En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Signaux physiques (PCSI) : Oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillateur mécanique amorti par frottement visqueux Signaux physiques (PCSI)/Oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillateur mécanique amorti par frottement visqueux », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Schéma d'observation de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un série soumis à un échelon de tension
Pour enregistrer la « réponse en du série soumis à un échelon de tension d'amplitude » à partir du schéma représenté ci-contre en faisant apparaître l'instant , il faut lancer l'enregistrement légèrement avant la fermeture de ; il faut d'autre part choisir la sensibilité de base de temps pour obtenir la courbe entière sur l'écran, ce choix dépendant des valeurs des paramètres du série sera précisé par la suite ; enfin l'échelon de tension peut être créé par une A.S. [1] à amplitude variable que l'on choisira par exemple à , dans ce cas le zéro de l'A.S[1]. est reliée à la Terre[2] et il est nécessaire de positionner le condensateur comme sur la figure ci-contre pour des raisons d'unicité de masses.
Si on automatise « la création et la suppression d'un échelon de tension d'amplitude » à l'aide d'un G.B.F. délivrant une tension « créneau » [3] d'amplitude à laquelle on ajoute une composante permanente , on obtient
sur l'alternance de valeur haute du créneau, une tension délivrée par le G.B.F. valant et
sur l'alternance de valeur basse une tension valant ;
pour que la création et la suppression soient indépendantes il est nécessaire que la charge et la décharge du condensateur soient terminées c'est-à-dire qu'il faut adapter la durée d'une alternance conformément à la durée de l'établissement du régime forcé, laquelle dépendant des valeurs des paramètres du série sera précisé par la suite ;
enfin si on utilise un générateur de fonctions il est nécessaire de comptabiliser la résistance de sortie de ce dernier, laquelle vaut usuellement , ainsi que la résistance interne de la bobine, laquelle vaut usuellement , dans la résistance du série[4].
Ci-dessous les trois types de réponses en suivant la valeur de résistance du série soumis à un échelon de tension d'amplitude ; avec et on obtient, comme pulsation propre du série, [5]
Diagramme horaire d'une réponse pseudo-périodique en tension aux bornes du condensateur d'un série soumis à un échelon de tensionDiagramme horaire d'une réponse apériodique en tension aux bornes du condensateur d'un série soumis à un échelon de tensionDiagramme horaire d'une réponse apériodique critique en tension aux bornes du condensateur d'un série soumis à un échelon de tension
Ci-dessus à gauche, avec c'est-à-dire de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux de résistance de bobine[6] on obtient un cœfficient d'amortissement [5],[7] correspondant à un régime pseudo-périodique de pseudo-période [8] ; dans la pratique le régime forcé est considéré comme établi après une durée de [9] correspondant à peu près à pseudo-oscillations[10]on choisit comme sensibilité de base de temps [11], l'oscillogramme ayant été tronqué à droite[12].
Superposition des diagrammes horaires des réponses pseudo-périodique, apériodique critique et apériodique en tension aux bornes du condensateur d'un série soumis à un échelon de tension
Ci-dessus au centre, avec c'est-à-dire de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux de résistance de bobine[13] on obtient un cœfficient d'amortissement [5],[14] correspondant à un régime apériodique critiquerégime à partir duquel on n'observe plus de pseudo-oscillations[15],[16], on choisit comme sensibilité de base de temps [17], l'oscillogramme ayant été tronqué à droite[12].
Ci-dessus à droite, avec c'est-à-dire de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux de résistance de bobine négligeable en pratique[18] on obtient un cœfficient d'amortissement [5],[19] correspondant à un régime apériodiquerégime sans pseudo-oscillations au-delà du régime apériodique critique[20],[21], on choisit comme sensibilité de base de temps [22], l'oscillogramme ayant été tronqué à droite[12].
Ci-contre la superposition des trois réponses précédentes sur un même diagramme horaire, ce qui permet de constater que c'est dans le cas du régime apériodique critique en rouge ci-contre que le régime forcé s'établit le plus rapidement.
Quel que soit le régime pseudo-périodique, apériodique critique ou apériodique, on observe la continuité de la tension aux bornes du condensateur du série soumis à un échelon de tension en , instant de discontinuité de 1ère espèce de l'échelon source[23].
Relevé expérimental de l'évolution temporelle de l'intensité du courant traversant le « R L C série » avec observation de sa continuité en t = 0
Schéma d'observation de la réponse en tension aux bornes du conducteur ohmique d'un série soumis à un échelon de tension
On rappelle que pour observer l'évolution temporelle d'une intensité instantanée de courant à l'oscilloscope on visualise la tension instantanée aux bornes d'un conducteur ohmique traversé par ce courant, ici nous regarderons la tension aux bornes du « conducteur ohmique de résistance » [24].
Pour enregistrer la « réponse en tension aux bornes du conducteur ohmique additionnel du série soumis à un échelon de tension d'amplitude » à partir du schéma représenté ci-contre en faisant apparaître l'instant , il faut lancer l'enregistrement légèrement avant la fermeture de ; il faut d'autre part choisir la sensibilité de base de temps pour obtenir la courbe entière sur l'écran, choix précisé par la suite[25] ;
enfin l'échelon de tension peut être
créé de façon unique par une A.S. [1] à amplitude variable que l'on choisira par exemple à , dans ce cas le zéro de l'A.S[1]. est reliée à la Terre[2] et il est nécessaire de positionner le conducteur ohmique comme sur la figure ci-contre pour des raisons d'unicité de masses ou
automatisé par « création et suppression d'un échelon de tension d'amplitude » à l'aide d'un G.B.F. délivrant une tension « créneau » symétrique d'amplitude à laquelle on ajoute une composante permanente , permettant d'obtenir sur l'alternance de valeur haute du créneau, une tension délivrée par le G.B.F. valant et sur l'alternance de valeur basse une tension valant pour que la création et la suppression soient indépendantes il est nécessaire que l'intensité du courant traversant le série ne varie plus c'est-à-dire qu'il faut adapter la durée d'une alternance conformément à la durée de l'établissement du régime forcé, laquelle dépendant des valeurs des paramètres du série sera précisé par la suite.
Ci-dessous les trois types de réponses en suivant la valeur de résistance du série soumis à un échelon de tension d'amplitude ; avec et on obtient, comme pulsation propre du série, [5]
Diagramme horaire d'une réponse pseudo-périodique en tension aux bornes du conducteur ohmique d'un série soumis à un échelon de tensionDiagramme horaire d'une réponse apériodique en tension aux bornes du conducteur ohmique d'un série soumis à un échelon de tensionDiagramme horaire d'une réponse apériodique critique en tension aux bornes du conducteur ohmique d'un série soumis à un échelon de tension
Ci-dessus à gauche, avec c'est-à-dire de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux de résistance de bobine on obtient un cœfficient d'amortissement [5],[7] correspondant à un régime pseudo-périodique de pseudo-période [26] ; dans la pratique le régime forcé est considéré comme établi après une durée de [9] correspondant à peu près à pseudo-oscillations[10]on choisit comme sensibilité de base de temps [11], l'oscillogramme ayant été tronqué à droite[12].
Superposition des diagrammes horaires des réponses pseudo-périodique, apériodique critique et apériodique en tension aux bornes du conducteur ohmique d'un série soumis à un échelon de tension
Ci-dessus au centre, avec c'est-à-dire de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux de résistance de bobine on obtient un cœfficient d'amortissement [5],[14] correspondant à un régime apériodique critiquerégime à partir duquel on n'observe plus de pseudo-oscillations[27],[16], on choisit comme sensibilité de base de temps [17], l'oscillogramme ayant été tronqué à droite[12].
Ci-dessus à droite, avec c'est-à-dire de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux de résistance de bobine négligeable en pratique on obtient un cœfficient d'amortissement [5],[19] correspondant à un régime apériodiquerégime sans pseudo-oscillations au-delà du régime apériodique critique[20],[21], sensibilité de base de temps choisie à [22], l'oscillogramme ayant été tronqué à droite[12].
Ci-contre la superposition des trois réponses précédentes sur un même diagramme horaire, ce qui permet de constater que c'est dans le cas du régime apériodique critique en rouge ci-contre que le régime forcé nul s'établit le plus rapidement.
Quel que soit le régime pseudo-périodique, apériodique critique ou apériodique, on observe la continuité de l'intensité du courant traversant le série[28] soumis à un échelon de tension en , instant de discontinuité de 1ère espèce de l'échelon source[23].
Relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes de la bobine, observation de sa discontinuité de 1ère espèce en t = 0
Nous cherchons à visualiser la tension aux bornes de la composante parfaite de la bobine réelle, mais ceci n'étant pas possible directement, deux possibilités s'offrent à nous :
la résistance de la bobine est petite relativement à la résistance additionnelle et nous pourrons assimiler la tension aux bornes de la bobine réelle à sa composante parfaite selon , ce sera le cas pour les régimes apériodiques critique ou non,
la résistance de la bobine n'est pas petite relativement à la résistance additionnelle ce sera le cas pour le régime pseudo-périodique avec alors que donnant et , nous visualiserons c'est-à-dire ce que l'on cherche avec une erreur systématique de [29] qu'il conviendrait théoriquement de « soustraire à » [30] pour obtenir ce que l'on souhaite.
Dans les exemples proposés nous supposons que d'où le schéma de circuit ci-dessous.
Schéma d'observation de la réponse en tension aux bornes de la bobine d'un série soumis à un échelon de tension
Pour enregistrer la « réponse en tension aux bornes de la bobine du série soumis à un échelon de tension d'amplitude » à partir du schéma représenté ci-contre en faisant apparaître l'instant , il faut lancer l'enregistrement légèrement avant la fermeture de ; il faut d'autre part choisir la sensibilité de base de temps pour obtenir la courbe entière sur l'écran, choix précisé par la suite[25] ;
enfin l'échelon de tension peut être
créé de façon unique par une A.S. [1] à amplitude variable que l'on choisira par exemple à , dans ce cas le zéro de l'A.S[1]. est reliée à la Terre[2] et il est nécessaire de positionner la bobine comme sur la figure ci-contre pour des raisons d'unicité de masses ou
automatisé par « création et suppression d'un échelon de tension d'amplitude » à l'aide d'un G.B.F. délivrant une tension « créneau » symétrique d'amplitude à laquelle on ajoute une composante permanente , permettant d'obtenir sur l'alternance de valeur haute du créneau, une tension délivrée par le G.B.F. valant et sur l'alternance de valeur basse une tension valant [31]pour que la création et la suppression soient indépendantes il est nécessaire que la dérivée temporelle de l'intensité du courant traversant le série ne varie plus c'est-à-dire qu'il faut adapter la durée d'une alternance conformément à la durée de l'établissement du régime forcé en , laquelle dépendant des valeurs des paramètres du série sera précisé par la suite.
Ci-dessous les trois types de réponses en suivant la valeur de résistance du série soumis à un échelon de tension d'amplitude ; avec et on obtient, comme pulsation propre du série, [5]
Diagramme horaire d'une réponse pseudo-périodique en tension aux bornes de la bobine d'un série soumis à un échelon de tensionDiagramme horaire d'une réponse apériodique en tension aux bornes de la bobine d'un série soumis à un échelon de tensionDiagramme horaire d'une réponse apériodique critique en tension aux bornes de la bobine d'un série soumis à un échelon de tension
Ci-dessus à gauche, avec c'est-à-dire de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux de résistance de bobine on obtient un cœfficient d'amortissement [5],[7] correspondant à un régime pseudo-périodique de pseudo-période [32] ; dans la pratique le régime forcé est considéré comme établi après une durée de [9] correspondant à peu près à pseudo-oscillations[10]on choisit comme sensibilité de base de temps [11], l'oscillogramme ayant été tronqué à droite[12].
Ci-dessus au centre, avec c'est-à-dire de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux de résistance de bobine on obtient un cœfficient d'amortissement [5],[14] correspondant à un régime apériodique critiquerégime à partir duquel on n'observe plus de pseudo-oscillations de l'intensité du courant [33],[16], on choisit comme sensibilité de base de temps [17], l'oscillogramme ayant été tronqué à droite[12].
Superposition des diagrammes horaires des réponses pseudo-périodique, apériodique critique et apériodique en tension aux bornes de la bobine d'un série soumis à un échelon de tension
Ci-dessus à droite, avec c'est-à-dire de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux de résistance de bobine négligeable en pratique on obtient un cœfficient d'amortissement [5],[19] correspondant à un régime apériodiquerégime sans pseudo-oscillations de l'intensité du courant au-delà du régime apériodique critique de cette dernière[20],[34], on choisit comme sensibilité de base de temps [35], l'oscillogramme ayant été tronqué à droite[12].
Ci-contre la superposition des trois réponses précédentes sur un même diagramme horaire, ce qui permet de constater que, contrairement aux réponses en ou en pour lesquelles le régime forcé est établi le plus rapidement dans le cas apériodique critique, c'est dans le cas du régime apériodique en bleu ci-contre que le régime forcé nul de s'établit le plus rapidement[36].
Quel que soit le régime pseudo-périodique, apériodique critique ou apériodique, on observe la discontinuité de 1ère espèce de la partie inductive de la tension aux bornes de la bobine du série soumis à un échelon de tension en , instant de discontinuité de 1ère espèce de l'échelon source.
Étude théorique du « R L C série » soumis à un échelon de tension, réponse en tension aux bornes du condensateur
L'équation différentielle en , tension aux bornes du condensateur, du circuit de charge ci-contre s'obtient par équation de maille dans laquelle ne doit rester que comme inconnue, le circuit série étant traversé par un même courant d'intensité :
pour tout , où il convient d'éliminer au profit de selon [37] d'où soit finalement, en normalisant et ordonnant, l'équation différentielle en suivante
«»[38] ; on remarque que l'excitation est discontinue de 1ère espèce en .
Discontinuité de 1ère espèce de l'excitation et conséquence induite sur la tension uC(t) aux bornes du condensateur en t = 0
Nous avons admis dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »[39] que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1er membre « la dérivée temporelle 2nde de la solution générale est discontinue de 1ère espèce en », et que le numéro d'espèce de discontinuité d'une unité[40] à chaque prise de primitive « la dérivée temporelle 1ère de la solution générale ainsi que la solution générale elle-même sont discontinues de 0ème espèce c'est-à-dire continues en » ;
en conclusion on induit que et sont continues en [41] et on justifie ces inductions par la propriété de continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite et celle de la tension aux bornes d'un condensateur parfait[42] dans un circuit « réel »[43].
Établissement de la réponse en tension uC(t) aux bornes du condensateur d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension, réduction canonique du « R L C série » (pulsation propre, cœfficient d'amortissement ou facteur de qualité), régime libre, réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire
La solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2ème ordre en [51] étant la solution générale de l'équation différentielle homogène[52]
Préliminaire : résolution d'une équation algébrique du 2ème degré avec le monôme de degré un faisant apparaître un facteur soit
«» ;
Préliminaire : sans utiliser cette particularité le discriminant s'écrit , la factorisation par permet d'introduire la notion de « discriminant réduit», le discriminant étant alors quatre fois ce dernier et par l'étude « du signe du discriminant réduit » [55], on obtient :
Préliminaire : « pour , il y a deux racines réelles distinctes »[56],[57] ;
Préliminaire : « pour , il y a une racine réelle double »[56],[58] ;
Préliminaire : « pour , il n'y a aucune racine réelle mais, quand on résout dans , deux racines complexes conjuguées »[56],[59].
Utilisation du préliminaire : le discriminant réduit de l'équation caractéristique «»[60] vaut ou encore
«».
Discussion suivant la valeur du cœfficient d'amortissement σ
« étant » les racines de l'équation caractéristique sont réelles et distinctes égales à «»[61], la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre à laquelle obéit est apériodique et s'écrit
«[62] et étant deux constantes réelles arbitraires «».
Remarques : La condition de positivité du discriminant réduit de l'équation caractéristique se réécrit en utilisant la 2ème ou 3ème réduction canonique
« étant » l'équation caractéristique a une racine réelle double égale à «»[65], la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre à laquelle obéit est apériodique critique et s'écrit
«[66] et étant deux constantes réelles arbitraires «».
Remarques : La valeur du cœfficient d'amortissement critique se transforme, en utilisant la 2ème ou 3ème réduction canonique
en valeur critique du facteur de qualité soit «»[63] et
en valeur critique de la constante de temps soit «»[64].
« étant » l'équation caractéristique n'a aucune racine réelle mais deux racines complexes conjuguées «»[67] ou, «» en introduisant la notion de « pseudo-pulsation»[68],[69],
« étant » la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre à laquelle obéit est pseudo-périodique et s'écrit
«»[70], et étant deux constantes réelles arbitraires.
Remarques : La condition de négativité du discriminant réduit de l'équation caractéristique se réécrit en utilisant la 2ème ou 3ème réduction canonique
L'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique ainsi que celle stockée dans la bobine sous forme électromagnétique dans le circuit résistif série soumis à un échelon de tension étant continues[42], on en déduit la continuité de la tension aux bornes du condensateur ainsi que celle de l'intensité du courant traversant la bobine soit, avec leur valeur respective à l'instant nulle, et d'où
Faisant dans l'expression de on trouve «» puis Faisant dans l'express. formant pour y faire on trouve «» ou encore, avec , la C.I[76]. «» ;
les deux équations aux deux variables et ne sont pas linéaires mais, en considérant les deux variables et on obtient un « système de deux équations linéaires algébriques aux deux inconnues et »[79] selon «», on en déduit «» d'une part et «» d'autre part ;
on détermine alors par élimination de selon «» ou soit, en conservant la valeur positive de [80],
«» et
on détermine alors par «» ou encore, en choisissant la valeur de dans l'intervalle [81] telle que soit, en inversant et en tenant compte de son intervalle de définition[82]
«» ou «» avec «» ;
finalement la réponse pseudo-périodique en tension aux bornes du condensateur s'écrit
Remarque préliminaire : En absence de conducteur ohmique, le circuit n'est pas résistif[84], on ne peut donc pas invoquer la continuité de l'énergie stockée par le condensateur sous forme électrostatique ni celle de l'énergie stockée par la bobine sous forme électromagnétique car l'établissement de celles-ci a nécessité d'utiliser le caractère résistif du circuit[42],[85] ;
Remarque préliminaire : toutefois on a induit dans le paragraphe « discontinuité de 1ère espèce de l'excitation et conséquence induite sur la tension uC(t) aux bornes du condensateur en t = 0 » plus haut dans ce chapitre, que la discontinuité de 1ère espèce de l'excitation de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2nd ordre en avec ou sans terme du 1er ordre entraînait la « continuité de et de sa dérivée temporelle » que le circuit soit résistif ou non soit, compte-tenu de la nullité de et de à l'instant , les C.I[76]. suivantes encore valables dans un circuit série soumis à un échelon de tension : «» et «».
Faisant dans l'expression de [86], on trouve «» soit «» puis Faisant dans l'express. formant pour en prendre la valeur initiale on trouve «» soit «» ;
finalement la réponse périodique en tension aux bornes du condensateur s'écrit
Diagramme horaire d'une réponse pseudo-périodique en tension aux bornes du condensateur d'un série soumis à un échelon de tension avec tracé de ses enveloppes
La courbe est pseudo-périodique de pseudo-période ou, en introduisant la période propre , une « pseudo-période toujours à la période propre »[88] et ceci d'autant plus que le cœfficient d'amortissement se rapproche de sa valeur critique ;
ci-contre, ont également été tracées les « enveloppes » [89] supérieure et inférieure dont « les contacts avec le graphe de correspondent respectivement à et » ;
on en déduit les propriétés suivantes :
deux points de contact successifs de la courbe avec l'enveloppe supérieure ou inférieure sont de temps séparés de ;
deux points de contact successifs de la courbe avec l'enveloppe supérieure et inférieure sont de temps séparés de ;
un point de contact de la courbe avec l'enveloppe supérieure ou inférieure et le 1er point coupant la droite sont de temps séparés de ;
variation exponentielle des enveloppes supérieure et inférieure avec une « constante de temps égale à »[90]justifiant que l'on estime le régime forcé atteint à moins de près au bout de , une conséquence étant que les tangentes aux enveloppes à recoupe la droite à la date ;
toutes ces propriétés sont largement suffisantes pour assurer un tracé correct du diagramme horaire.
Remarque : les points de contact de la courbe avec les enveloppes correspondent aux instants tels que et non aux instants pour lesquelles la courbe prend des valeurs « extrémales » [91] ; il n'est pas a priori nécessaire de déterminer les instants pour tracer la courbe mais s'il est demandé de les évaluer pour d'autres raisons on procède comme suit :
Remarque : « sont définis par » avec la dérivée temporelle 1ère de s'explicitant selon «» d'où, après simplification évidente, l'équation «» que l'on résout en évaluant la tangente de l'angle «», les racines étant définies à près selon «» et enfin, compte-tenu de la valeur de précédemment déterminée, soit finalement «»[92], établissant que les valeurs extrémales sont régulièrement réparties avec une périodicité de .
Étude théorique du « R L C série » soumis à un échelon de tension, réponse en intensité du courant traversant le D.P.L.
Schéma d'un série soumis à un échelon de tension d'amplitude avec sens d'utilisation de l'équation de maille
Rechercher une réponse en intensité du courant traversant le série soumis à un échelon de tension peut se faire en cherchant la réponse en tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance car la loi d'Ohm liant les deux grandeurs en convention récepteur est une relation de proportionnalité.
Équation différentielle en intensité du courant traversant le « R L C série » soumis à un échelon de tension
L'équation différentielle en , intensité du courant du circuit série ci-contre, s'obtient par équation de maille dans laquelle ne doit rester que :
pour tout , où il convient d'éliminer au profit de en utilisant [37] d'où, en dérivant temporellement[93], [94] soit finalement, en normalisant et ordonnant, l'équation différentielle en suivante
«»[95] ; on remarque que l'excitation est discontinue de 2ème espèce en .
Discontinuité de 2ème espèce de l'excitation et conséquence induite sur l'intensité i(t) du courant traversant le « R L C série » en t = 0
Nous avons admis dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »[39] que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1er membre « la dérivée temporelle 2nde de la solution générale est discontinue de 2ème espèce en », et que le numéro d'espèce de discontinuité d'une unité[40] à chaque prise de primitive[93] « la dérivée temporelle 1ère de la solution générale est discontinue de 1ère espèce en » et « la solution générale discontinue de 0ème espèce c'est-à-dire continue en » ;
en conclusion on induit que est continue et discontinue de 1ère espèce en , on justifie la 1ère induction par la propriété de continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite[96] dans un circuit « réel »[43] et la 2ème en traçant le circuit à dans lequel on remplace la bobine et le condensateur par leur équivalent, à savoir, dans la mesure où la bobine n'est initialement[97] traversée par aucun courant et le condensateur est initialement[97] déchargé :
équivalent de la bobine à un interrupteur ouvert on utilise de nouveau la continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite[96] dans un circuit « réel »[43] et
équivalent du condensateur à un court-circuit on utilise ici la propriété de continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait[98] dans un circuit « réel »[43].
Établissement de la réponse en intensité i(t) du courant traversant le « R L C série » soumis à un échelon de tension, réduction canonique, régime libre, absence de réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire
Les réductions canoniques ne dépendant que du 1er membre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre et celui-ci étant le même pour une réponse en ou en d'un série, on a les mêmes réductions canoniques qu'au paragraphe « réductions canoniques {de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2nd ordre en uC(t)} » plus haut dans ce chapitre ;
on utilisera la 1ère pour la suite avec introduction
« étant » les racines de l'équation caractéristique sont réelles et distinctes égales à «»[61], la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre à laquelle obéit est apériodique et s'écrit
«[62] et étant deux constantes réelles arbitraires «».
Remarques : Voir la réécriture de la condition de positivité du discriminant réduit de l'équation caractéristique «» en utilisant la 2ème ou 3ème réduction canonique au paragraphe « σ > 1 (fort amortissement) (remarques) » plus haut dans ce chapitre à savoir «»[63] ou «»[64].
« étant » l'équation caractéristique a une racine réelle double égale à «»[65], la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre à laquelle obéit est apériodique critique et s'écrit
«[66] et étant deux constantes réelles arbitraires «».
Remarques : Voir la réécriture de la condition de nullité du discriminant réduit de l'équation caractéristique «» en utilisant la 2ème ou 3ème réduction canonique au paragraphe « σ = 1 (amortissement critique) (remarques) » plus haut dans ce chapitre à savoir «»[63] ou «»[64].
« étant » l'équation caractéristique n'a aucune racine réelle mais deux racines complexes conjuguées «»[67] ou, «» en introduisant la notion de « pseudo-pulsation»[68],
« étant » la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre à laquelle obéit est pseudo-périodique et s'écrit
«»[70], et étant deux constantes réelles arbitraires.
Remarques : Voir la réécriture de la condition de négativité du discriminant réduit de l'équation caractéristique «» en utilisant la 2ème ou 3ème réduction canonique au paragraphe « σ < 1 (faible amortissement) (remarques) » plus haut dans ce chapitre à savoir «»[63] ou «»[64].
on écrit directement[72] la solution générale libre périodique sous la forme
«[73] et étant des constantes réelles arbitraires ou « et étant des constantes réelles arbitraires».
Remarques : Voir la réécriture de la condition d'absence d'amortissement «» en utilisant la 2ème ou 3ème réduction canonique au paragraphe « σ = 0 (absence d'amortissement) (remarques) » plus haut dans ce chapitre à savoir «»[63] ou «»[64].
Forme de la réponse transitoire en i(t) suivant la valeur du cœfficient d'amortissement σ
« En absence de réponse forcée » de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre en à l'échelon de tension d'amplitude , « la réponse transitoire s'identifie à la réponse libre » d'où :
Circuit à d'un série soumis à un échelon de tension d'amplitude avec bobine initialement traversée par aucun courant et condensateur initialement déchargé
L'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique dans le circuit résistif série soumis à un échelon de tension étant continue[96], on en déduit la continuité de l'intensité du courant traversant la bobine soit, avec sa valeur respective à l'instant nulle, ;
n'ayant aucune propriété de continuité de dans un circuit réel, nous obtiendrons sa valeur initiale en traçant le circuit à [102] dans lequel on remplace la bobine par un interrupteur ouvert d'après la 1ère C.I[76]. et le condensateur initialement[97] déchargé par un court-circuit[103] voir ci-contre ;
la tension aux bornes de la source se retrouve aux bornes de l'interrupteur ouvert remplaçant la bobine à l'instant d'où et par suite dont on tire la C.I[76]. cherchée .
Remarque préliminaire : En absence de conducteur ohmique, le circuit n'est pas résistif[84], on ne peut donc pas invoquer la continuité de l'énergie stockée par le condensateur sous forme électrostatique ni celle de l'énergie stockée par la bobine sous forme électromagnétique car l'établissement de celles-ci a nécessité d'utiliser le caractère résistif du circuit[42],[85] ;
Remarque préliminaire : toutefois on a induit dans le paragraphe « discontinuité de 2ème espèce de l'excitation et conséquence induite sur l'intensité i(t) du courant traversant le R L C série en t = 0 » plus haut dans ce chapitre, que la discontinuité de 2ème espèce de l'excitation de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2nd ordre en avec ou sans terme du 1er ordre entraînait la « continuité de et la discontinuité de 1ère espèce de sa dérivée temporelle 1ère» que le circuit soit résistif ou non soit, compte-tenu de la nullité de à l'instant , une 1ère C.I[76]. «» restant valable dans un circuit série soumis à un échelon de tension, la 2ème C.I[76]. nécessitant de tracer le circuit à en remplaçant la bobine par un interrupteur ouvert et le condensateur par son équivalent à savoir un court-circuit[110] dont on déduit et «».
Faisant dans l'expression de [111], on trouve «» puis Faisant dans l'express. formant pour en prendre la valeur initiale on trouve «» soit «»[112] ou, en substituant , une 3ème expression «» ;
finalement la réponse périodique en intensité du courant traversant le série s'écrit
Diagramme horaire d'une réponse pseudo-périodique en intensité du courant traversant un série soumis à un échelon de tension avec tracé de ses enveloppes
La courbe est pseudo-périodique de pseudo-période ou, en introduisant la période propre , une « pseudo-période toujours à la période propre »[88] et ceci d'autant plus que le cœfficient d'amortissement se rapproche de sa valeur critique ;
ci-contre, ont également été tracées les « enveloppes » [89] supérieure et inférieure dont « les contacts avec le graphe de correspondent respectivement à et » ;
on en déduit les propriétés suivantes :
deux points de contact successifs de la courbe avec l'enveloppe supérieure ou inférieure sont de temps séparés de ;
deux points de contact successifs de la courbe avec l'enveloppe supérieure et inférieure sont de temps séparés de ;
un point de contact de la courbe avec l'enveloppe supérieure ou inférieure et le 1er point coupant la droite sont de temps séparés de ;
variation exponentielle des enveloppes supérieure et inférieure avec une « constante de temps égale à »[90]justifiant que l'on estime le régime transitoire achevé à moins de près au bout de , une conséquence étant que les tangentes aux enveloppes à recoupe la droite à la date ;
toutes ces propriétés sont largement suffisantes pour assurer un tracé correct du diagramme horaire.
Remarque : les points de contact de la courbe avec les enveloppes correspondent aux instants tels que et non aux instants pour lesquelles la courbe prend des valeurs « extrémales » [91] ; il n'est pas a priori nécessaire de déterminer les instants pour tracer la courbe mais s'il est demandé de les évaluer pour d'autres raisons on procède comme suit :
Remarque : « sont définis par » avec la dérivée temporelle 1ère de s'explicitant selon «» d'où, après simplification évidente, l'équation «» que l'on résout en évaluant la tangente de l'angle «», les racines étant définies à près selon «» soit finalement les instants cherchés «», établissant que les valeurs extrémales sont régulièrement réparties avec une périodicité de .
Étude théorique du « R L C série » soumis à un échelon de tension, réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite)
L'équation différentielle en , tension aux bornes de la bobine parfaite du circuit série ci-contre, s'obtient par équation de maille dans laquelle ne doit rester que :
pour tout , où il convient d'éliminer et au profit de en utilisant [37] et [37] d'où, pour tout , en dérivant temporellement[93] la relation , [94] puis, pour tout , en dérivant temporellement la relation ci-dessus, [113] soit finalement, pour tout , l'équation différentielle en suivante
«»[114] ; on remarque que l'excitation est “ discontinue de 3ème espèce ”[115] en .
“ Discontinuité de 3ème espèce ” de l'excitation et conséquence induite sur la tension uL(t) aux bornes de la bobine (parfaite) du « R L C série » en t = 0
Nous avons admis dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »[39] que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1er membre « la dérivée temporelle 2nde de la solution générale est “ discontinue de 3ème espèce ”[115] en », et que le numéro d'espèce de discontinuité d'une unité[40] à chaque prise de primitive[93] « la dérivée temporelle 1ère de la solution générale est discontinue de 2ème espèce en » et « la solution générale discontinue de 1ère espèce en » ;
en conclusion on induit que est discontinue de 1ère espèce et discontinue de 2ème espèce en , en conclusion on justifie la 1ère induction en traçant le circuit à dans lequel on remplace la bobine et le condensateur par leur équivalent, à savoir, dans la mesure où la bobine n'est initialement[97] traversée par aucun courant et le condensateur est initialement[97] déchargé :
équivalent de la bobine à un interrupteur ouvert on utilise de nouveau la continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite[96] dans un circuit « réel »[43] et
équivalent du condensateur à un court-circuit on utilise ici la propriété de continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait[98] dans un circuit « réel »[43]
en conclusion ainsi que la 2ème induction en revenant à la relation [116] et en y faisant [117] soit dans laquelle utilise la propriété de continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite[96] dans un circuit « réel »[43] et a été déterminé par circuit à .
Établissement de la réponse en tension uL(t) aux bornes de la bobine (parfaite) du « R L C série » soumis à un échelon de tension, réduction canonique, régime libre, absence de réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire
Les réductions canoniques ne dépendant que du 1er membre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre et celui-ci étant le même pour une réponse en , en ou en d'un série, on a les mêmes réductions canoniques qu'au paragraphe « réductions canoniques {de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2nd ordre en uC(t)} » plus haut dans ce chapitre ;
on utilisera la 1ère pour la suite avec introduction
« étant » les racines de l'équation caractéristique sont réelles et distinctes égales à «»[61], la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre à laquelle obéit est apériodique et s'écrit
«[62] et étant deux constantes réelles arbitraires «».
Remarques : Voir la réécriture de la condition de positivité du discriminant réduit de l'équation caractéristique «» en utilisant la 2ème ou 3ème réduction canonique au paragraphe « σ > 1 (fort amortissement) (remarques) » plus haut dans ce chapitre à savoir «»[63] ou «»[64].
« étant » l'équation caractéristique a une racine réelle double égale à «»[65], la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre à laquelle obéit est apériodique critique et s'écrit
«[66] et étant deux constantes réelles arbitraires «».
Remarques : Voir la réécriture de la condition de nullité du discriminant réduit de l'équation caractéristique «» en utilisant la 2ème ou 3ème réduction canonique au paragraphe « σ = 1 (amortissement critique) (remarques) » plus haut dans ce chapitre à savoir «»[63] ou «»[64].
« étant » l'équation caractéristique n'a aucune racine réelle mais deux racines complexes conjuguées «»[67] ou, «» en introduisant la notion de « pseudo-pulsation»[68],
« étant » la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre à laquelle obéit est pseudo-périodique et s'écrit
«»[70], et étant deux constantes réelles arbitraires.
Remarques : Voir la réécriture de la condition de négativité du discriminant réduit de l'équation caractéristique «» en utilisant la 2ème ou 3ème réduction canonique au paragraphe « σ < 1 (faible amortissement) (remarques) » plus haut dans ce chapitre à savoir «»[63] ou «»[64].
on écrit directement[72] la solution générale libre périodique sous la forme
«[73] et étant des constantes réelles arbitraires ou « et étant des constantes réelles arbitraires».
Remarques : Voir la réécriture de la condition d'absence d'amortissement «» en utilisant la 2ème ou 3ème réduction canonique au paragraphe « σ = 0 (absence d'amortissement) (remarques) » plus haut dans ce chapitre à savoir «»[63] ou «»[64].
Forme de la réponse transitoire en uL(t) suivant la valeur du cœfficient d'amortissement σ
« En absence de réponse forcée » de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre en à l'échelon de tension d'amplitude , « la réponse transitoire s'identifie à la réponse libre » d'où :
Circuit à d'un série soumis à un échelon de tension d'amplitude avec bobine initialement traversée par aucun courant et condensateur initialement déchargé
N'ayant aucune propriété de continuité de ainsi que de sa dérivée temporelle dans un circuit réel, nous obtiendrons la valeur initiale de la 1ère en traçant le circuit à [102] dans lequel on remplace la bobine par un interrupteur ouvert[119] et le condensateur initialement[97] déchargé par un court-circuit[103] voir ci-contre ;
la tension aux bornes de la source se retrouve aux bornes de l'interrupteur ouvert remplaçant la bobine à l'instant d'où ;
la 2ème C.I[76]. nécessite de revenir à la relation [116] et d'y faire [117] en utilisant la propriété de continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite[96] dans un circuit «~réel~»[43] dans le cas où initialement[97] la bobine n'est traversée par aucun courant et précédemment déterminée par circuit à d'où la relation donnant ou .
Faisant dans l'expression de on trouve «» puis Faisant dans l'express. formant pour y faire on trouve «» ou encore, avec , la C.I[76]. se réécrit «»[104] ;
les deux équations aux deux variables et ne sont pas linéaires mais, en considérant les deux variables et on obtient un « système de deux équations linéaires algébriques aux deux inconnues et »[79] selon «», on en déduit «» d'une part et «» d'autre part ;
on détermine alors par élimination de selon «» ou soit, en conservant la valeur positive de [80],
«» et
on détermine alors par «» ou encore, en choisissant la valeur de dans l'intervalle [81] telle que soit, en inversant et en tenant compte de son intervalle de définition[82]
«» ;
finalement la réponse pseudo-périodique en tension aux bornes de la bobine parfaite du série s'écrit
Remarque préliminaire : En absence de conducteur ohmique, le circuit n'est pas résistif[84], on ne peut donc pas invoquer la continuité de l'énergie stockée par le condensateur sous forme électrostatique ni celle de l'énergie stockée par la bobine sous forme électromagnétique car l'établissement de celles-ci a nécessité d'utiliser le caractère résistif du circuit[42],[85] ;
Remarque préliminaire : toutefois on a induit dans le paragraphe « discontinuité de 3ème espèce de l'excitation et conséquence induite sur la tension uL(t) aux bornes de la bobine (parfaite) du R L C série en t = 0 » plus haut dans ce chapitre, que la “ discontinuité de 3ème espèce ”[115] de l'excitation de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2nd ordre en avec ou sans terme du 1er ordre entraînait la « discontinuité de 1ère espèce de et la celle de 2ème espèce de sa dérivée temporelle 1ère» que le circuit soit résistif ou non soit, Remarque préliminaire : une 1ère C.I[76]. obtenue par tracé du circuit à en remplaçant la bobine par un interrupteur ouvert[124] et le condensateur par un court-circuit[125] «» restant valable dans un circuit série soumis à un échelon de tension, Remarque préliminaire : la 2ème C.I[76]. s'obtenant en revenant à la relation [116] et en y faisant [117], équation dans laquelle on utilise la propriété de continuité de l'intensité du courant[124] dans le cas où initialement[97] la bobine n'est traversée par aucun courant, soit finalement la 2ème C.I[76]. «» valable dans un circuit série soumis à un échelon de tension[126].
Faisant dans l'expression de [127], on trouve «» puis Faisant dans l'express. formant pour en prendre la valeur initiale on trouve «» soit «» ;
finalement la réponse périodique en tension aux bornes de la bobine parfaite du série s'écrit
Diagramme horaire d'une réponse pseudo-périodique en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un série soumis à un échelon de tension avec tracé de ses enveloppes
La courbe est pseudo-périodique de pseudo-période ou, en introduisant la période propre , une « pseudo-période toujours à la période propre »[88] et ceci d'autant plus que le cœfficient d'amortissement se rapproche de sa valeur critique ;
ci-contre, ont également été tracées les « enveloppes » [89] supérieure et inférieure dont « les contacts avec le graphe de correspondent respectivement à et » ;
on en déduit les propriétés suivantes :
deux points de contact successifs de la courbe avec l'enveloppe supérieure ou inférieure sont de temps séparés de ;
deux points de contact successifs de la courbe avec l'enveloppe supérieure et inférieure sont de temps séparés de ;
un point de contact de la courbe avec l'enveloppe supérieure ou inférieure et le 1er point coupant la droite sont de temps séparés de ;
variation exponentielle des enveloppes supérieure et inférieure avec une « constante de temps égale à »[90]justifiant que l'on estime le régime transitoire achevé à moins de près au bout de , une conséquence étant que les tangentes aux enveloppes à recoupe la droite à la date ;
toutes ces propriétés sont largement suffisantes pour assurer un tracé correct du diagramme horaire.
Remarque : les points de contact de la courbe avec les enveloppes correspondent aux instants tels que et non aux instants pour lesquelles la courbe prend des valeurs « extrémales » [91] ; il n'est pas a priori nécessaire de déterminer les instants pour tracer la courbe mais s'il est demandé de les évaluer pour d'autres raisons on procède comme suit :
Remarque : « sont définis par » avec la dérivée temporelle 1ère de s'explicitant selon «» d'où, après simplification évidente, l'équation «» que l'on résout en évaluant la tangente de l'angle «», les racines étant définies à près selon «»[128] soit finalement, avec , les instants cherchés «»[128], établissant que les valeurs extrémales sont régulièrement réparties avec une périodicité de .
Bilan de puissance d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension et conséquences
« La puissance instantanée électrique fournie par l'échelon de tension » se retrouve en « gain horaire d'énergie stockée dans le dipôle série[87]sous forme électromagnétique » et en « puissance calorifique dissipée par effet Joule[129] dans le conducteur ohmique » soit
«» où « est l'énergie électromagnétique instantanée stockée dans le dipôle série » c'est-à-dire «»[130], soit, mathématiquement, «»[131].
Équations différentielles en grandeurs électriques d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension déduites du bilan de puissance du D.P.L.
Il suffit d'« expliciter la dérivée temporelle 1ère de l'énergie stockée dans le série » à savoir «» que l'on reporte dans le bilan de puissance soit «» ou, Il suffit d' en utilisant l'expression de l'intensité de charge du condensateur en fonction de la tension entre ses bornes[37],[132]dans le but de simplifier le bilan, «» soit, Il suffit d' après simplification par, l'expression «» dans laquelle il nous reste à Il suffit d' éliminerau profit de en réutilisant [37] d'où «» soit, en ordonnant et normalisant, l'équation différentielle en tension de charge du condensateur d'un série soumis à un échelon de tension d'amplitude :
«».
Déduire, du bilan de puissance, l'équation différentielle en intensité du courant de charge du condensateur
Le début est identique, il suffit d'« expliciter la dérivée temporelle 1ère de l'énergie stockée dans le série à savoir ce qui donne «» que l'on reporte dans le bilan de puissance «» ou, Le début est identique, il suffit d' en utilisant l'expression de l'intensité de charge du condensateur en fonction de la tension entre ses bornes[37]dans le but de simplifier le bilan, «» soit, Le début est identique, il suffit d' après simplification par, l'« expression intermédiaire » dans laquelle il nous reste à Le début est identique, il suffit d' éliminerau profit de en réutilisant [37]ce qui nécessite de dériver[93] l'expression soit «» ou «» soit, en ordonnant et normalisant, l'équation différentielle en intensité de courant de charge du condensateur d'un série soumis à un échelon de tension d'amplitude :
«».
Déduire, du bilan de puissance, l'équation différentielle en tension aux bornes de la bobine (parfaite)
Le début est encore identique, il suffit d'« expliciter la dérivée temporelle 1ère de l'énergie stockée dans le série » à savoir ce qui donne «» et, après report dans le bilan de puissance, la relation suivante «» ou, Le début est encore identique, il suffit d' en utilisant l'expression de l'intensité de charge du condensateur en fonction de la tension entre ses bornes[37]dans le but de simplifier le bilan, «» soit, Le début est encore identique, il suffit d' après simplification par, l'« expression intermédiaire » dans laquelle il nous reste Le début est encore identique, il suffit d' à éliminerau profit de en réutilisant [37]ce qui nécessite de dériver[93] selon «» ou «» puis, Le début est encore identique, il suffit d' à éliminerau profit de en utilisant [37]ce qui nécessite de dériver[93] selon «» ou «» soit, en ordonnant, l'équation différentielle en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un série soumis à un échelon de tension d'amplitude :
«».
Bilan d'énergie d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension, dissipation d'énergie dans le conducteur ohmique, évolution des énergie stockées dans le condensateur et la bobine
On obtient le bilan d'énergie sur l'intervalle d'un série soumis à un échelon de tension d'amplitude en multipliant le bilan de puissance «» défini à l'instant par la durée , bilan d'énergie s'énonçant selon : On obtient le bilan d'énergie sur l'intervalle « le travail électrique élémentaire fourni par l'échelon de tension se retrouve en gain élémentaire d'énergie électromagnétique stockée dans le série[87] et en énergie calorifique [133] dissipée dans le conducteur ohmique de résistance » soit
«» avec «»[134], «» dont est la différentielle et «» chaleur dissipée par effet Joule[129] «».
Bilan d'énergie d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension sur [ 0+ ; t ]
On intègre[93] le bilan élémentaire ci-dessus entre et et on obtient, dans la mesure où le système est initialement[97] au repos ce qui a pour conséquence, en utilisant la continuité de et en , les valeurs suivantes « et »
«» soit, après intégration, le bilan d'énergie sur l'intervalle du série soumis à un échelon de tension d'amplitude «»[135] ce qui s'énonce selon :
« le travail électrique fourni par l'échelon de tension sur l'intervalle se retrouve en énergie stockée à l'instant dans le série[87] sous forme électromagnétique et en chaleur dissipée dans le conducteur ohmique de résistance par effet Joule[129] »,
l'« énergie électrique fournie la source » [136] se réécrivant, suivant le régime transitoire de la tension de charge du condensateur, sous les formes suivantes :
Énergie électrique fournie par l'échelon de tension d'amplitude E sur l'intervalle [ 0+ ; t] dans le cas d'une réponse apériodique de tension de charge du condensateur
Diagrammes horaires de l'énergie électrique fournie l'échelon de tension d'amplitude au circuit série sur en bleu, de l'énergie électromagnétique stockée dans le série en vert et de la chaleur dissipée par effet Joule[129] dans en rouge sur la même durée dans le cas d'une réponse apériodique en
La réponse apériodique de tension de charge du condensateur d'un série soumis à un échelon de tension d'amplitude «» avec «» ayant été déterminée[137] au paragraphe « σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique en uC(t) » plus haut dans ce chapitre, on en déduit l'expression de l'énergie électrique fournie par l'échelon de tension d'amplitude sur l'intervalle
«» « fonction variant de à » voir son diagramme horaire ci-contre en bleu.
Cette énergie électrique fournie par l'échelon de tension se retrouve :
en énergie stockée dans le « série »[87] sous forme électromagnétique «» voir son diagramme horaire ci-contre en vert[138] simplement jusqu'à [139] et
en énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique par effet Joule[129] «» voir son diagramme horaire ci-contre en rouge[138] de à [140].
Énergie électrique fournie par l'échelon de tension d'amplitude E sur l'intervalle [ 0+ ; t] dans le cas d'une réponse apériodique critique de tension de charge du condensateur
Diagrammes horaires de l'énergie électrique fournie l'échelon de tension d'amplitude au circuit série sur en bleu, de l'énergie électromagnétique stockée dans le série en vert et de la chaleur dissipée par effet Joule[129] dans en rouge sur la même durée dans le cas d'une réponse apériodique en
La réponse apériodique critique de tension de charge du condensateur d'un série soumis à un échelon de tension d'amplitude «» ayant été déterminée[137] au paragraphe « σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique en uC(t) » plus haut dans ce chapitre, on en déduit l'expression de l'énergie électrique fournie par l'échelon de tension d'amplitude sur l'intervalle
«» « fonction variant de à » voir son diagramme horaire ci-contre en bleu.
Cette énergie électrique fournie par l'échelon de tension se retrouve :
en énergie stockée dans le « série »[87] sous forme électromagnétique «» voir son diagramme horaire ci-contre en vert[141] simplement jusqu'à [139] et
en énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique par effet Joule[129] «» voir son diagramme horaire ci-contre en rouge[141] de à [140].
Énergie électrique fournie par l'échelon de tension d'amplitude E sur l'intervalle [ 0+ ; t] dans le cas d'une réponse pseudo-périodique de tension de charge du condensateur
Diagrammes horaires de l'énergie électrique fournie l'échelon de tension d'amplitude au circuit série sur en bleu, de l'énergie électromagnétique stockée dans le série en vert et de la chaleur dissipée par effet Joule[129] dans en rouge sur la même durée dans le cas d'une réponse pseudo-périodique en
La réponse pseudo-périodique de tension de charge du condensateur d'un série soumis à un échelon de tension d'amplitude «» avec « et » ayant été déterminée[137] au paragraphe « σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique en uC(t) » plus haut dans ce chapitre, on en déduit l'expression de l'énergie électrique fournie par l'échelon de tension d'amplitude sur l'intervalle
«» « fonction partant de et oscillant avec un amortissement exponentielle autour de » voir son diagramme horaire ci-contre en bleu.
Cette énergie électrique fournie par l'échelon de tension se retrouve :
en énergie stockée dans le « série »[87] sous forme électromagnétique «» voir son diagramme horaire ci-contre en vert[142] partant de et oscillant avec un amortissement exponentielle autour de [139] et
en énergie calorifique dissipée dans le conducteur ohmique par effet Joule[129] «» voir son diagramme horaire ci-contre en rouge[142] de à [140] avec toutefois une irrégulière dans la mesure où est oscillante.
Ordre de grandeur de la durée du régime transitoire d'une des réponses du « R L C série » soumis à un échelon de tension en fonction du cœfficient d'amortissement (ou du facteur de qualité)
Jusqu'à présent, lors de l'établissement d'une réponse forcée permanente avec un régime transitoire pseudo-périodique à amplitude exponentiellement, nous avons considéré que la réponse forcée était établie après une « durée de », ce qui correspondait à une « réponse établie à moins de près » [143] ;
toutefois ce critère est trop sélectif car, la plupart du temps, une réponse établie à moins de près est amplement suffisante et avec ce nouveau critère une réponse forcée permanente après un régime transitoire pseudo-périodique à amplitude exponentiellement est considérée comme établie après une « durée de » [144].
Le temps de réponse à , noté , est la durée nécessaire pour que la réponse forcée permanente soit établie à moins de près ;
le temps de réponse à en d'un circuit série soumis à un échelon de tension est calculable pour chaque valeur de cœfficient d'amortissement et exprimable en fonction de la valeur correspondante de la constante de temps , on obtient, suivant la nature du régime transitoire des exemples ci-après pour lesquels la pulsation propre est , les résultats ci-dessous :
Temps de réponse à 5 % pour un régime transitoire pseudo-périodique (c'est-à-dire avec un faible amortissement)
La valeur du cœfficient d'amortissement est liée à celle de la constante de temps de la réduction canonique du série par soit, «» «» la pseudo-période valant «» ;
ci-dessous à gauche le diagramme horaire de pour sur lequel on détermine graphiquement le temps de réponse à soit «» ou, en fonction de la constante de temps ,
Remarque : à partir de on en déduit le paramètre sans dimension « pour ».
Temps de réponse à en d'un série soumis à un échelon de tension d'amplitude dans le cas d'un régime transitoire pseudo-périodiqueTemps de réponse à en d'un série soumis à un échelon de tension d'amplitude dans le cas d'un régime transitoire apériodiqueTemps de réponse à en d'un série soumis à un échelon de tension d'amplitude dans le cas d'un régime transitoire apériodique critique
Temps de réponse à 5 % pour un régime transitoire apériodique critique (c'est-à-dire avec un amortissement critique)
La valeur du cœfficient d'amortissement est liée à celle de la constante de temps de la réduction canonique du série par soit, «» «» ;
ci-dessus au centre le diagramme horaire de pour sur lequel on détermine graphiquement le temps de réponse à soit «»[146] ou, en fonction de la constante de temps ,
«».
Remarque : à partir de on en déduit le paramètre sans dimension « pour ».
Temps de réponse à 5 % pour un régime transitoire apériodique c'est-à-dire avec un fort amortissement)
La valeur du cœfficient d'amortissement est liée à celle de la constante de temps de la réduction canonique du série par soit, «» «» ;
ci-dessus à droite le diagramme horaire de pour sur lequel on détermine graphiquement le temps de réponse à soit «»[147] ou, en fonction de la constante de temps ,
«».
Remarque : à partir de on en déduit le paramètre sans dimension « pour ».
Diagramme en échelle logarithmique du paramètre sans dimension « ω0 TR » en fonction du cœfficient d'amortissement σ
Diagramme en échelle log-log de en fonction du cœfficient d'amortissement d'un série, étant sa pulsation propre et son temps de réponse à en quand on lui impose un échelon de tensionTemps de réponse à en d'un série soumis à un échelon de tension d'amplitude dans le cas du régime transitoire pseudo-périodique sous-critique
Traçant «[148] en fonction de [148] avec les axes gradués directement en et en »[149], on obtient le diagramme représenté ci-contre en noir sur lequel ont été ajoutées, en rouge, la modélisation linéaire pour une réponse permanente après un régime transitoire à faible cœfficient d'amortissement[150] ainsi que celle après un régime transitoire à fort cœfficient d'amortissement[151] ;
on y observe un « minimum pour »[152] correspondant à «», le temps de réponse à minimal est donc obtenu en régime pseudo-périodique assez proche du régime apériodique critique[153], il vaut « approximativement »[154] soit encore «»[155].
Remarque sur les modélisations linéaires :
après un régime transitoire à faible cœfficient d'amortissement c'est-à-dire , on observe que la modélisation linéaire est de pente , correspondant à «» ou «» ou encore, étant constant dans les mesures considérées, «»[156] ;
après un régime transitoire à fort cœfficient d'amortissement c'est-à-dire , on observe que la modélisation linéaire est de pente , correspondant à «» ou «» ou encore, étant constant dans les mesures considérées, «»[157].
Détermination du temps de réponse à 5 % pour le régime transitoire pseudo-périodique à cœfficient d'amortissement sous-critique σ = 0,69 et conséquence
Ci-contre le diagramme horaire de pour le régime transitoire pseudo-périodique à cœfficient d'amortissement sous-critique sur lequel on détermine graphiquement le temps de réponse à soit «»[158] ou, en fonction de la constante de temps [152],
Conséquence : pour obtenir le plus rapidement possible la réponse forcée permanente à près il faut « se placer dans les conditions de régime transitoire sous-critique, plus précisément à cœfficient d'amortissement », « le temps nécessaire pour estimer la réponse forcée établie étant, avec constante de temps du série, de l'ordre de »[160].
Portraits de phase de l'évolution des grandeurs électriques d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension suivant les valeurs du cœfficient d'amortissement (ou du facteur de qualité)
Portrait de phase de la charge du condensateur d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension suivant les valeurs du cœfficient d'amortissement (ou du facteur de qualité)
Alors que l'équation cartésienne du portrait de phase de la charge du condensateur d'un série soumis à un échelon de tension se déduisait directement de l'équation différentielle en charge du condensateur en effet le portrait de phase est un lien entre et tout comme l'équation différentielle[161] ce n'est pas le cas ici car l'équation différentielle est un lien entre , et alors que le portrait de phase n'est qu'un lien entre et , aussi nous n'obtiendrons pas d'équation cartésienne pour le portrait de phase ;
les seules façons d'obtenir le portrait de phase cherché sont :
expérimentale on forme la courbe de Lissajous en se plaçant en fonctionnement de l'oscilloscope, la tension aux bornes du condensateur étant envoyée sur en “ horizontal ” et celle aux bornes du conducteur ohmique sur en “ vertical ”[162], ou
par ses équations paramétriques obtenues par résolution de l'équation différentielle.
Tracé du portrait de phase de la charge du condensateur d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement
Portrait de phase d'une réponse pseudo-périodique en charge du condensateur d'un série soumis à un échelon de tensionPortrait de phase d'une réponse apériodique en charge du condensateur d'un soumis à un échelon de tensionPortrait de phase d'une réponse apériodique critique en charge du condensateur d'un soumis à un échelon de tensionSuperposition des portraits de phase des réponses pseudo-périodique, apériodique critique, apériodique en charge du condensateur d'un série soumis à un échelon de tension au portrait de phase en charge du condensateur du série soumis au même échelon de tension
Les tracés ci-dessus ont été obtenus à partir de leurs équations paramétriques résultant de l'intégration de l'équation différentielle avec les C.I[76]. précédemment utilisées à savoir condensateur « initialement »[97] déchargé et absence de courant « initial »[97] dans le circuit, le dernier diagramme ci-contre superposant les trois portraits de phase à celui que l'on obtiendrait pour un « circuit oscillant non amorti » [163].
Propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement
Compte-tenu des C.I[76]. le point générique des portraits de phase part de l'origine et décrit les portraits de phase dans le sens horaireou sens « trigonométrique indirect » [164] pour tendre, quand il y a amortissement, vers le point d'« équilibre » correspondant au régime forcé permanent, de façon directe si ci-dessus à droite et au centre ou « spiralante » si en étant ci-dessus à gauche ;
sur le dernier diagramme ci-contre figure aussi le portrait de phase correspondant à un circuit oscillant non amorti en vert, ce dernier dans lequel s'inscrit tous les autres portraits de phase diffère des précédents par les propriétés suivantes :
c'est une courbe fermée traduisant le caractère « répétitif » [165] de la charge du condensateur, le portrait de phase étant décrit successivement en repassant par les mêmes points la charge et l'intensité du courant de charge ont les mêmes valeurs lors du nème tour que celles qu'elles avaient lors du tour précédent,
la nullité du cœfficient d'amortissement se manifeste par l'absence de point d'« équilibre » vers lequel tend le point générique, ceci traduisant le fait que la réponse « transitoire » [166] ne tend pas vers la réponse forcée permanente mais oscille autour de cette dernière sans amortissement, ce qui s'exprime par « le point correspondant au régime forcé permanent est le centre de symétrie du portrait de phase» »,
c'est une ellipse, les équations paramétriques obtenues par résolution de l'équation différentielle en étant , ce qui définit une ellipse de « centre », d'axes « l'axe des » et « celui des »[167], dont l'équation cartésienne est [168],[169].
Portrait de phase de l'intensité du courant traversant le « R L C série » soumis à un échelon de tension suivant les valeurs du cœfficient d'amortissement (ou du facteur de qualité)
Alors que l'équation cartésienne du portrait de phase de l'intensité du courant de charge du condensateur d'un série soumis à un échelon de tension se déduisait directement de l'équation différentielle en courant de charge du condensateur en effet le portrait de phase est un lien entre et tout comme l'équation différentielle[170] ce n'est pas le cas ici car l'équation différentielle est un lien entre , et alors que le portrait de phase n'est qu'un lien entre et , aussi nous n'obtiendrons pas d'équation cartésienne pour le portrait de phase ;
les seules façons d'obtenir le portrait de phase cherché sont :
expérimentale on forme la courbe de Lissajous en se plaçant en fonctionnement de l'oscilloscope, la tension aux bornes du conducteur ohmique étant envoyée sur en “ horizontal ” et celle aux bornes de la bobine parfaite sur en “ vertical ”[171], ou
par ses équations paramétriques obtenues par résolution de l'équation différentielle.
Tracé du portrait de phase de l'intensité du courant traversant le « R L C série » soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement
Portrait de phase d'une réponse pseudo-périodique en intensité de courant de charge du condensateur d'un série soumis à un échelon de tensionPortrait de phase d'une réponse apériodique en intensité de courant de charge du condensateur d'un soumis à un échelon de tensionPortrait de phase d'une réponse apériodique critique en intensité de courant de charge du condensateur d'un soumis à un échelon de tensionSuperposition des portraits de phase des réponses pseudo-périodique, apériodique critique, apériodique en intensité de courant de charge du condensateur d'un série soumis à un échelon de tension au portrait de phase en charge du condensateur du série soumis au même échelon de tension
Les tracés ci-dessus ont été obtenus à partir de leurs équations paramétriques résultant de l'intégration de l'équation différentielle avec les C.I[76]. précédemment utilisées à savoir condensateur « initialement »[97] déchargé et absence de courant « initial »[97] dans le circuit, le dernier diagramme ci-contre superposant les trois portraits de phase à celui que l'on obtiendrait pour un « circuit oscillant non amorti » [163].
Propriétés des portraits de phase de l'intensité du courant traversant le « R L C série » soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement
Compte-tenu des C.I[76]. le point générique des portraits de phase part de l'origine et décrit les portraits de phase dans le sens horaireou sens « trigonométrique indirect » [164] pour tendre, quand il y a amortissement, vers le point d'« équilibre » correspondant au repos, de façon directe si ci-dessus à droite, avec un « rebond[172] » si ci-dessus au centre ou « spiralante » si en étant ci-dessus à gauche ;
sur le dernier diagramme ci-contre figure aussi le portrait de phase correspondant à un circuit oscillant non amorti en vert, ce dernier dans lequel s'inscrit tous les autres portraits de phase diffère des précédents par les propriétés suivantes :
c'est une courbe fermée traduisant le caractère « répétitif » [165] du courant de charge du condensateur, le portrait de phase étant décrit successivement en repassant par les mêmes points l'intensité du courant de charge et la partie inductive de la tension aux bornes de la bobine ont les mêmes valeurs lors du nème tour que celles qu'elles avaient lors du tour précédent,
la nullité du cœfficient d'amortissement se manifeste par l'absence de point d'« équilibre » vers lequel tend le point générique, ceci traduisant le fait que la réponse « transitoire » [166] ne tend pas vers l'état de repos mais oscille autour de ce dernier sans amortissement, ce qui s'exprime par « le point correspondant à l'état de repos est le centre de symétrie du portrait de phase» »,
c'est une ellipse, les équations paramétriques obtenues par résolution de l'équation différentielle en définissant une ellipse de « centre », d'axes « l'axe des » et « celui des »[167], dont l'équation cartésienne est [168],[169].
Commentaire sur l'éventuel portrait de phase de la tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension
Étant donné que la dérivée temporelle de la tension aux bornes de la bobine parfaite d'un série soumis à un échelon de tension d'amplitude ne représente, même à un cœfficient multiplicatif près, aucune grandeur électrique contrairement à la dérivée temporelle de la charge ou celle de l'intensité de courant de charge du condensateur, la notion de portrait de phase de n'a qu'un intérêt très limité et ne sera pas introduite dans ce cours[173].
Description de l'évolution temporelle d'une grandeur connaissant le portrait de phase qui lui est associé
Portrait de phase d'une réponse pseudo-périodique en charge du condensateur d'un série soumis à un échelon de tension
aux instants correspondant aux points du portrait de phase de la zone respectivement , respectivement ce qui correspond au fait que se déplace vers la droite respectivement se déplace vers la gauche,
aux instants correspondant aux points du portrait de phase sur l'axe des charges, et par suite, si le portrait de phase coupe cet axe dans le sens des respectivement dans le sens des , il s'agit d'un minimum local respectivement d'un maximum local de charge ceci correspondant au fait que traverse l'axe des charges perpendiculairement à cet axe et qu'il le franchisse dans le sens des ou , impliquant qu'il « tourne » obligatoirement dans le sens rétrograde,
en présence d'amortissement, le portrait de phase se « termine » par un « point asymptote » [174] correspondant à un point d'« équilibre » [175] ou « de repos »[176] situé sur l'axe des abscisses[177],
en absence d'amortissement portrait de phase de charge du condensateur d'un série soumis à un échelon de tension, à imaginer à partir du portrait de phase ci-contre, le portrait de phase est fermé correspondant à une rotation autour d'un point d'« équilibre »[175] ou « de repos »[176] situé sur l'axe des abscisses, le régime de variation de l'abscisse étant oscillatoire non amorti[178] ; sur les exemples des portraits de phase de charge ou d'intensité du courant de charge du condensateur d'un série soumis à un échelon de tension, le point d'« équilibre »[175] ou « de repos »[176] situé sur l'axe des abscisses est un centre de symétrie du portrait de phase, caractérisant l'égalité des quatre durées entre les abscisses extrêmes et l'abscisse du point d'équilibre ou de repos en croissant ou en décroissant.
Circuit « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I0, grandeurs canoniques (usuelles) associées au « R' L' C' parallèle »
tension aux bornes du dipôle et tension aux bornes de l'association loi des mailles
intensité du courant traversant le dipôle et intensité traversant l'association loi des nœuds
association en sortie ouverte ou en série avec un interrupteur ouvert
association court-circuitée ou en avec un interrupteur fermé
association soumise à une source de tension parfaite de f.e.m.
association alimentée par une source de courant parfaite de c.e.m.
association soumise à un échelon de tension d'amplitude [179]
association alimentée par un échelon de courant d'amplitude [180]
conducteur ohmique de résistance
conducteur ohmique de conductance
condensateur parfait de capacité telle que
bobine parfaite d'inductance propre telle que
bobine parfaite d'inductance propre telle que
condensateur parfait de capacité telle que
dans un circuit réel[181] « continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait »
dans un circuit réel[182] « continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite »
dans un circuit réel[181] « continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite »
dans un circuit réel[182] « continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait »
puissance calorifique dissipée dans un conducteur ohmique de résistance traversé par un courant d'intensité :
puissance calorifique dissipée dans un conducteur ohmique de conductance soumis à une tension :
énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait de capacité soumis à une tension :
énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite d'inductance propre traversée par un courant d'intensité :
énergie électromagnétique stockée dans une bobine parfaite d'inductance propre traversée par un courant d'intensité :
énergie électrostatique stockée dans un condensateur parfait de capacité soumis à une tension :
puissance instantanée électrique fournie par une source de tension parfaite de f.e.m. délivrant un courant d'intensité :
puissance instantanée électrique fournie par une source de courant parfaite de c.e.m. imposant une tension :
Circuit « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I0, circuit dual d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension d'amplitude E
De ce qui précède on déduit que le « circuit dual d'un série soumis à un échelon de tension d'amplitude » est un « circuit parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude », les réponses duales correspondantes étant :
Circuit série soumis à un échelon de tension d'amplitude
Circuit parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude
réponse en tension aux bornes du condensateur du série soumis à un échelon de tension
réponse en intensité du courant traversant la bobine parfaite du parallèle soumis à un échelon de courant
réponse en intensité du courant traversant le série soumis à un échelon de tension
réponse en tension aux bornes du parallèle soumis à un échelon de courant
réponse en tension aux bornes de la bobine parfaite du série soumis à un échelon de tension
réponse en intensité du courant traversant le condensateur du parallèle soumis à un échelon de courant
Comme pour le série soumis à un échelon de tension, on définit trois réductions canoniques pour le parallèle soumis à un échelon de courant dont la 1ère est encore la plus usuelle :
Réduction canonique usuelle d'un « R' L' C' parallèle »
Équation différentielle en iL'(t), intensité de courant traversant la bobine (parfaite) du « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I0 et réponses transitoires suivant la valeur de σ'
L'équation différentielle en , intensité de courant traversant la bobine parfaite du parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude obtenue par dualité est
«»[192],[193], de forme canonique pratique «» ; on remarque que l'excitation est discontinue de 1ère espèce en .
Les réponses transitoires ainsi que leur dérivée temporelle 1ère sont continues en et s'expriment suivant le cœfficient d'amortissement selon :
Équation différentielle en u(t), tension commune aux bornes du « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I0 et réponses transitoires suivant la valeur de σ'
L'équation différentielle en , tension commune aux bornes du parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude obtenue par dualité est
«»[202],[203], de forme canonique pratique «»[204] ; on remarque que l'excitation est discontinue de 2ème espèce en .
Les réponses transitoires sont continues en alors que leur dérivée temporelle 1ère sont discontinues de 1ère espèce, les 1ères s'exprimant suivant le cœfficient d'amortissement selon :
Équation différentielle en iC'(t), intensité de courant traversant le condensateur du « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I0 et réponses transitoires suivant la valeur de σ'
L'équation différentielle en , intensité de courant traversant le condensateur du parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude obtenue par dualité est
«»[210],[211], de forme canonique pratique «» ; on remarque que l'excitation est « discontinue de 3ème espèce »[115] en .
Les réponses transitoires sont discontinues de 1ère espèce en alors que leur dérivée temporelle 1ère l'est de 2ème espèce, les 1ères s'exprimant suivant le cœfficient d'amortissement selon :
Équation différentielle en iL'(t), intensité de courant traversant la bobine (parfaite) du « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I0 déterminée par loi de nœud et réponses transitoires suivant la valeur de σ'
Schéma d'un parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude pour étude de la réponse en
L'équation différentielle en , intensité du courant traversant la bobine parfaite du circuit ci-contre s'obtient par équation de nœud dans laquelle ne doit rester que comme inconnue, le circuit parallèle étant soumis à une même tension :
pour tout , où il convient d'éliminer et au profit de en utilisant [37] avec [37] d'une part et avec l'expression précédente de en fonction de d'autre part d'où soit finalement, en normalisant et ordonnant, l'équation différentielle en suivante
«»[193] ; on remarque que l'excitation est discontinue de 1ère espèce en .
La réduction canonique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants normalisée en définissant :
le cœfficient du terme d'ordre zéro «» avec « pulsation propre » et
le cœfficient du terme d'ordre un «» avec « cœfficient d'amortissement » ou facteur de qualité ou constante de temps,
on choisit la 1ère forme canonique pour sa facilité de discussion de réponse libre d'où l'expression canonique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants normalisée hétérogène en
«».
La réponse forcée étant une solution particulière de l'équation hétérogène pour «» de même forme que l'excitation «».
La réponse libre étant la solution générale de l'équation homogène , elle s'obtient par résolution de l'équation caractéristique et conduit à la discussion usuelle identique à celle exposée au paragraphe « détermination de la solution générale libre de l'équation différentielle en uC(t) (du série soumis à un échelon de tension) » plus haut dans ce chapitre d'où les réponses libres « apériodique si », « apériodique critique si », « pseudo-périodique si en étant » et « périodique si ».
La réponse transitoire étant la somme de la réponse forcée et de la réponse libre, il reste à préciser les C.I[76]. pour finaliser la résolution, pour cela on utilise, dans le cas d'un circuit résistif c'est-à-dire si ,
la continuité de l'intensité du courant traversant la bobine et celle-ci n'étant initialement[97] traversé par aucun courant c'est-à-dire la 1ère C.I[76]. «» et
la continuité de la tension aux bornes du condensateur et celui-ci étant initialement[97] déchargé c'est-à-dire , on en déduit ou, cette tension étant aussi celle aux bornes de la bobine parfaite soit enfin la 2ème C.I[76]. «» ;
cas particulier : dans le cas où , c'est-à-dire dans le cas du « circuit oscillant parallèle », le circuit n'étant pas résisitif, on ne peut pas utiliser les continuités précédentes mais celles-ci sont néanmoins vérifiées car l'équation différentielle en étant , la discontinuité de 1ère espèce de l'excitation se reportant sur la dérivée temporelle de plus haut ordre on en déduit que est discontinue de 1ère espèce et, par prise successive de primitive, et sont continues d'où les mêmes C.I[76].
Équation différentielle en u(t), tension commune aux bornes du « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I0 déterminée par loi de nœud et réponses transitoires suivant la valeur de σ'
L'équation différentielle en , tension commune aux bornes du parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude s'obtient par équation de nœud dans laquelle ne doit rester que comme inconnue :
pour tout , où il convient d'éliminer , et au profit de en utilisant [37], [37] et [37] ou montrant la nécessité de dériver temporellement[93] l'équation de nœud pour éliminer au profit de soit et finalement, en normalisant, l'équation différentielle en suivante
«»[203] ; on remarque que l'excitation est discontinue de 2ème espèce en .
La réduction canonique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants normalisée en étant la même que celle en on obtient
La réponse libre étant la solution générale de l'équation homogène , elle s'obtient par résolution de l'équation caractéristique et conduit à la discussion usuelle identique à celle exposée au paragraphe « détermination de la solution générale libre de l'équation différentielle en uC(t) (du R L C série soumis à un échelon de tension) » plus haut dans ce chapitre d'où les réponses libres « apériodique si », « apériodique critique si », « pseudo-périodique si en étant » et « périodique si ».
La réponse transitoire se réduisant à la réponse libre par absence de réponse forcée, il reste, pour finaliser la résolution, à préciser les C.I[76]. en utilisant, dans le cas d'un circuit résistif c'est-à-dire si ,
la continuité de la tension aux bornes du condensateur et celui-ci étant initialement[97] déchargé c'est-à-dire , on en déduit la 1ère C.I[76]. «» d'une part et
d'autre part, la 2ème C.I[76]. portant sur se détermine par circuit à dans lequel on remplace le condensateur initialement[97] déchargé par un court-circuit et la bobine parfaite initialement[97] traversé par aucun courant par un interrupteur ouvert compte-tenu de la continuité de l'intensité du courant traversant la bobine dans un circuit résistif[216], le courant délivré par la source de courant parfaite traversant de ce fait le court-circuit soit [217] d'où, avec , la 2ème C.I[76]. «»[204] ;
cas particulier : dans le cas où , c'est-à-dire dans le cas du « circuit oscillant parallèle », le circuit n'étant pas résisitif, on ne peut pas utiliser les C.I[76]. précédentes obtenues par continuités dans un circuit résistif, ce dernier ne l'étant pas, mais celles-ci sont néanmoins vérifiées car l'équation différentielle en étant , la discontinuité de 2ème espèce de l'excitation se reportant sur la dérivée temporelle de plus haut ordre on en déduit que est discontinue de 2ème espèce et, par prise successive de primitive[93], l'est de 1ère espèce et est continue d'où cas particulier : dans le cas où , la 1ère C.I[76]. ; cas particulier : dans le cas où , la 2ème C.I[76]. portant sur peut s'obtenir alors en intégrant[93] l'équation différentielle entre et soit [218].
Équation différentielle en iC'(t), intensité du courant traversant le condensateur du « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I0 déterminée par loi de nœud et réponses transitoires suivant la valeur de σ'
L'équation différentielle en , intensité du courant traversant le condensateur du parallèle soumis à un échelon de courant d'amplitude s'obtient par équation de nœud dans laquelle ne doit rester que comme inconnue :
pour tout , où il convient d'éliminer et au profit de en utilisant [37] avec [37] d'où et [37] d'où montrant la nécessité de dériver temporellement[93] l'équation de nœud successivement deux fois pour éliminer et au profit de soit et finalement, en reportant les expressions précédemment établies, l'équation différentielle en suivante
«»[211] ; on remarque que l'excitation est « discontinue de 3ème espèce »[115] en .
La réduction canonique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants normalisée en étant la même que celle en on obtient
«».
La réponse libre étant la solution générale de l'équation homogène , elle s'obtient par résolution de l'équation caractéristique et conduit à la discussion usuelle identique à celle exposée au paragraphe « détermination de la solution générale libre de l'équation différentielle en uC(t) (du R L C série soumis à un échelon de tension) » plus haut dans ce chapitre d'où les réponses libres « apériodique si », « apériodique critique si », « pseudo-périodique si en étant » et « périodique si ».
La réponse transitoire se réduisant à la réponse libre par absence de réponse forcée, il reste, pour finaliser la résolution, à préciser les C.I[76]. en utilisant, dans le cas d'un circuit résistif c'est-à-dire si ,
d'une part le circuit à dans lequel on remplace le condensateur et la bobine parfaite par leur équivalent à savoir un court-circuit pour le condensateur et un interrupteur ouvert pour la bobine[219], le courant délivré par la source de courant parfaite traversant de ce fait le court-circuit soit «»[216] et
d'autre part la 2ème C.I[76]. portant sur se détermine en faisant dans l'équation de nœud dérivée une fois dans laquelle on utilise et d'où donnant finalement «» ;
cas particulier : dans le cas où , c'est-à-dire dans le cas du « circuit oscillant parallèle », le circuit n'étant pas résisitif, on ne peut pas utiliser les C.I[76]. précédentes obtenues par continuités dans un circuit résistif, ce dernier ne l'étant pas, mais celles-ci sont néanmoins vérifiées car l'équation différentielle en étant , la “ discontinuité de 3ème espèce ”[115] de l'excitation se reportant sur la dérivée temporelle de plus haut ordre on en déduit que est “ discontinuité de 3ème espèce ”[115] et, par prise successive de primitive[93], l'est de 2ème espèce et l'est de 1ère espèce d'où cas particulier : dans le cas où , la 1ère C.I[76]. obtenue en faisant dans l'équation de nœud avant toute dérivation dans laquelle on utilise continue compte-tenu du fait que étant discontinue de 1ère espèce, sa primitive est continue et continue compte-tenu du fait que c'est une primitive de qui est continue d'où donnant finalement ; cas particulier : dans le cas où , la 2ème C.I[76]. portant sur peut s'obtenir alors en intégrant[93] l'équation différentielle entre et soit [220] et finalement .
« La puissance instantanée électrique fournie par l'échelon de courant » se retrouve en « gain horaire d'énergie stockée dans le dipôle parallèle[223]sous forme électromagnétique » et en « puissance calorifique dissipée par effet Joule[129] dans le conducteur ohmique » soit
«» où « est l'énergie électromagnétique instantanée stockée dans le dipôle parallèle » c'est-à-dire «»[224], soit, mathématiquement, «»[225].
Conséquences : obtention d'équations différentielles d'un « R' L' C' parallèle » soumis à un échelon de courant d'amplitude I0 par bilan de puissance
Il suffit d'expliciter la dérivée temporelle 1ère de , ce qui donne «», et de reporter le résultat obtenu dans le bilan de puissance soit «», la suite dépendant de l'équation différentielle cherchée par exemple :
pour l'équation différentielle en , il faut d'une part simplifier par une tension[226] c'est-à-dire en utilisant d'où «» et pour l'équation différentielle en , il faut d'autre part éliminer toute grandeur associée à en utilisant et ce qui donne
«» ;
pour l'équation différentielle en , il suffit de dériver[93] temporellement l'équation différentielle en «» et pour l'équation différentielle en , il suffit d'y reporter , et ce qui donne
«» ;
pour l'équation différentielle en , il suffit de dériver[93] temporellement l'équation différentielle en «» et pour l'équation différentielle en , il suffit d'y reporter , et ce qui donne
«».
Oscillateur mécanique harmonique amorti sur l'exemple du pendule élastique vertical amorti (P.E.V.A.), l'analogue électromécanique du « R L C série » soumis à un échelon de tension
Analogie électromécanique entre un pendule élastique vertical non amorti lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et un circuit oscillant (non amorti) « L C série » soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant
Nous avons étudié en exercices du chap. « oscillateur harmonique » de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » le « pendule élastique vertical non amorti » ; nous avons établi l'équation différentielle en longueur du ressort et pouvons aisément en déduire l'équation différentielle en allongement du ressort repérée par rapport à la position à vide de ce dernier [227] suivante
dans ce chapitre nous avons étudié la charge du condensateur d'un circuit oscillant non amorti série soumis à un échelon de tension d'amplitude et établi l'équation différentielle en charge du condensateur suivante
nous constatons ainsi une analogie dite « électromécanique » entre un pendule élastique vertical non amorti P.E.V.N.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et un circuit oscillant série non amorti série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine parfaite initialement traversée par aucun courant avec les correspondances suivantes :
série soumis à un échelon de tension d'amplitude
P.E.V.N.A. dans un champ de pesanteur terrestre
condensateur parfait de capacité
ressort sans masse de raideur à extrémité supérieure fixée en
bobine parfaite d'inductance propre en série avec le condensateur
solide de masse relié à l'extrémité inférieure du ressort
Schémas comparatifs représentant le ressort vertical à vide, le ressort vertical à charge et à l'équilibre avec les deux forces agissant sur le solide tension du ressort et poids du solide, le ressort vertical à charge et à l'instant avec les trois forces agissant sur le solide force de frottement fluide linéaire en plus
Soit un « pendule élastique vertical amorti P.E.V.A.» constitué d'un « ressort idéal » [241] à « spires non jointives » [242] d'axe vertical, de raideur et de longueur à vide , fixe à une extrémité et sur lequel est attaché un solide [243] de masse à l'autre extrémité, solide dont on étudie le mouvement selon l'axe du ressort orienté dans le sens descendant, le solide étant dans le champ de pesanteur terrestre uniforme et se déplaçant dans un fluide immobile qui exerce sur lui une force de frottement linéaire de « cœfficient de frottement constant » ;
ci-contre la représentation « indispensable »[244] des trois schémas se côtoyant[245],
le 1er représentant le ressort à vide,
le 2ème représentant le ressort à l'équilibre avec le solide suspendu et les deux forces agissant sur à savoir son poids «» et la tension du ressort «»[246] où «» est l'allongement du ressort à l'équilibre,
le 3ème représentant le ressort à l'instant avec le solide suspendu et les trois forces agissant sur à savoir son poids «», la tension du ressort «»[246] où «» est l'allongement du ressort à l'instant s'écrivant encore, avec dans lequel est l'allongement supplémentaire à l'instant relativement à la position d'équilibre, «» et la force de frottement fluide «» où «» est le vecteur vitesse de à l'instant .
ou, en regroupant les termes dépendant de dans un même membre et en ordonnant
«» ;
écrivant la « condition d'équilibre » [248] on en déduit l'équation différentielle du mouvement du solide sous forme normalisée
«».
Analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle « R L C série » soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant
de faire un changement d'origine des cotes pour qu'à la charge initiale[97] du condensateur corresponde la cote initiale[97] du solide , ceci nécessitant que l'origine du repérage de soit la position de ce dernier quand le ressort est à vide c'est-à-dire sur le schéma et non sa position quand il y équilibre dans le champ de pesanteur[249] c'est-à-dire sur le schéma soit [250] ou , d'où la réécriture de l'équation différentielle en suivante «» ou, après normalisation, l'équation différentielle en la position du solide avec son nouveau repérage «» et
de prolonger l'analogie selon :
série soumis à un échelon de tension d'amplitude
P.E.V.A. dans un champ de pesanteur terrestre
rappel : charge instantanée du condensateur de capacité
rappel : allongement total du ressort de raideur [251]
rappel : intensité instantanée du courant traversant la bobine d'inductante propre
rappel : vitesse instantanée du solide de masse le long de l'axe du ressort
conducteur ohmique de résistance
fluide dans lequel se déplace avec un cœfficient de frottement linéaire
tension instantanée aux bornes du conducteur ohmique [37]
force de résistance à l'avancement exercée par le fluide sur le solide [252]
loi de maille appliqué au série soumis à un échelon de tension [253]
relation fondamentale de la dynamique appliquée au solide [254]
équation différentielle en du série soumis à l'échelon de tension d'amplitude
équation différentielle en du P.E.V.A. soumis à l'échelon de poids du solide
réponse forcée en charge du condensateur c'est-à-dire la charge du condensateur à l'équilibre
réponse forcée en allongement du ressort c'est-à-dire l'allongement du ressort à l'équilibre
rappel : discontinuité de 1ère espèce de en rappel :continuité de l'intensité et de la charge en
rappel : discontinuité de 1ère espèce de l'accélération en rappel : continuité de la vitesse et de la cote en
réduction canonique du série 1ère grandeur canonique : pulsation propre du R L C série 2èmes grandeurs canoniques : cœfficient d'amortissement tel que facteur de qualité tel que ou [255] constante de temps telle que ou forme canonique de l'équation différentielle normalisée en : continuité de la charge du condensateur et continuité de l'intensité du courant traversant la bobine
réduction canonique du P.E.V.A. 1ère grandeur canonique : pulsation propre du P.E.V.A. 2èmes grandeurs canoniques : cœfficient d'amortissement tel que facteur de qualité tel que ou [256] constante de temps telle que ou forme canonique de l'équation différentielle normalisée en : continuité de l'allongement du ressort[257] et continuité de la vitesse du solide suspendu[258]
forme canonique de l'équation différentielle normalisée en : continuité de l'intensité du courant traversant la bobine et discontinuité de 1ère espèce de son taux horaire de variation [259]
forme canonique de l'équation différentielle normalisée en : continuité de la vitesse du solide suspendu[258] et discontinuité de 1ère espèce de son accélération [260]
forme canonique de l'équa diff. normalisée en : discontinuité de 1ère espèce de la tension aux bornes de la bobine[261] et discontinuité de 2ème espèce de son taux horaire de variation [262]
forme canonique de l'équa diff. normalisée en [263] : discontinuité de 1ère espèce de la résultante dynamique de [264] et discontinuité de 2ème espèce de son taux horaire de variation [265]
Analogie électromécanique en termes de puissance et d'énergie entre le P.E.V.A. lâché, sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle « R L C série » soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant
de prendre pour origine du repérage de la position de ce dernier quand le ressort est à vide c'est-à-dire sur le schéma d'où comme nouvelle cote liée à la précédente par et
de prolonger l'analogie selon :
série soumis à un échelon de tension d'amplitude
P.E.V.A. dans un champ de pesanteur terrestre
rappel : énergie électrostatique stockée dans le condensateur parfait de capacité de charge instantanée : [266]
rappel : énergie potentielle élastique stockée dans le ressort de raideur allongé de par rapport à sa longueur à vide :
rappel : énergie électromagnétique stockée dans la bobine parfaite d'inductance propre traversée par un courant d'intensité :
rappel : énergie cinétique du solide de masse et de vitesse :
rappel : énergie électromagnétique stockée dans le série :
rappel : énergie mécanique du pendule élastique vertical :
rappel : puissance instantanée électrique fournie par l'échelon de tension d'amplitude délivrant un courant d'intensité :
rappel : puissance instantanée développée par l'échelon de poids quand le solide est de vitesse :
puissance instantanée calorifique dissipée par effet Joule dans le conducteur ohmique de résistance :
puissance instantanée développée par la résistance à l'avancement du fluide sur : [267]
bilan de puissance du série soumis à un échelon de tension : ou
bilan de puissance du P.E.V.A. soumis à un échelon de poids : ou
retrouver l'équation différentielle en par bilan de puissance : expliciter , reporter dans le bilan d'où [268]
retrouver l'équation différentielle en par bilan de puissance : expliciter , reporter dans le bilan d'où [269]
retrouver l'équation différentielle en par bilan de puissance puis dérivation[93] par rapport au temps utilisant
retrouver l'équation différentielle en par bilan de puissance puis dérivation[93] par rapport au temps utilisant
retrouver l'équation différentielle en par bilan de puissance puis double dérivation[93] par rapport au temps utilisant
retrouver l'équation différentielle en [270] par bilan de puissance puis double dérivation[93] par rapport au temps utilisant
Détermination directe de l'équation différentielle du mouvement du P.E.V.A. par théorème de la puissance mécanique
Comme à la tension du ressort s'exerçant sur le solide on associe une énergie potentielle, les seules forces à considérer comme non conservatives sont le poids du solide et la force de résistance à l'avancement que le fluide exerce sur ;
l'énergie mécanique de à l'instant étant définie selon «», la puissance mécanique du solide c'est-à-dire est égale à la somme des puissances développées par le poids de et par la force de résistance à l'avancement que le fluide exerce sur soit
«» ;
explicitant la puissance mécanique du solide selon «» et reportant dans le théorème de la puissance mécanique, on obtient «» ou, en simplifiant par [273], l'équation différentielle suivante «» soit, en ordonnant,
«».
Réponses transitoires du P.E.V.A. suivant le cœfficient d'amortissement σ
Nous supposons qu'initialement[97] le solide est au repos en [274], son poids étant compensé par une force de maintien de même norme dans le sens ascendant, force que l'on supprime à l'instant [275], les conditions pour correspondant à l'analogue électromécanique du dipôle série à condensateur déchargé et bobine traversée par aucun courant avant qu'on lui impose un échelon de tension.
Réponses transitoires en élongation du P.E.V.A. suivant le cœfficient d'amortissement σ
Remarque : pratiquement, quel que soit le fluide utilisé, le régime transitoire en élongation du P.E.V.A. observé est pseudo-périodique car le cœfficient de frottement fluide linéaire ne peut pas être grand compte-tenu des « fluides visqueux à notre disposition »[284].
Réponses transitoires en vitesse du P.E.V.A. suivant le cœfficient d'amortissement σ
Remarque : pratiquement, quel que soit le fluide utilisé, le régime transitoire en vitesse du P.E.V.A. observé est encore pseudo-périodique, le cœfficient de frottement fluide linéaire ne pouvant pas être grand compte-tenu des « fluides visqueux à disposition »[284].
Réponses transitoires en résultante dynamique du P.E.V.A. suivant le cœfficient d'amortissement σ
Remarque : pratiquement, quel que soit le fluide utilisé, le régime transitoire en résistance dynamique du solide du P.E.V.A. observé est encore pseudo-périodique, le cœfficient de frottement fluide linéaire ne pouvant pas être grand compte-tenu des « fluides visqueux à disposition »[284].
Portrait de phase en élongation (ou en vitesse) du P.E.V.A. suivant le cœfficient d'amortissement
Utilisant l'analogie électromécanique entre un P.E.V.A. et un série, nous en déduisons que les portraits de phase en élongation du P.E.V.A. ce serait le même principe pour ses portraits de phase en vitesse peuvent se tracer à partir des équations paramétriques ou pour ses portraits de phase en vitesse déterminées par résolution de l'équation différentielle en élongation ou en vitesse avec C.I[76].
Ci-dessous nous nous plaçons dans des C.I[76]. quelconques et nous limitons aux tracés des portraits de phase en élongation du P.E.V.A. correspondants :
tout d'abord dans les C.I[76]. d'allongement relativement à la longueur à vide et de lâché avec vitesse vers le bas c'est-à-dire , à gauche un « régime pseudo-périodique avec », au centre un « régime pseudo-périodique à très faible cœfficient d'amortissement permettant d'approcher le cas du régime périodique d'un P.E.V.N.A. pour lequel le portrait de phase en élongation est une courbe fermée plus exactement une ellipse de centre et d'axes, l'axe des élongations et celui des vitesses» et à droite un «régime apériodique critique simultanément à un régime apériodique quelconque avec » ;
Portrait de phase en élongation pseudo-périodique d'un P.E.V.A. dans C.I[76]. élongation et vitesse positives
Portrait de phase en élongation pseudo-périodique à très faible cœfficient d'amortissement d'un P.E.V.A. dans C.I[76]. élongation et vitesse positives
Portraits de phase en élongation apériodique critique et apériodique d'un P.E.V.A. dans C.I[76]. élongation et vitesse positives
puis dans les C.I[76]. d'allongement relativement à la longueur à vide et de lâché avec vitesse vers le haut c'est-à-dire , à gauche un « régime pseudo-périodique avec » et à droite un « régime apériodique critique simultanément à un régime apériodique quelconque avec » ;
Portraits de phase en élongation pseudo-périodique d'un P.E.V.A. dans C.I[76]. élongation et vitesse négatives
Portraits de phase en élongation apériodique critique et apériodique d'un P.E.V.A. dans C.I[76]. élongation et vitesse négatives
Les deux définitions équivalentes d'un oscillateur harmonique
Un système à un degré de liberté de paramètre d'état est un oscillateur harmonique si son paramètre d'état obéit à une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre, homogène si le paramètre d'état est nul lorsque le système est en équilibre ;
le système est dit « non amorti » en absence de terme du 1er ordre dans l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre et le système est dit « amorti »non en sa présence.
Définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique
Un système à un degré de liberté de paramètre d'état est un oscillateur harmonique si le diagramme d'énergie potentielle en fonction du paramètre d'état est une parabole[295], l'éventuelle grandeur de dissipation étant linéaire en fonction de la dérivée temporelle du paramètre d'étatsi cette grandeur de dissipation n'existe pas l'oscillateur est dit « non amorti » et si elle existe, il est dit « amorti »[296].
↑ Si on utilise un générateur de fonctions pour automatiser la création et la suppression de l'échelon de tension, il est nécessaire d'insérer entre la sortie du générateur de fonctions et l'entrée du série un « montage suiveur » chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » pour ne pas tenir compte des de résistance de sortie du générateur de fonctions.
↑ 7,07,1 et 7,2 Le calcul utilise la définition d'où la valeur compte-tenu de .
↑ 9,09,1 et 9,2 Où est la constante de temps du série grandeur canonique la moins utilisée voir la signification dans le paragraphe « réductions canoniques » plus bas dans ce chapitre.
↑ 10,010,1 et 10,2 Si on utilise un générateur de fonctions pour automatiser la création et la suppression de l'échelon de tension, le régime forcé devant être considéré comme établi à la fin de chaque alternance du signal créneau fourni par le générateur de fonctions, la durée d'une alternance est au moins de soit une période minimale pour le signal créneau de et une fréquence maximale de ce dernier de possible à utiliser à condition de faire un enregistrement à l'oscilloscope numérique.
↑ 11,011,1 et 11,2 Avec cette sensibilité, le point lumineux décrit la largeur de l'écran de en .
↑ Si on utilise un générateur de fonctions pour automatiser la création et la suppression de l'échelon de tension sans « montage suiveur » chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », il faut tenir compte des de résistance de sortie du générateur de fonctions d'où une résistance additionnelle plus faible de valeur .
↑ 14,014,1 et 14,2 Le calcul utilise la définition d'où la valeur compte-tenu de .
↑ En fait il y a « pseudo-oscillations » tant que passe au-dessus de sa valeur forcée même si les « pseudo-oscillations » sont à peine perceptibles dans ce cas on parle encore de régime « sous-critique », la résistance critique à partir de laquelle elles disparaissent est donc définie expérimentalement avec une certaine « flexibilité ».
↑ 16,016,1 et 16,2 Si on utilise un générateur de fonctions pour automatiser la création et la suppression de l'échelon de tension, le régime forcé devant être considéré comme établi à la fin de chaque alternance du signal créneau fourni par le générateur de fonctions, la durée d'une alternance est au moins de en effet le critère de régime établi à partir de est moins bien réalisé qu'en régime pseudo-périodique et il faut le remplacer par soit une période minimale pour le signal créneau de et une fréquence maximale de ce dernier de possible à utiliser à condition de faire un enregistrement à l'oscilloscope numérique.
↑ 17,017,1 et 17,2 Il faut bien sûr modifier la sensibilité de la base de temps relativement à l'observation précédente car étant multiplié par , est divisé par et le régime forcé étant considéré comme établi à partir de , cela représente donc fois moins, autorisant une sensibilité de base de temps fois plus faible soit ; choisissant en fait une sensibilité de car le critère de régime établi à partir de est moins bien réalisé qu'en régime pseudo-périodique, le point lumineux décrit la largeur de l'écran de en c'est-à-dire à , ce qui permet d'assurer plus nettement l'établissement du régime forcé.
↑ Si on utilise un générateur de fonctions pour automatiser la création et la suppression de l'échelon de tension sans « montage suiveur » chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », en théorie il faudrait aussi tenir compte des de résistance de sortie du générateur de fonctions ce qui, avec la résistance de la bobine, conduirait à une résistance additionnelle de valeur mais, là encore, en pratique revenant à considérer la résistance de la bobine et celle de sortie du générateur de fonctions comme négligeables.
↑ 19,019,1 et 19,2 Le calcul utilise la définition d'où la valeur compte-tenu de .
↑ 20,020,1 et 20,2 En fait si on est simplement légèrement au-delà du régime apériodique critique on peut parler de régime « sur-critique ».
↑ 21,0 et 21,1 Si on utilise un générateur de fonctions pour automatiser la création et la suppression de l'échelon de tension, le régime forcé devant être considéré comme établi à la fin de chaque alternance du signal créneau fourni par le générateur de fonctions, la durée d'une alternance est au moins de le critère de régime établi à partir de utilisé en régime pseudo-périodique est devenu très insuffisant en régime apériodique, sur le diagramme horaire on observe qu'il faut mais en fait se référer à n'a plus beaucoup de sens soit une période minimale pour le signal créneau de et une fréquence maximale de ce dernier de possible à utiliser à condition de faire un enregistrement à l'oscilloscope numérique.
↑ 22,0 et 22,1 Avec une sensibilité de , le point lumineux décrit la largeur de l'écran de en la durée nécessaire pour que la réponse forcée soit établie dans le cas de ce régime apériodique.
↑ 23,0 et 23,1 En accord avec les propriétés de continuité de grandeurs électriques dans un circuit résistif.
↑ Plus exactement le conducteur ohmique en série avec la bobine laquelle, étant de résistance , impose une valeur de résistance additionnelle égale à si nous automatisons la création et suppression de l'échelon de tension d'amplitude à l'aide d'un générateur de fonctions créant une tension créneau symétrique d'amplitude avec un décalage permanent de même valeur , nous supposons la résistance de sortie de ce générateur de fonctions sans effet en insérant un « montage suiveur » chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » entre lui et le série.
↑ 25,0 et 25,1 Car dépendant des valeurs des paramètres du série avec variant d'un régime à un autre.
↑ En fait il y a « pseudo-oscillations » tant que passe au-dessous de sa valeur forcée nulle même si les « pseudo-oscillations » sont à peine perceptibles dans ce cas on parle encore de régime « sous-critique », la résistance critique à partir de laquelle elles disparaissent est donc définie expérimentalement avec une certaine « flexibilité ».
↑ Par continuité de la tension aux bornes du conducteur ohmique du série.
↑ Toutefois en pratique, étant petite dans l'exemple de régime pseudo-périodique avec , on vérifierait que , on pourra donc confondre et dans les exemples de régimes proposés par la suite, l'erreur systématique de étant, en pratique, toujours négligeable.
↑Méthode pour éliminer l'erreur systématique si besoin en était : nous décomposons la résistance additionnelle de en deux résistances dont l'une de est placée immédiatement après la bobine, l'autre de étant mise à la suite, et nous visualisons la tension aux bornes de la bobine réelle sur la voie et celle aux bornes des sur la voie en faisant attention au problème de masse il convient d'abord de supprimer la masse du générateur de fonctions par utilisation d'un adaptateur de prise de secteur sans Terre ou par transformateur d'isolement et de relier le point milieu entre la bobine et la résistance de à la masse de l'oscilloscope, ce qui nécessitera d'« inverser » le signal sur la voie pour obtenir , le signal sur la voie donnant sans être inversé, nous obtiendrons en soustrayant le signal du signal ; pour cela on peut utiliser l'opérateur « mathématique addition >» de l'oscilloscope en supprimant au préalable l'inversion du signal de façon à obtenir et en l'additionnant au signal qui n'avait pas été inversé, ainsi aucune inversion ne doit finalement être mise en œuvre sur aucune voie.
↑ Avec le choix d'automatisation de création et de suppression de l'échelon de tension d'amplitude à l'aide d'un générateur de fonctions créant une tension créneau symétrique d'amplitude avec un décalage permanent de même valeur , nous rendons la résistance de sortie de ce générateur de fonctions sans effet en insérant un « montage suiveur » chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » entre lui et le série.
↑ On s'intéresse aux pseudo-oscillations éventuelles de et non à celles de car, on observe qu'en régime apériodique critique de la tension parfaite aux bornes de la bobine, cette dernière passe au-dessous de sa valeur forcée nulle avant d'y revenir, ce qui est en accord avec l'absence de pseudo-oscillations de , en effet le régime apériodique critique de correspondant à d'une part et d'autre part en variant de façon continue sans pseudo-oscillations, il est nécessaire que passe par une valeur extrémale en fait maximale c'est-à-dire que soit d'abord positive, puis négative en passant par la valeur nulle
↑ Si on utilise un générateur de fonctions pour automatiser la création et la suppression de l'échelon de tension, le régime forcé de devant être considéré comme établi à la fin de chaque alternance du signal créneau fourni par le générateur de fonctions, la durée d'une alternance est au moins de le critère de régime établi à partir de utilisé en régime pseudo-périodique est redevenu suffisant en régime apériodique, sur le diagramme horaire on observe qu'il faut avec soit une période minimale pour le signal créneau de et une fréquence maximale de ce dernier de .
↑ Avec une sensibilité de , le point lumineux décrit la largeur de l'écran de en la durée nécessaire pour que la réponse forcée en soit établie dans le cas de ce régime apériodique.
↑ La raison de ceci se justifie car le fait que la courbe de ou celle de du régime apériodique « se rapproche de beaucoup plus lentement » que celle du régime apériodique critique, entraînant des valeurs absolues de pentes ou beaucoup plus petites pour le régime apériodique que celles du régime apériodique critique et par les faibles valeurs des pentes étant encore divisées par un facteur quand on passe de à on en déduit des valeurs absolues de tension pour le régime apériodique correspondant à nettement plus petites que celles du régime apériodique critique.
↑ On reconnaît une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre en , la solution générale dépendant de deux constantes arbitraires, il faudra deux conditions initiales pour la particulariser.
↑ 40,040,1 et 40,2 Cette diminution ne devenant effective que dans la mesure où le numéro d'espèce à partir duquel la diminution sera faite n'est pas nul ; si le numéro d'espèce qui devrait être diminué d'une unité est nul, la diminution est remplacée par une stagnation à zéro.
↑ De même l'intensité du courant traversant le série est continue compte-tenu de en convention récepteur.
↑ 43,043,143,243,343,443,543,6 et 43,7 On rappelle qu'un circuit est dit « réel » s'il comprend des « parties résistives par rapport auxquelles la résistance des fils de connexion peut être négligée », pour cela il faut que les fils de connexion soient en série avec un ou des conducteurs ohmiques.
↑ 45,045,1 et 45,2 est théoriquement possible mais pratiquement rejeté car correspondant à l'absence de parties résistives dans le série, ce qui est pratiquement impossible à cause de la résistance de la bobine.
↑ 46,046,1 et 46,2 est d'autant plus grand que est grande.
↑ Le lien entre et est donc , établissant que est d'autant plus grand que est petite c'est-à-dire que est petite, l'absence théorique de parties résistives dans le série correspondant à un facteur de qualité .
↑ Retenir cette 1ère expression de , le passage de la 1ère expression à la 2ème se retrouvant par utilisation de .
↑ Le lien entre ou et est donc , établissant que est d'autant plus grande que est petit ou est grand c'est-à-dire que est petite, l'absence théorique de parties résistives dans le série ou correspondant à une constante de temps ; c'est aussi la constante de temps d'un série en effet si devient dans le cas d'un condensateur plan cela revient à donner une épaisseur nulle à l'isolant donc à supprimer le condensateur on obtient et l'équation différentielle du 2ème ordre en devient une équation différentielle du 1er ordre en ou, en multipliant les deux membres de l'équation par en supposant que cela garde un sens bien que soit devenu infinie, une équation différentielle du 1er ordre en c'est-à-dire en intensité du courant traversant le série limite du série avec .
↑ Réduite selon la 1ère réduction canonique car c'est celle qui donne l'équation caractéristique conduisant à la discussion la plus simple à mener.
↑ La 2ème réduction canonique correspondant à l'équation différentielle linéaire et la 3ème à l'équation différentielle .
↑ La 2ème réduction canonique donnerait l'équation caractéristique et la 3ème l'équation caractéristique .
↑ Le signe du discriminant étant le même que celui du discriminant réduit.
↑ 56,056,1 et 56,2 Dans la démarche de résolution, on ne calcule pas le discriminant mais directement le discriminant réduit et, si ce dernier est positif, nul ou négatif, on donne directement les racines sous les formes utilisant et .
↑ La justification utilisant le discriminant selon .
↑ La justification utilisant la résolution générale selon .
↑ La justification utilisant le discriminant selon .
↑ L'équation caractéristique correspondant à la 2ème ou 3ème réduction canonique ne permet pas d'utiliser la notion de discriminant réduit mais nécessite de se limiter à celle de discriminant ; ainsi l'équation caractéristique nécessite de discuter du signe de et ainsi l'équation caractéristique de discuter du signe de .
↑ 66,066,1 et 66,2 L'exponentielle est une fonction du temps car est négative.
↑ 67,067,1 et 67,2 En électricité la lettre minuscule étant réservée pour représenter une intensité de courant, le nombre imaginaire pur de module égal à est noté .
↑ 68,068,1 et 68,2 est donc la valeur absolue commune de la partie imaginaire des racines complexes conjuguées de l'équation caractéristique soit .
↑ La relation entre pseudo-pulsation, pulsation propre et cœfficient d'amortissement est à connaître.
↑ 70,070,1 et 70,2 L'exponentielle est une fonction du temps car est négative et est une fonction périodique du temps dont la période qui définira la pseudo-période de la solution pseudo-périodique est d'autant plus grande et toujours à la période propre que s'approche de sa valeur critique .
↑ 71,071,1 et 71,2 Équation différentielle d'un oscillateur harmonique (non amorti) pour .
↑ 72,072,1 et 72,2 C.-à-d. sans passer par l'équation caractéristique.
↑ 73,073,1 et 73,2 Peut être considéré comme la réécriture de la solution générale libre pseudo-périodique dans laquelle on fait .
↑ L'utilisation du facteur de qualité conduirait à «» avec «» et «», celle de la constante de temps à «» avec «» et «».
↑ 84,084,1 et 84,2 Un circuit résistif est encore qualifié de « réel » voir la note « 43 » plus haut dans ce chapitre.
↑ 85,085,1 et 85,2 Dans un circuit résistif, l'intensité du courant devant rester finie, il en est de même de la puissance électrique instantanée fournie par le générateur du circuit, et par suite des gains horaires instantanés d'énergie stockée dans un condensateur ou dans une bobine, les énergies correspondantes étant alors toujours continues ; dans un circuit non résistif, l'intensité du courant peut être ponctuellement infinie, il en est de même de la puissance électrique instantanée fournie par le générateur du circuit, et par suite des gains horaires instantanés d'énergie stockée dans un condensateur ou dans une bobine, les énergies correspondantes pouvant alors être discontinues de 1ère espèce.
↑ Cette expression est plus intéressante que l'autre expression dans le cas où la valeur initiale de sa dérivée temporelle est nulle.
↑ 87,087,187,287,387,487,587,687,7 et 87,8 On y observe des oscillations non amorties, raison pour laquelle un circuit série sans composant ohmique est encore appelé « circuit série oscillant non amorti» ; en pratique un tel circuit n'existe pas, une bobine réelle ayant toujours une composante ohmique, on obtient donc, en associant une bobine réelle et un condensateur, un « circuit série oscillant amorti » et pour tenter d'obtenir un « circuit série oscillant non amorti», il faut lui associer, en série, un montage électronique dit « à résistance négative » qui compense la résistance positive de la bobine.
↑ 88,088,1 et 88,2 Quand cas du tracé présenté, la pseudo-période ne diffère de la période propre que de .
↑ 89,089,1 et 89,2 Ce sont les courbes entre lesquelles la courbe étudiée c'est-à-dire le graphe de ou de ou de est limitée, les enveloppes sont donc tangentes à la courbe aux points de contact de cette dernière.
↑ 90,090,1 et 90,2 étant la constante de temps intervenant dans la 3ème réduction canonique mais aussi la constante de temps d'un série.
↑ 91,091,1 et 91,2 Ce qui correspondrait aux instants où la courbe a une tangente à l'axe des temps alors qu'aux instants elle est tangente à l'une des enveloppes ce qui correspond à une tangente inclinée vers le bas pour l'enveloppe supérieure et vers le haut pour l'enveloppe inférieure.
↑ Ce résultat n'est simple que dans la mesure où la 2ème C.I. correspond à la dérivée temporelle nulle, sinon il serait nettement moins simple.
↑ On reconnaît une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre en , le 1er membre de cette équation étant de mêmes cœfficients constants que celui de l'équation différentielle en , la solution générale dépendant de deux constantes arbitraires, il faudra deux conditions initiales pour la particulariser.
↑ 101,0 et 101,1 On utilise le discriminant réduit car le cœfficient du terme de 1er degré dans l'équation du 2ème degré contient le facteur , revoir le « évaluation du discriminant réduit (préliminaire) » plus haut dans ce chapitre.
↑ 102,0 et 102,1 Méthode à utiliser dès lors que l'on induit que cette grandeur est discontinue de 1ère espèce.
↑ 103,0 et 103,1 La raison étant la continuité de l'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique dans un circuit réel revoir la note « 98 » plus haut dans ce chapitre entraînant la continuité de la tension aux bornes du condensateur soit, ce dernier étant initialement déchargé, .
↑ L'utilisation du facteur de qualité conduirait à «» avec «», celle de la constante de temps à «» avec «».
↑ En effet étant continue en , la tension aux bornes du condensateur proportionnelle à une primitive de l'est aussi et le condensateur étant initialement déchargé, on en déduit .
↑ Cette expression est plus intéressante que l'autre expression dans le cas où sa valeur initiale est nulle.
↑ On reconnaît une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre en , le 1er membre de cette équation étant de mêmes cœfficients constants que ceux des équations différentielles en en et en , la solution générale dépendant de deux constantes arbitraires, il faudra deux conditions initiales pour la particulariser.
↑ 116,0116,1 et 116,2 C.-à-d. la dernière équation avant la dérivation ultime ayant permis d'obtenir l'équation différentielle en .
↑ 117,0117,1 et 117,2 On peut aussi intégrer au sens des distributions l'équation différentielle écrite pour tout entre et les valeurs pour étant connues soit ou, après prises de primitives et en tenant compte que est continue car étant discontinue de 1ère espèce, toute primitive est discontinue de 0ème espèce c'est-à-dire continue, la relation suivante soit, dans l'hypothèse d'un système initialement au repos correspondant à toutes les grandeurs électriques nulles à l'instant , .
↑ 118,0118,1118,2 et 118,3 Nous considérons que tout en étant quand nous utilisons la forme d'équation différentielle de ce paragraphe.
↑ La raison étant la continuité de l'énergie stockée dans la bobine sous forme électromagnétique dans un circuit réel revoir la note « 96 » plus haut dans ce chapitre entraînant la continuité de l'intensité du courant traversant la bobine soit, cette dernière n'étant initialement traversée par aucun courant, «».
↑ L'utilisation du facteur de qualité conduirait à «» avec et l'utilisation de la constante de temps à «» avec .
↑ En effet car , étant la valeur de la résistance critique, d'où .
↑ L'utilisation du facteur de qualité conduirait à «» avec «» et «», celle de la constante de temps à «» avec «» et «».
↑ 124,0 et 124,1 En effet étant, au facteur multiplicatif près, une primitive de discontinue de 1ère espèce est continue en , l'intensité du courant étant initialement nulle, elle le reste à l'instant soit .
↑ En effet étant continue en , la tension aux bornes du condensateur proportionnelle à une primitive de l'est aussi et le condensateur étant initialement déchargé, on en déduit .
↑ Compte-tenu de il s'agit bien de la même C.I. que celle obtenue dans un série à savoir .
↑ Utiliser cette expression plutôt que l'autre est encore intéressant car la valeur initiale de sa dérivée temporelle est nulle.
↑ 128,0 et 128,1 doit être rejetée car doit être avec et .
↑ 129,00129,01129,02129,03129,04129,05129,06129,07129,08 et 129,09James Prescott Joule (1818 - 1889) physicien anglais à qui on doit une étude sur la nature de la chaleur et son lien avec le travail mécanique ainsi qu'une relation entre l'intensité du courant électrique traversant un conducteur ohmique et la chaleur dissipée dans ce dernier ; il a également travaillé avec le physicien britannique d'origine irlandaise William Thomson (1824 - 1907)encore connu sous le nom de Lord Kelvin pour développer l'échelle absolue de température et a étudié la magnétostriction propriété que possèdent les matériaux ferromagnétiques de se déformer en fonction de l'orientation de leur aimantation, par exemple sous l'influence d'un champ magnétique.
↑ Il convient bien sûr de refaire le schéma avec introduction des grandeurs utilisées, étant la tension instantanée aux bornes du condensateur et l'intensité du courant traversant la bobine c'est-à-dire aussi l'intensité du courant de charge du condensateur.
↑ Bien que nous cherchions à établir l'équation différentielle en et que nous devions, a priori, conserver les grandeurs qui lui sont associées, il nous faut simplifier par une grandeur homogène à une intensité le bilan de puissance étant en et la façon directe d'obtenir l'équation différentielle quand les éléments sont montés en série étant une loi de maille exprimée en il est donc nécessaire de simplifier le bilan de puissance par une grandeur exprimée en c'est-à-dire une intensité, la seule intensité liée au condensateur étant celle le chargeant à savoir d'où le remplacement proposé.
↑ La dernière expression utilisant le lien entre intensité du courant de charge du condensateur et la tension entre ses bornes à savoir en convention récepteur.
↑ Autre expression pour qualifier le travail électrique.
↑ 137,0137,1 et 137,2 Par résolution de l'équation différentielle en avec utilisation des C.I..
↑ 138,0 et 138,1 Diagramme tracé points par points à l'aide d'un logiciel de calcul en utilisant l'expression de précédemment déterminée dans le paragraphe « σ > 1 (fort amortissement) et réponse apériodique de i(t) » à savoir «» dans laquelle «» avec, simultanément si besoin, celle déjà utilisée de .
↑ 139,0139,1 et 139,2 En effet et , l'énergie stockée dans le série quand la charge du condensateur est terminée est uniquement sous forme électrostatique.
↑ 140,0140,1 et 140,2 En effet, comme il n'y a eu qu'une moitié de l'énergie fournie par l'échelon de tension d'amplitude sur la durée infinie de charge du condensateur se retrouvant sous forme électrostatique dans le série, l'autre moitié a donc été dissipée par effet Joule dans le conducteur ohmique de résistance pendant cette même durée.
↑ 141,0 et 141,1 Diagramme tracé points par points à l'aide d'un logiciel de calcul en utilisant l'expression de précédemment déterminée dans le paragraphe « σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique de i(t) » à savoir «» avec, simultanément si besoin, celle déjà utilisée de .
↑ 142,0 et 142,1 Diagramme tracé points par points à l'aide d'un logiciel de calcul en utilisant l'expression de précédemment déterminée dans le paragraphe « σ < 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique de i(t) » à savoir «» où «» avec, simultanément si besoin, celle déjà utilisée de .
↑ La constante de temps d'amortissement de l'exponentielle est et d'où .
↑ La constante de temps d'amortissement de l'exponentielle est et .
↑ On retrouve ainsi le résultat estimé en considérant la de l'exponentielle .
↑ On vérifie que le temps de réponse à pour le régime transitoire apériodique critique est inférieur à celui obtenu pour un régime transitoire pseudo-périodique tout comme le temps de réponse à celui qu'on définit quand on admet le régime permanent établi à près.
↑ On vérifie que le temps de réponse à pour le régime transitoire apériodique est supérieur à celui obtenu pour un régime transitoire apériodique critique tout comme le temps de réponse à celui qu'on définit quand on admet le régime permanent établi à près.
↑ 148,0 et 148,1 Le logarithme utilisé ici étant décimal.
↑ Il suffit d'ailleurs d'utiliser du papier millimétré dit « log-log » où les échelles des axes sont par construction logarithmique décimale remarque : il existe aussi du papier millimétré dit « semi-log » où l'axe des abscisses est logarithmique décimale, l'axe des ordonnées étant linéaire, papier à utiliser quand une seule échelle est logarithmique.
↑ Modélisation linéaire approximativement applicable pour .
↑ Modélisation linéaire approximativement applicable pour .
↑ 152,0 et 152,1 La valeur correspondante de la constante de temps vaut et est obtenue avec soit un conducteur ohmique de résistance additionnelle compte-tenu de la résistance de la bobine réelle.
↑ Un régime pseudo-périodique très proche du régime critique est encore qualifié de « sous-critique ».
↑ On vérifie que le temps de réponse à est bien le plus faible parmi tous ceux des régimes transitoires possibles.
↑ On vérifie que le temps de réponse à pour ce régime transitoire pseudo-périodique sous-critique est en accord avec la valeur déterminée sur le diagramme en échelle logarithmique du paramètre sans dimension en fonction du cœfficient d'amortissement .
↑ On vérifie l'accord avec la valeur déterminée à partir du diagramme en échelle logarithmique du paramètre sans dimension en fonction du cœfficient d'amortissement .
↑ À comparer à l'ordre de grandeur de la valeur trouvée pour le régime transitoire apériodique critique à savoir ou À comparer à l'ordre de grandeur de la valeur trouvée pour le régime transitoire pseudo-périodique à cœfficient d'amortissement plus faible à savoir .
↑ Attention à la masse de l'oscilloscope qui doit être le point commun entre le condensateur et le conducteur ohmique la masse du générateur de fonction étant éliminée par utilisation d'un transformateur d'isolement ou d'une liaison au secteur sans prise de terre et la voie devant être inversée.
↑ 163,0 et 163,1 Le portrait de phase du « circuit oscillant non amorti » ou dipôle série ne peut pas être obtenu expérimentalement car, pour visualiser une intensité de courant il faut nécessairement ajouter un conducteur ohmique en série de façon à visualiser la tension aux bornes de ce dernier et dans ces conditions le circuit devient amorti toutefois il serait possible de réaliser une telle observation en ajoutant, en série, un montage électronique dit « à résistance négative » qui compense la somme de la résistance du conducteur ohmique indispensable à l'observation et la résistance de la bobine.
↑ 164,0 et 164,1 On dit encore sens « trigonométrique rétrograde ».
↑ 165,0 et 165,1 Le qualificatif « répétitif » signifie que le point générique retrouve les mêmes positions de l'espace de phase sans préciser s'il les obtient après des durées écoulées toutes égales ce qui est effectivement le cas mais que nous ne pouvons pas déduire du portrait de phase ; la résolution de l'équation différentielle nous permet d'ajouter le caractère « périodique » de la rotation du point générique sur le portrait de phase mais avec le seul tracé nous n'en savons a priori rien.
↑ 166,0 et 166,1 Le qualificatif « transitoire » ici est incorrect dans la mesure où le régime libre ne s'amortit pas.
↑ Attention à la masse de l'oscilloscope qui doit être le point commun entre le conducteur ohmique et la bobine parfaitela masse du générateur de fonction étant éliminée par utilisation d'un transformateur d'isolement ou d'une liaison au secteur sans prise de terre et la voie devant être inversée ; nous nous plaçons dans le cas où mais dans le cas où cette condition ne serait pas réalisée, nous pourrions compenser la tension de la partie résistive de la bobine avec un montage à résistance négative placé en série avec cette dernière.
↑ En effet le point générique dépasse le point de repos pour y revenir.
↑Circuit série avec sortie aux bornes de équivalent à un pseudo-dérivateur à B.F. Déterminer le portrait de phase de la tension aux bornes de la bobine parfaite d'un série soumis à un échelon de tension d'amplitude ne présente toutefois aucune difficulté à l'aide des équations paramétriques de et ; l'observer expérimentalement sur un oscilloscope en formant une courbe de Lissajous nécessiterait des moyens plus sophistiqués dans la mesure où n'est proportionnelle à aucun grandeur électrique du circuit il faudrait utiliser un montage électronique dit « dérivateur » dont le signal de sortie est proportionnel à la dérivée temporelle du signal d'entrée, ce dernier étant égal à voir dans le sous paragraphe « interprétation de l'équivalent B.F. de la fonction de transfert : circuit pseudo-dérivateur » du paragraphe « fonction de transfert du 1er ordre non fondamental à transfert statique nul » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » une façon d'obtenir un montage « dérivateur » de schéma ci-contre. Bien sûr, pour obtenir c'est-à-dire la tension aux bornes de la partie purement inductive de la bobine réelle, il serait préférable même dans le cas , de compenser la tension de la partie résistive de la bobine avec un montage à résistance négative placé en série avec cette dernière car .
↑ 175,0175,1 et 175,2 Correspondant à la valeur de la charge en régime forcé permanent.
↑ 176,0176,1 et 176,2 S'il n'y a pas de réponse forcée permanente comme dans le cas du portrait de phase de l'intensité du courant de charge du condensateur d'un série soumis à un échelon de tension.
↑ Sur l'exemple ci-contre le point est atteint en « spiralant » caractérisant un régime pseudo-périodique, sur les deux autres exemples avec présence d'amortissement il est abordé directement caractérisant un régime apériodique critique ou non.
↑ Source de tension parfaite de f.e.m. en série avec un interrupteur que l'on ferme à .
↑ Source de courant parfaite de c.e.m. en avec un interrupteur que l'on ouvre à ; l'échelon de courant correspond donc, pour tout instant , à un c.e.m. en effet, pour , l'interrupteur étant fermé, le courant d'intensité le traverse entièrement, ne laissant aucun courant disponible pour l'extérieur.
↑ 181,0 et 181,1 Nécessité qu'il y ait un conducteur ohmique en série.
↑ 182,0 et 182,1 Nécessité qu'il y ait un conducteur ohmique en parallèle.
↑ 183,0183,1 et 183,2 Dual de dont le carré est le cœfficient du terme d'ordre zéro de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants de 2ème ordre en la réponse cherchée.
↑ Dual de cœfficient du terme d'ordre un de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants de 2ème ordre en la réponse cherchée.
↑ Dual de cœfficient du terme d'ordre un de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants de 2ème ordre en la réponse cherchée.
↑ Le lien entre et est donc , établissant que est d'autant plus petit que est grand c'est-à-dire que est faible, l'absence théorique de parties résistives dans le parallèle correspondant à un facteur de qualité limite c'est-à-dire à un cœfficient d'amortissement .
↑ Le passage de la 1ère expression à la 2ème se retrouvant par utilisation de ; on remarque que le facteur de qualité d'un parallèle est l'inverse du facteur de qualité du série .
↑ Dual de cœfficient du terme d'ordre un de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants de 2ème ordre en la réponse cherchée.
↑ Le lien entre ou et est donc , établissant que est d'autant plus grande que est petite ou est grande c'est-à-dire que est grande, l'absence théorique de parties résistives dans le parallèle ou correspondant à une constante de temps ; c'est aussi la constante de temps d'un parallèle la justification de ceci sera donné ultérieurement.
↑ Duale de équation différentielle en du série soumis à un échelon de tension.
↑ 193,0 et 193,1 On reconnaît une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre en , la solution générale dépendant de deux constantes arbitraires, il faudra deux conditions initiales pour la particulariser.
↑ 194,0194,1 et 194,2 Correspondant à où est la résistance critique conduisant à un cœfficient d'amortissement critique .
↑ Duale de réponse apériodique en du série soumis à un échelon de tension d'amplitude .
↑ 196,0196,1 et 196,2 Correspondant à où est la résistance critique conduisant à un cœfficient d'amortissement critique .
↑ Duale de réponse apériodique critique en du série soumis à un échelon de tension d'amplitude .
↑ 198,0198,1 et 198,2 Correspondant à où est la résistance critique conduisant à un cœfficient d'amortissement critique .
↑ Duale de réponse pseudo-périodique en du série soumis à un échelon de tension d'amplitude .
↑ 200,0200,1 et 200,2 Correspondant à c'est-à-dire à un circuit parallèle, encore appelé « circuit oscillant non amorti parallèle » ou « circuit bouchon » la raison de cette appellation sera justifiée ultérieurement avec l'étude des régimes sinusoïdaux forcés.
↑ Duale de réponse périodique en du série soumis à un échelon de tension d'amplitude .
↑ Duale de équation différentielle en traversant le série soumis à un échelon de tension.
↑ 203,0 et 203,1 On reconnaît une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre en , la solution générale dépendant de deux constantes arbitraires, il faudra deux conditions initiales pour la particulariser.
↑ Duale de réponse apériodique en traversant le série soumis à un échelon de tension d'amplitude .
↑ Duale de réponse apériodique critique en traversant le série soumis à un échelon de tension d'amplitude .
↑ Duale de réponse pseudo-périodique en traversant le série soumis à un échelon de tension d'amplitude .
↑ Duale de réponse périodique en traversant le série soumis à un échelon de tension d'amplitude .
↑ En effet d'une part et d'autre part une 3ème expression en substituant par .
↑ Duale de équation différentielle en du série soumis à un échelon de tension.
↑ 211,0 et 211,1 On reconnaît une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre en , la solution générale dépendant de deux constantes arbitraires, il faudra deux conditions initiales pour la particulariser.
↑ Duale de réponse apériodique en du série soumis à un échelon de tension d'amplitude .
↑ Duale de réponse apériodique critique en du série soumis à un échelon de tension d'amplitude .
↑ Duale de réponse pseudo-périodique en du série soumis à un échelon de tension d'amplitude .
↑ Duale de réponse périodique en du série soumis à un échelon de tension d'amplitude .
↑ En effet le courant traversant le conducteur ohmique est d'intensité nulle selon .
↑ En effet étant continue, toute primitive l'est aussi d'où .
↑ Cela résultant de la continuité de la tension aux bornes du condensateur et de celle de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite dans un circuit résistif, le 1er étant initialement c'est-à-dire pour tout déchargé c'est-à-dire d'où et la 2ème n'étant initialement c'est-à-dire pour tout traversée par aucun courant c'est-à-dire d'où .
↑ En effet étant discontinue de 1ère espèce, toute primitive est continue d'où .
![{\displaystyle =A_{+}\,\exp \!\left[-\omega _{0}\left(\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,t\right]+A_{-}\,\exp \!\left[-\omega _{0}\left(\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00938ab2c0e4f3a0eabaec36d41bfb0393782690)
![{\displaystyle =E+A_{+}\,\exp \!\left[-\omega _{0}\left(\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,t\right]+A_{-}\,\exp \!\left[-\omega _{0}\left(\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3258975bf5f13a048e7d9d76212f1f243d1768fb)
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}_{C}(t)={\dfrac {1}{2}}\,C\,\left[u_{C}(t)\right]^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eedd5f6f4c12a444ed8da6dc658266aa82e903e)
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}_{L}(t)={\dfrac {1}{2}}\,L\,\left[i(t)\right]^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/399f46c96a36603e8f7e656b80a1fc0d2729ff9e)
![{\displaystyle \;u_{C}(t)=E\left[1-{\dfrac {\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}{2\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\,\exp \!\left(s_{+}\;t\right)+{\dfrac {\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}{2\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\,\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c8a4cfe0c705537a75c51825dbfcdd5c950320)
![{\displaystyle \;u_{C}(t)=E\,\left[1-\left(1+\omega _{0}\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef83f8bcafdfe3ef1e8ec071063c8dfe91ee107d)
![{\displaystyle \;\left[A\;\cos \!\left(\varphi \right)\right]^{2}+\left[A\;\sin \!\left(\varphi \right)\right]^{2}=A^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d3aeac2f3ebd23a043875594f2346fad04776d8)
![{\displaystyle \;\left]{\dfrac {\pi }{2}}\,;\,+\pi \right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b54733037e6df68142af743cd71c516381487d)
![{\displaystyle \;\varphi =\pi +\arctan \!\left[-{\dfrac {\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3204ada0f982d73a733393ec0eb61fb1c4e39cef)
![{\displaystyle \;\alpha =\arctan \!\left[{\dfrac {\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a450cde83ef746d238a65edf9b52f1ac6ee13f81)
![{\displaystyle \;u_{C}(t)=E\left[1+{\dfrac {1}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t-\alpha +\pi \right)\right]=E\left[1-{\dfrac {1}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t-\alpha \right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78eba6fe2d714d61765981beda39a0536ae24e67)
![{\displaystyle \;u_{C}(t)=E\left[1-\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04676a2986eafaa2aab6c0911d61979c1117890d)
![{\displaystyle \;u_{C}(t)=E\left[1-{\dfrac {1}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t-\alpha \right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/273e38149d631958ab1a3c3e60aa96ac7fd2929f)
![{\displaystyle E\left[{\dfrac {\sigma \;\omega _{0}}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t-\alpha \right)+{\dfrac {\omega }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\sin \!\left(\omega \;t-\alpha \right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1220900d243c571105ddb7bd1a85230fb8a18936)
![{\displaystyle \;i(t)={\dfrac {E}{R}}\,{\dfrac {\sigma }{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}\left[\exp \!\left(s_{+}\;t\right)-\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cef19d152c5df1db9f9e78db34d6ea2bce91ee23)
![{\displaystyle \;\left]-\pi \,;\,+\pi \right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/960acbbdfe81bfb93c45fd10fafa458926ec7a69)
![{\displaystyle {\dfrac {E}{R}}\,{\dfrac {2\;\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\left[-\sigma \;\omega _{0}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\sin \!\left(\omega \;t\right)+\omega \,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37b91f235c0b88b20f3f361a2a8848e556676d69)
![{\displaystyle \;u_{L}(t)={\dfrac {E}{2\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\left[-\left(\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,\exp \!\left(s_{+}\;t\right)+\left(\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5c5e5b7443c830ff5239c81c43b1c6b5ec1ea86)
![{\displaystyle \;\left]0\,;\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e69d5b8b4f68d8b78ef1db3d6eb6effec0530c0)
![{\displaystyle \;\varphi =\arctan \!\left[{\dfrac {\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adaec1768550b837596c62cbd38c63fa734f2dfd)
![{\displaystyle {\dfrac {E}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\left[-\sigma \;\omega _{0}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t+\varphi \right)-\omega \,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\sin \!\left(\omega \;t+\varphi \right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c3c2bd61725e57e9f21166a893ea1038571804c)
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\;\left[u_{C}(t)\right]^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;L\;\left[i(t)\right]^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30748e38048dfa8895e778516c1ebe314100becc)
![{\displaystyle \;E\;Y(t)\;i(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}}{dt}}(t)+R\;\left[i(t)\right]^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca32a93e081d6d658fcf316c9792124f0e103b8)
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\,\left[u_{C}(t)\right]^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;L\,\left[i(t)\right]^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d661d6426543abaa8c5e8938430e3a1f116d7f0)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d{\mathcal {E}}}{dt}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C\;2\,\left[u_{C}(t)\right]\,{\dot {u_{C}}}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;L\;2\,\left[i(t)\right]\,{\dfrac {di}{dt}}(t)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5cf092aa4c9f25a64b2d7b1ee6eec11f8d663c9)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\;C\,\left[u_{C}(t)\right]^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;L\,\left[i(t)\right]^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c777dbae368f6e633f4e42ef61f7ab959f10d207)
![{\displaystyle \;\left[t\,;\,t+dt\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cfffe6b2fa3376c43450123d2f3b84837d33e1b)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[t\,;\,t+dt\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/013d1cb83f7e2b825d7e05eab1367a7effe3345d)
![{\displaystyle \;\delta Q_{R}=R\,\left[i(t)\right]^{2}\;dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df119277c28e02e5a82c6ea55b2569f5bd028ae9)
![{\displaystyle \;E\;Y(t)\;C\;du_{C}=d\!\left\lbrace {\dfrac {1}{2}}\;C\,\left[u_{C}(t)\right]^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;L\,\left[i(t)\right]^{2}\right\rbrace +R\,\left[i(t)\right]^{2}\;dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd68302295d5119810136b0d390100add1d23b08)
![{\displaystyle \;W_{e,\,f,\,{\text{source sur}}\,\left[0^{+}\,;\,t\right]}=\displaystyle \int _{0^{+}}^{t}E\;Y(t')\;C\;du_{C}(t')=\displaystyle \int _{0^{+}}^{t}d{\mathcal {E}}(t')+Q_{R,\,{\text{sur}}\,\left[0^{+}\,;\,t\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe16c692c7772a495e5a08efcf8f455b65db513)
![{\displaystyle \;\left[0^{+}\,;\,t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06287ac56428698ac628460df88e83fc3f04809a)
![{\displaystyle \;W_{e,\,f,\,{\text{source sur}}\,\left[0^{+}\,;\,t\right]}=C\;E\;u_{C}(t)={\mathcal {E}}(t)+Q_{R,\,{\text{sur}}\,\left[0^{+}\,;\,t\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29134d9122677ba9252043e906f1ecad91d74646)
![{\displaystyle \;W_{e,\,f,\,{\text{source sur}}\,\left[0^{+}\,;\,t\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/364d97d36887cdc43ce048673e6968281343fdde)
![{\displaystyle \;Q_{R,\,{\text{sur}}\,\left[0^{+}\,;\,t\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c383b5795de18cdd095d72f8dfb0ae2586b4f73)
![{\displaystyle \;\left[0\,,\,t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2882bb87c93fbfb6011acf575a3c2f8b7d3e5f6)
![{\displaystyle =E\left[1-{\dfrac {\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}{2\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\,\exp \!\left(s_{+}\;t\right)+{\dfrac {\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}{2\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\,\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3de1fd488a5f247b272edb314806580bfe03e4a6)
![{\displaystyle \;W_{e,\,f,\,{\text{source sur}}\,\left[0^{+}\,;\,t\right]}=C\;E^{2}\left[1-{\dfrac {\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}{2\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\,\exp \!\left(s_{+}\;t\right)+{\dfrac {\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}{2\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\,\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c05a668acf609e485ce5ae0c223e85c0930533c7)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle \;Q_{R,\,{\text{sur}}\,\left[0^{+}\,;\,t\right]}=\displaystyle \int _{0^{+}}^{t}R\,\left[i(t')\right]^{2}\;dt'\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d282a2b7bf6edda33a61fce00fe8237f113af541)
![{\displaystyle =E\,\left[1-\left(1+\omega _{0}\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78037774c7dc765d1a33c4a1f5d54e1271d46645)
![{\displaystyle \;W_{e,\,f,\,{\text{source sur}}\,\left[0^{+}\,;\,t\right]}=C\;E^{2}\left[1-\left(1+\omega _{0}\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d5866071a786a6219b034862e3051f7d2d035e)
![{\displaystyle =E\left[1-{\dfrac {1}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t-\alpha \right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dba5b1bef99ee984b1892d6e5421fc5c1be39a7)
![{\displaystyle \;W_{e,\,f,\,{\text{source sur}}\,\left[0^{+}\,;\,t\right]}=C\;E^{2}\left[1-{\dfrac {1}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t-\alpha \right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a53cd0ac007e998e7fe6eda86678839d781844b)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}q(t)=C\;E\,\left[1-\cos(\omega _{0}\;t)\right]\\i(t)=C\;E\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\;t)\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d87fd2258b27be7f8116805d8f49d7d6fccd4577)
![{\displaystyle {\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d9e51d2d3cafc3e7d1a34196d9b65ac61640ed1)
![{\displaystyle {\big )}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd0c02f32f607a22fbd5b1388a07b45e1c3f614)
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle \;i_{L'}(t)=I_{0}\left[1-{\dfrac {\sigma '+{\sqrt {{\sigma '}^{2}-1}}}{2\;{\sqrt {{\sigma '}^{2}-1}}}}\,\exp \!\left({s'}_{+}\;t\right)+{\dfrac {\sigma '-{\sqrt {{\sigma '}^{2}-1}}}{2\;{\sqrt {{\sigma '}^{2}-1}}}}\,\exp \!\left({s'}_{-}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d43c43a9627e6aef8f9299e2d796c70f3f683db)
![{\displaystyle \;i_{L'}(t)=I_{0}\,\left[1-\left(1+{\omega '}_{0}\;t\right)\,\exp \!\left(-{\omega '}_{0}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e932a8ca776bd72092fc25b90775a4aaf102f0d)
![{\displaystyle \;i_{L'}(t)=I_{0}\left[1-{\dfrac {1}{\sqrt {1-{\sigma '}^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma '\;{\omega '}_{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega '\;t-\alpha '\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6973519b09004e9de097ab7ad1dadde8f3c1556)
![{\displaystyle \arctan \!\left[{\dfrac {\sigma '}{\sqrt {1-{\sigma '}^{2}}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fea00d9373c3bcba9dc19cc58cd19be900032c7)
![{\displaystyle \;i_{L'}(t)=I_{0}\left[1-\cos \!\left({\omega '}_{0}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65eca2a87774d540f7fa872fc30c79e15b6e2919)
![{\displaystyle \;u(t)=R'\,I_{0}\;{\dfrac {\sigma '}{\sqrt {{\sigma '}^{2}-1}}}\left[\exp \!\left({s'}_{+}\;t\right)-\exp \!\left({s'}_{-}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffefa31d90836aceab424587b8397b9793b3d42a)
![{\displaystyle \;i_{C'}(t)={\dfrac {I_{0}}{2\;{\sqrt {{\sigma '}^{2}-1}}}}\left[-\left(\sigma '-{\sqrt {{\sigma '}^{2}-1}}\right)\,\exp \!\left({s'}_{+}\;t\right)+\left(\sigma '+{\sqrt {{\sigma '}^{2}-1}}\right)\,\exp \!\left({s'}_{-}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43d7b5d14bc580613ec7770dafaef5d90b3f77cb)
![{\displaystyle \;{\dfrac {di_{R'}}{dt}}(t)={\dfrac {d\left[{\dfrac {u(t)}{R'}}\right]}{dt}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/178e0d19c0daeb5652bddd732338470545d80861)
![{\displaystyle \;I_{0}\;Y(t)\;u(t)={\dfrac {d{\mathcal {E}}}{dt}}(t)+{\dfrac {\left[u(t)\right]^{2}}{R'}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1acecc9cd013a951568dd16c2367c94d4c35681e)
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C'\,\left[u(t)\right]^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;L'\,\left[i_{L'}(t)\right]^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ad8cd978d1ab2d8697ec6c1a54d120b80009875)
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;C'\,\left[u(t)\right]^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;L'\,\left[i_{L'}(t)\right]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed9ba3d27eb2b9f0427610c3e20b0a16e13fcd15)
![{\displaystyle \;I_{0}\;Y(t)\;u(t)=C'\;u(t)\;{\dfrac {du}{dt}}(t)+L'\;i_{L'}(t)\;{\dfrac {di_{L'}}{dt}}(t)+{\dfrac {\left[u(t)\right]^{2}}{R'}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/231e1c55566bdfb4ae3004cabcba3abd1a0726d0)
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}_{{\text{électrostat. stockée dans }}C}(t)={\dfrac {1}{2\;C}}\,\left[q(t)\right]^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c1ed3d846a353b1ac672b4d43e1bafeaab1fba2)
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}_{\text{élastique stockée dans ressort}}(t)={\dfrac {k}{2}}\,\left[\Delta z(t)\right]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f196fa4241baaff862eed0048a56d125708a26b7)
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}_{{\text{électromagn. stockée dans }}L}(t)={\dfrac {1}{2}}\;L\,\left[i(t)\right]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84c174b7b39b28d8a33409edc02cf01621b08785)
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}_{{\text{cinétique de }}M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\,\left[v(t)\right]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c7c08009a16e494ec3bf066d3436d7f8e960d26)
![{\displaystyle \;m\;g\;-k\,\left[\Delta l_{\text{éq}}+x(t)\right]-h\;{\dot {x}}(t)=m\;{\ddot {x}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067869e9ed450550baa0f4726f2074eebe251a29)
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}_{\text{élastique stockée dans ressort}}(t)={\dfrac {k}{2}}\,\left[x'(t)\right]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04945bc16446ff5ffd53661b68958271b471e752)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {q(t)}{C}}+L\,{\dfrac {d^{2}q}{dt^{2}}}(t)\right]\,{\cancel {i(t)}}=\left[E\;Y(t)-R\;{\dfrac {dq}{dt}}(t)\right]\,{\cancel {i(t)}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1bbf4d24e10db4710d8c1694715c7b58c3bcdf6)
![{\displaystyle \;\left[k\,x'(t)+m\,{\dfrac {d^{2}x'}{dt^{2}}}(t)\right]{\cancel {v(t)}}=\left[m\,g\,Y(t)-h\,{\dfrac {dx'}{dt}}(t)\right]{\cancel {v(t)}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47fd18c5eaa67dff6ba6a0c1bd413f5269c1568a)
![{\displaystyle \;\left[k\;x'(t)+m\;{\ddot {x'}}(t)\right]v(t)=\left[m\;g-h\;{\dot {x'}}(t)\right]v(t)\;\;{\text{pour }}t>0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af37cf830c9aa14e0f1ef71966cd67536263c0e9)
![{\displaystyle \;x'(t)={\dfrac {m\;g}{k}}\left[1-{\dfrac {\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}{2\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\,\exp \!\left(s_{+}\;t\right)+{\dfrac {\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}{2\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\,\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c5c9f2e68f926c4ad4d5f7b93d5b4cd791aef7)
![{\displaystyle \;x'(t)={\dfrac {m\;g}{k}}\,\left[1-\left(1+\omega _{0}\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bca85e967407c9dbbf7566140ada5f9bc0fd186e)
![{\displaystyle \;x'(t)={\dfrac {m\;g}{k}}\left[1-{\dfrac {1}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t-\alpha \right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df842a0bcef1e393d4aa43d25fd236b93899adf)
![{\displaystyle \arctan \!\left[{\dfrac {\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/902f92cd9421a6f2589b82bf69ff7e0435c1363f)
![{\displaystyle \;x'(t)={\dfrac {m\;g}{k}}\left[1-\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fe2de56386da88bbb6d15fca3e1851dabd89458)
![{\displaystyle \;v(t)={\dfrac {m\;g}{h}}\,{\dfrac {\sigma }{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}\left[\exp \!\left(s_{+}\;t\right)-\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6cb5a3ff8e6327878a0eaac701bec7cccad28e7)
![{\displaystyle \;v(t)={\dfrac {m\;g}{h_{c}}}\,\left[1-\left(1+\omega _{0}\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a140015bda0837caee2d352450d56f93db705a9)
![{\displaystyle \;F(t)={\dfrac {m\;g}{2\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\left[-\left(\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,\exp \!\left(s_{+}\;t\right)+\left(\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/862ef347bb7d6ad9a3c9b38b927fe66c75fb0b6d)
![Portrait de phase en élongation pseudo-périodique d'un P.E.V.A. dans C.I[76]. élongation et vitesse positives](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/36/Pendule_%C3%A9lastique_vertical_amorti_-_portrait_de_phase_en_%C3%A9longation.png)
Portrait de phase en élongation pseudo-périodique d'un P.E.V.A. dans C.I[76]. élongation et vitesse positives![Portrait de phase en élongation pseudo-périodique à très faible cœfficient d'amortissement d'un P.E.V.A. dans C.I[76]. élongation et vitesse positives](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1a/Pendule_%C3%A9lastique_vertical_amorti_-_portrait_de_phase_en_%C3%A9longation_-_penta.png)
Portrait de phase en élongation pseudo-périodique à très faible cœfficient d'amortissement d'un P.E.V.A. dans C.I[76]. élongation et vitesse positives![Portraits de phase en élongation apériodique critique et apériodique d'un P.E.V.A. dans C.I[76]. élongation et vitesse positives](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/93/Pendule_%C3%A9lastique_vertical_amorti_-_portrait_de_phase_en_%C3%A9longation_-_bis.png)
Portraits de phase en élongation apériodique critique et apériodique d'un P.E.V.A. dans C.I[76]. élongation et vitesse positives![Portrait de phase en élongation pseudo-périodique d'un P.E.V.A. dans C.I[76]. élongation et vitesse positives](/wiki/Fichier:Pendule_%C3%A9lastique_vertical_amorti_-_portrait_de_phase_en_%C3%A9longation.png)
![Portrait de phase en élongation pseudo-périodique à très faible cœfficient d'amortissement d'un P.E.V.A. dans C.I[76]. élongation et vitesse positives](/wiki/Fichier:Pendule_%C3%A9lastique_vertical_amorti_-_portrait_de_phase_en_%C3%A9longation_-_penta.png)
![Portraits de phase en élongation apériodique critique et apériodique d'un P.E.V.A. dans C.I[76]. élongation et vitesse positives](/wiki/Fichier:Pendule_%C3%A9lastique_vertical_amorti_-_portrait_de_phase_en_%C3%A9longation_-_bis.png)
![Portraits de phase en élongation pseudo-périodique d'un P.E.V.A. dans C.I[76]. élongation et vitesse négatives](/wiki/Fichier:Pendule_%C3%A9lastique_vertical_amorti_-_portrait_de_phase_en_%C3%A9longation_-_ter.png)
![Portraits de phase en élongation apériodique critique et apériodique d'un P.E.V.A. dans C.I[76]. élongation et vitesse négatives](/wiki/Fichier:Pendule_%C3%A9lastique_vertical_amorti_-_portrait_de_phase_en_%C3%A9longation_-_tetra.png)
![{\displaystyle {\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6515d4ab3aeccb7f846142fd40a7d0f7d1129e6e)
![{\displaystyle \;-10\;i(t){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df50e186d5cfbb62d1c65218dfa4868df47e7e9c)
![{\displaystyle \;i(t){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3f4fbdeaf396b35417b8ccf5aafa1d09cda3919)
![{\displaystyle \;{\bigg \vert }{\dfrac {di}{dt}}(t){\bigg \vert }{\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec30cebc4f7ea2aafbdcd63949328712ed994d39)
![{\displaystyle \;C_{\text{lim}}=\infty {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d3c53612b8e20942a8cf8e7822393e866ea49b8)
![{\displaystyle \;\omega ={\Big \vert }\Im \!\left[{\underline {s_{\pm }}}\right]{\Big \vert }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/072b122632ea0f90f8e13e88026333b40bebc639)
![{\displaystyle \;\Re \!\left[{\underline {s_{\pm }}}\right]=-\sigma \;\omega _{0}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c2fca1bad0974e6f45e09567ea7e532d97b8be0)
![{\displaystyle \;u_{C}(t)=E\left[1-{\dfrac {1+{\sqrt {1-4\;Q^{2}}}}{2\;{\sqrt {1-4\;Q^{2}}}}}\,\exp \!\left(s_{+}\;t\right)+{\dfrac {1-{\sqrt {1-4\;Q^{2}}}}{2\;{\sqrt {1-4\;Q^{2}}}}}\,\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/957e56e66dd8ca56cb10f697a7dfa9f01958f496)
![{\displaystyle \;u_{C}(t)=E\left[1-{\dfrac {1+{\sqrt {1-4\;\tau ^{2}\;\omega _{0}^{2}}}}{2\;{\sqrt {1-4\;\tau ^{2}\;\omega _{0}^{2}}}}}\,\exp \!\left(s_{+}\;t\right)+{\dfrac {1-{\sqrt {1-4\;\tau ^{2}\;\omega _{0}^{2}}}}{2\;{\sqrt {1-4\;\tau ^{2}\;\omega _{0}^{2}}}}}\,\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baa90f3543cae33a44f2759053ac673cc42a5604)
![{\displaystyle \;u_{C}(t)=E\left[1-{\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {1}{4\;Q^{2}}}}}}\,\exp \!\left(-{\dfrac {\omega _{0}}{2\;Q}}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t-\alpha \right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df88f91f7664de1e8b09a99cb986a7fee0eab50a)
![{\displaystyle \;\alpha =\arctan \!\left[{\dfrac {1}{\sqrt {4\;Q^{2}-1}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39da67efb0a49b52d36b4e6eab653f7a658c345b)
![{\displaystyle \;u_{C}(t)=E\left[1-{\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {1}{4\;\tau ^{2}\;\omega _{0}^{2}}}}}}\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{2\;\tau }}\right)\,\cos \!\left(\omega \;t-\alpha \right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b1a506e31959ac886d6866260bc2c844307d401)
![{\displaystyle \;\alpha =\arctan \!\left[{\dfrac {1}{\sqrt {4\;\tau ^{2}\;\omega _{0}^{2}-1}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d033d4cf78877182de52894d1cd0ea1462e39c5)
![{\displaystyle \;u_{L}(t){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf285d08213c586e0c0bca3d076140b4309ea93)
![{\displaystyle \;i(t)={\dfrac {E}{R}}\,{\dfrac {1}{\sqrt {1-4\;Q^{2}}}}\left[\exp \!\left(s_{+}\;t\right)-\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad286637922c71a1e1e7aa8cfb780a1f412f9c25)
![{\displaystyle \;i(t)={\dfrac {E}{R}}\,{\dfrac {1}{\sqrt {1-4\;\tau ^{2}\;\omega _{0}^{2}}}}\left[\exp \!\left(s_{+}\;t\right)-\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c7d49a65957e9efc160b37c5b62565d121726bd)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}\left[{\dfrac {d^{2}u_{L}}{dt^{2}}}(t)+{\dfrac {R}{L}}\;{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{L\;C}}\;u_{L}(t)\right]dt=\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}E\;{\dot {\delta }}(t)\;dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21592a61661937551901e8cbd44053c41ddb4ded)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {du_{L}}{dt}}(t)\right]_{0^{-}}^{0^{+}}+{\dfrac {R}{L}}\,\left[u_{L}(t)\right]_{0^{-}}^{0^{+}}+{\cancel {{\dfrac {1}{L\;C}}\,\left[\displaystyle \int _{0^{-}}^{t}u_{L}(t')dt'\right]_{0^{-}}^{0^{+}}}}={\cancel {E\,\left[\delta (t)\right]_{0^{-}}^{0^{+}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5a4c826104cdbec937165d927e130b384d505f3)
![{\displaystyle \;{\dfrac {R}{L}}+s_{-}=2\;\sigma \;\omega _{0}+\left[-\sigma \;\omega _{0}-\omega _{0}\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right]=-\left[-\sigma \;\omega _{0}+\omega _{0}\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right]=-s_{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7319328ebb12b25981fa03abefa03bc37dff18f3)
![{\displaystyle \;u_{L}(t)={\dfrac {E}{2\;{\sqrt {1-4\;Q^{2}}}}}\left[-\left(1-{\sqrt {1-4\;Q^{2}}}\right)\,\exp \!\left(s_{+}\;t\right)+\left(1+{\sqrt {1-4\;Q^{2}}}\right)\,\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a0a2e720f16db3735b1a15dd8d54f3261a85656)
![{\displaystyle \;u_{L}(t)={\dfrac {E}{2\;{\sqrt {1-4\;\tau ^{2}\;\omega _{0}^{2}}}}}\left[-\left(1-{\sqrt {1-4\;\tau ^{2}\;\omega _{0}^{2}}}\right)\,\exp \!\left(s_{+}\;t\right)+\left(1+{\sqrt {1-4\;\tau ^{2}\;\omega _{0}^{2}}}\right)\,\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b612ca49d4d9fba179c8341aba1a0f4d9afdae)
![{\displaystyle \;u_{C}=u_{C}(t){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02930ffb5de57cc4bb51a47d80d55f36098a8ef0)
![{\displaystyle {\big ]}{\big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eb4c3d7025b909a7ea0c2918eb8a91f6954ae68)
![{\displaystyle \;t<0{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4f5cea891de039357e11ec2bba4411ac467983e)
![{\displaystyle t<0{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/403ebf7ad0a1a18a4aecd133a4f601551a3f9b61)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}_{{\text{cal}},\,G'}(t)=G'\;u^{2}(t)={\dfrac {\left[u(t)\right]^{2}}{R'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/315a58d3b06d5568c28678377e001b15d4d08e1f)