_{g}}}$ ;

......remplaçant $\;j\,x\;$ par $\;{\dfrac {j}{x}}\;$ dans l'expression de $\;{\underline {U_{C}}}(j\,x)\;$ on trouve $\;{\underline {U_{C}}}\!\left({\dfrac {j}{x}}\right)={\dfrac {1}{\left[1+\left({\dfrac {j}{x}}\right)^{2}\right]+{\dfrac {\dfrac {j}{x}}{Q}}}}\;{\underline {U_{g}}}={\dfrac {1}{\left(1-{\dfrac {1}{x^{2}}}\right)+{\dfrac {\dfrac {j}{x}}{Q}}}}\;{\underline {U_{g}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\left[{\underline {U_{C}}}\!\left({\dfrac {j}{x}}\right)\right]^{*}=$ ${\dfrac {1}{\left(1-{\dfrac {1}{x^{2}}}\right)-{\dfrac {\dfrac {j}{x}}{Q}}}}\;{\underline {U_{g}}}^{*}\;$ laquelle, comparée à $\;{\underline {U_{L}}}(j\,x)={\dfrac {1}{\left(1-{\dfrac {1}{x^{2}}}\right)-{\dfrac {\dfrac {j}{x}}{Q}}}}\;{\underline {U_{g}}}$, permet de trouver le lien cherché à savoir $\;{\underline {U_{L}}}(j\,x)=\left[{\underline {U_{C}}}\!\left({\dfrac {j}{x}}\right)\right]^{*}\;{\dfrac {\underline {U_{g}}}{{\underline {U_{g}}}^{*}}}$.

......En prenant le module de la relation ci-dessus on en déduit $\;U_{L}(x)=U_{C}\!\left({\dfrac {1}{x}}\right)$, le module du conjugué étant égal au module du complexe, c'est-à-dire que l'on obtient la variation de $\;U_{L}\;$ connaissant celle de $\;U_{C}\;$ en transformant $\;x\;$ en son inverse d'où :

• si $\;Q<{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}$, variation monotone de $\;U_{C}\;$ entraînant une variation monotone de $\;U_{L}$, le domaine des B.F. passant devenant le domaine des H.F. passant ;
• si $\;Q\geqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}$, existence d'une résonance de $\;U_{C}\;$ pour $\;x_{r,\,C}={\sqrt {1-{\dfrac {1}{2\;Q^{2}}}}}<1\;$ correspondant à une résonance de $\;U_{L}\;$ pour $\;x_{r,\,L}={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {1}{2\;Q^{2}}}}}}>1$ ;
• si $\;Q\lesssim 1,31$, nature « passe-bas » de la réponse en $\;U_{C}\;$ se transformant en « passe-haut » de la réponse en $\;U_{L}\;$ et
• si $\;Q\gtrsim 1,31$, nature « passe-bande » de la réponse en $\;U_{C}\;$ à fréquence de résonance inférieure à la fréquence propre se transformant en « passe-bande » de la réponse en $\;U_{L}\;$ à fréquence de résonance supérieure à la fréquence propre ;
• si on adopte une échelle logarithmique pour l'axe des fréquences réduites, la transformation de $\;x\;$ en $\;{\dfrac {1}{x}}\;$ correspond au changement de $\;\log(x)\;$ en $\;-\log(x)\;$ et on en déduit que les courbes de valeurs efficaces tracées en « échelle semi-logarithmique »  sont symétriques l'une de l'autre relativement à l'axe $\;\log(x)=0\;$ c'est-à-dire l'axe $\;x=1\;$ de l'échelle logarithmique.

......En prenant l'argument de la relation $\;{\underline {U_{L}}}(j\,x)=\left[{\underline {U_{C}}}\!\left({\dfrac {j}{x}}\right)\right]^{*}\;{\dfrac {\underline {U_{g}}}{{\underline {U_{g}}}^{*}}}\;$ (l'argument du conjugué étant opposé à l'argument du complexe) on en déduit $\;\varphi _{L}(x)=$ $-\varphi _{C}\!\left({\dfrac {1}{x}}\right)+2\;\varphi _{u_{g}}\;$ ou encore $\;\varphi _{L}(x)-\varphi _{u_{g}}=-\left[\varphi _{C}\!\left({\dfrac {1}{x}}\right)-\varphi _{u_{g}}\right]$, c'est-à-dire que l'on obtient la variation de $\;\varphi _{L}-\varphi _{u_{g}}\;$ connaissant celle de $\;\varphi _{C}-\varphi _{u_{g}}\;$ en transformant $\;x\;$ en son inverse et en prenant l'opposé du transformé de $\;\varphi _{C}-\varphi _{u_{g}}\;$ d'où :

• le domaine des B.F. à déphasage nul pour $\;\varphi _{C}-\varphi _{u_{g}}\;$ devient le domaine des H.F. à déphasage nul pour $\;\varphi _{L}-\varphi _{u_{g}}$ ;
• le domaine des H.F. à déphasage égal à $\;-\pi \;$ pour $\;\varphi _{C}-\varphi _{u_{g}}\;$ devient le domaine des B.F. à déphasage égal à $\;+\pi \;$ pour $\;\varphi _{L}-\varphi _{u_{g}}$ ;
• si on adopte une échelle logarithmique pour l'axe des fréquences réduites, la transformation de $\;x\;$ en $\;{\dfrac {1}{x}}\;$ correspond au changement de $\;\log(x)\;$ en $\;-\log(x)\;$ et on en déduit que les courbes de déphasage tracées en « échelle semi-logarithmique »  sont symétriques l'une de l'autre relativement au centre $\;\left\lbrace \log(x)=0\;,\;\varphi =0\right\rbrace \;$ ou $\;\left(x=1\;,\;\varphi =0\right)\;$ sur papier semi-logarithmique ;
• en fait cette propriété de symétrie centrale en échelle logarithmique est peu utilisée car la propriété énoncée ci-après est nettement plus intéressante : de $\;{\underline {U_{L}}}(j\,x)=$ ${\dfrac {-x^{2}}{1-x^{2}+j\;{\dfrac {x}{Q}}}}\;{\underline {U_{g}}}\;$ avec $\;{\underline {U_{C}}}(j\,x)={\dfrac {1}{1-x^{2}+j\;{\dfrac {x}{Q}}}}\;{\underline {U_{g}}}\;$ on déduit $\;{\underline {U_{L}}}(j\,x)=-x^{2}\;{\underline {U_{C}}}(j\,x)\;$ et, en en prenant l'argument $\varphi _{L}(x)=\pm \pi +\varphi _{C}(x)\;$ soit $\varphi _{L}(x)=\varphi _{C}(x)+\pi \;$ pour que la phase à l'origine ait la plus petite valeur absolue ; la courbe de déphasage de la tension aux bornes de la bobine parfaite se déduit de celle de déphasage de la tension aux bornes du condensateur par translation de $\;+\pi \;$ parallèlement à l'axe des phases (indépendamment de la nature logarithmique ou linéaire de l'échelle des fréquences réduites).

 

Réponse en i_R(t) d'une association parallèle R L soumise, à travers un condensateur de capacité C, à une f.e.m. sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence choisie

Schéma d'une association parallèle d'un conducteur ohmique de résistance R et d'une bobine parfaite d'inductance propre L montée en série avec un condensateur de capacité C, le tout étant sous tension sinusoïdale

......On considère le circuit ci-contre constitué d'une association parallèle d'un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ et d'une bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ montée en série avec un condensateur de capacité $\;C$ ; il est alimenté par un générateur de tension sinusoïdale dont on néglige l'impédance de sortie et de f.e.m. $\;e(t)=E\,{\sqrt {2}}\cos(\omega \,t)$.

Détermination du générateur de Norton équivalent à l'ensemble générateur de fonction en série avec le condensateur de capacité C

......Déterminer le générateur de Norton équivalent au D.A.L. $\;AB\;$ comprenant le générateur en série avec le condensateur et

......tracer le schéma équivalent.

Solution

Schéma en complexe d'une association parallèle d'un conducteur ohmique de résistance R et d'une bobine parfaite d'impédance complexe Z_L(jω) montée en série avec un condensateur d'impédance complexe Z_C(jω), le tout étant sous tension instantanée complexe

......On considère le circuit représenté en complexe ci-contre, alimenté par un générateur de tension de f.e.m. instantanée complexe $\;{\underline {e}}(t)=E\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t)\;$, les impédances complexes de la bobine parfaite et du condensateur étant respectivement $\;{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )=$ $j\,L\,\omega \;$ et $\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}$ ;

......le générateur de tension en série avec le condensateur ayant pour modèle générateur de Thévenin complexe « une source de tension parfaite de f.e.m. instantanée complexe $\;{\underline {e}}(t)\;$ en série avec un dipôle passif d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{C}}}={\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}$ », il suffit de prendre le modèle générateur de Norton complexe équivalent à savoir « une source de courant parfaite de c.e.m. instantanée complexe $\;{\underline {\eta }}(t)={\dfrac {{\underline {e}}(t)}{\underline {Z_{C}}}}=j\,C\,\omega \ E\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t)\;$ en parallèle avec le dipôle passif d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{C}}}={\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}$ » ;

......le tracé du schéma équivalent est à faire par soi-même, on aboutit à un $\;R\,L\,C\,\parallel \;$ alimenté par la source de courant parfaite de Norton complexe de c.e.m. instantané complexe $\;{\underline {\eta }}(t)=j\,C\,\omega \ E\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t)$.

 

Condition de fréquence pour que le courant d'intensité i_R(t) soit indépendant de R et interprétation

......En déduire la condition pour que l'intensité $\;i_{R}(t)\;$ du courant dans le conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ soit indépendante de cette dernière et

......l'interpréter simplement.

Solution

......L'intensité instantanée complexe du courant dans le conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ peut être déterminée par pont diviseur de courant en sortie court-circuitée (court-circuit en série avec le conducteur ohmique) alimenté par le c.e.m. instantané complexe $\;{\underline {\eta }}(t)={\dfrac {{\underline {e}}(t)}{\underline {Z_{C}}}}=j\,C\,\omega \ E\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t)\;$ soit, en associant $\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )\parallel {\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )\;$ d'impédance complexe équivalente $\;{\underline {Z_{L\,\parallel \,C,\,{\text{éq}}}}}(j\,\omega )={\dfrac {j\,L\,\omega \,{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}{j\,L\,\omega +{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}={\dfrac {j\,L\,\omega }{1-L\,C\,\omega ^{2}}}$, l'intensité instantanée complexe du courant dans le conducteur ohmique $\;{\underline {i_{R}}}(t)=$ ${\dfrac {{\underline {Z_{L\,\parallel \,C,\,{\text{éq}}}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{L\,\parallel \,C,\,{\text{éq}}}}}(j\,\omega )+R}}\;{\underline {\eta }}(t)={\dfrac {\dfrac {j\,L\,\omega }{1-L\,C\,\omega ^{2}}}{{\dfrac {j\,L\,\omega }{1-L\,C\,\omega ^{2}}}+R}}\,j\,C\,\omega \ E\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t)\;$ et finalement, en réduisant les étages, $\;{\underline {i_{R}}}(t)={\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}}{j\,L\,\omega +R\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)}}\,E\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t)\;$
indépendante de $\;R\;$ si $\;L\,C\,\omega ^{2}=1\;$
soit $\;\omega ={\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}\;$ ou $\;f={\dfrac {\omega }{2\,\pi }}={\dfrac {1}{2\,\pi \,{\sqrt {L\,C}}}}$.

......Interprétation : on sait que l'intensité du courant traversant $\;L$, $\;C\;$ et $\;R\;$ en série alimenté par une tension sinusoïdale de valeur efficace constante entre en résonance pour $\;\omega =$ ${\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}\;$ et que les tensions aux bornes de $\;L\;$ et $\;C\;$ se compensent ;

......Interprétation : par dualité « série parallèle », la tension aux bornes de $\;L$, $\;C\;$ et $\;R\;$ en parallèle alimenté par une intensité de courant sinusoïdal de valeur efficace constante entre en résonance pour $\;\omega ={\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}\;$ et les intensités des courants traversant $\;L\;$ et $\;C\;$ se compensent d'où l'intensité du courant traversant l'ensemble $\;L\parallel C\;$ est donc nulle ;

......Interprétation : la conséquence est que le c.e.m. instantané $\;\eta (t)\;$ (qui ne dépend évidemment pas de $\;R{\big )}\;$ est le courant qui traverse le conducteur ohmique et par suite l'intensité $\;i_{R}(t)\;$ de ce dernier ne dépend pas de $\;R\;$ ${\bigg (}$uniquement pour la pulsation particulière $\;\omega ={\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}{\bigg )}$.

 

Sous la condition de fréquence précédemment trouvée, évaluation de la valeur efficace et de la phase à l'origine de i_R(t)

......Sachant que la condition précédente est réalisée, calculer la valeur efficace $\;I_{R}\;$ et la phase à l'origine $\;\varphi _{R}\;$ de l'intensité $\;i_{R}(t)\;$ du courant dans le conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ pour $\;E=100\,V$, $\;\omega =100\,\pi \,rad\cdot s^{-1}\;$ et $\;C=0,1\,\mu F$.

Solution

......L'intensité instantanée complexe s'écrivant, à la pulsation particulière $\;\omega ={\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}$, selon $\;{\underline {i_{R}}}(t)={\dfrac {-{\cancel {L\,C\,\omega ^{2}}}}{j\,L\,\omega }}\,E\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t)\;$ peut se réécrire $\;{\underline {i_{R}}}(t)=$ $j\,C\,\omega \,E\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t)\;$ ;

......on en déduit l'intensité efficace complexe $\;{\underline {I_{R}}}(j\,\omega )=j\,C\,\omega \,E\;$ dont on tire

• la valeur efficace $\;I_{R}(\omega )=\vert {\underline {I_{R}}}(j\,\omega )\vert =C\,\omega \,E\;$ soit numériquement $\;I_{R}(\omega =100\,\pi )=10^{-7}\times 100\;\pi \times 100\;$ en $\;A\;$ ou $\;I_{R}(\omega =100\,\pi )=3,14\;mA\;$ et
• la phase initiale $\;\varphi _{R}(\omega )=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {I_{R}}}(j\,\omega )\right]={\dfrac {\pi }{2}}$ ;

......en conclusion l'intensité instantanée du courant traversant le conducteur ohmique s'écrit $\;i_{R}(t)=I_{R}(\omega )\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left[\omega \;t+\varphi _{R}(\omega )\right]=3,14\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left[100\,\pi \;t+{\dfrac {\pi }{2}}\right]=-3,14\;{\sqrt {2}}\;\sin \!\left[100\,\pi \;t\right]\;$ en $\;mA$.