Signaux physiques - bis (PCSI)/Exercices/Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre, 1ère partie

Filtrage d'un 1^er ordre d'une superposition d'harmoniques

     Rappeler la fonction de transfert d'un système « passe-bas » du 1^er ordre et

     préciser la sortie $\;s(t)\;$ du montage avec une entrée égale à «$\;e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin ^{3}\left(\omega _{0}\;t\right)\;$» $\;{\big \{}$en particulier on précisera le fonctionnement du filtre en passe-bas ou intégrateur suivant la position de la fréquence $\;f_{0}\;$ du signal d'entrée relativement à la fréquence de coupure à $\;-3\;dB_{;}$ du filtre${\big \}}$.

     Données : «$\;\sin ^{3}(x)={\dfrac {3}{4}}\;\sin(x)-{\dfrac {1}{4}}\;\sin \!\left(3\;x\right)\;$».

Solution

     L'amplification complexe en tension «$\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {s}}(t)}{{\underline {e}}(t)}}\;$» d'un « passe-bas » du 1^er ordre est celle d'un système du 1^er ordre fondamental c'est-à-dire «$\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {A_{0}}{1+j\,\tau \,\omega }}\;$» avec
«$\;A_{0}\;$ l'amplification statique en tension » et
«$\;\tau \;$ une constante de temps caractéristique du système ».

     La pulsation de coupure à $\;-3\;dB\;$ du passe-bas du 1^er ordre vaut «$\;\omega _{c}={\dfrac {1}{\tau }}\;$» $\Rightarrow$ la fréquence de coupure à $\;-3\;dB\;$ «$\;f_{c}={\dfrac {\omega _{c}}{2\;\pi }}={\dfrac {1}{2\;\pi \;\tau }}\;$», l'intervalle de fréquences passant à $\;-3\;dB\;$ étant «$\;\left[0\;,\;f_{c}\right]\;$».

     Compte-tenu de «$\;e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin ^{3}\left(\omega _{0}\;t\right)={\dfrac {3\;E\;{\sqrt {2}}}{4}}\;\sin \left(\omega _{0}\;t\right)-{\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{4}}\;\sin \!\left(3\;\omega _{0}\;t\right)\;$» tension d'entrée périodique de fréquence $\;f_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}\;$ composée

• de l'harmonique fondamental «$\;e_{1}(t)={\dfrac {3\;E}{4}}\;{\sqrt {2}}\;\sin \left(\omega _{0}\;t\right)\;$» de valeur instantanée complexe associée «$\;{\underline {e_{1}}}(t)=E_{1}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\;\omega _{0}\;t\right)\;$», $\;E_{1}={\dfrac {3\;E}{4}}\;$ étant la valeur efficace de cet harmonique et
• de l'harmonique de rang $\;3\;$ «$\;e_{3}(t)=-{\dfrac {E}{4}}\;{\sqrt {2}}\;\sin \left(3\;\omega _{0}\;t\right)\;$» de valeur instantanée complexe associée «$\;{\underline {e_{3}}}(t)=-E_{3}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\;\omega _{0}\;t\right)\;$», $\;E_{3}={\dfrac {E}{4}}\;$ étant la valeur efficace de cet harmonique,

     nous déduisons, du caractère linéaire du filtre, que la tension de sortie de ce dernier «$\;s(t)\;$» est périodique de fréquence $\;f_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}\;$ composée

• de l'harmonique fondamental «$\;s_{1}(t)\;$» de valeur instantanée complexe associée «$\;{\underline {s_{1}}}(t)={\underline {A}}(j\,\omega _{0})\;{\underline {e_{1}}}(t)={\underline {S_{1}}}(j\,\omega _{0})\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\;\omega _{0}\;t\right)\;$» avec $\;{\underline {S_{1}}}(j\,\omega _{0})\;$ la valeur efficace complexe de cet harmonique vérifiant «$\;{\underline {S_{1}}}(j\,\omega _{0})={\underline {A}}(j\,\omega _{0})\;E_{1}=S_{1}(\omega _{0})\;\exp \!\left[j\;\varphi _{s_{1}}(\omega _{0})\right]\;$» $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}S_{1}(\omega _{0})=G(\omega _{0})\;E_{1}={\dfrac {\vert A_{0}\vert }{\sqrt {1+\tau ^{2}\;\omega _{0}^{2}}}}\;{\dfrac {3\;E}{4}}\\\varphi _{s_{1}}(\omega _{0})=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {A}}(j\,\omega _{0})\right]+0=-\arctan(\tau \;\omega _{0})\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ «$\;s_{1}(t)={\dfrac {3\,\vert A_{0}\vert \,E\;{\sqrt {2}}}{4\,{\sqrt {1+\tau ^{2}\;\omega _{0}^{2}}}}}\;\sin \left[\omega _{0}\;t+\varphi _{s_{1}}(\omega _{0})\right]\;$» soit
  «$\;s_{1}(t)={\dfrac {3\,\vert A_{0}\vert \,E\;{\sqrt {2}}}{4\,{\sqrt {1+\tau ^{2}\;\omega _{0}^{2}}}}}\;\sin \left[\omega _{0}\;t-\arctan(\tau \;\omega _{0})\right]\;$»,
• de l'harmonique de rang $\;3\;$ «$\;s_{3}(t)\;$» de valeur instantanée complexe associée «$\;{\underline {s_{3}}}(t)={\underline {A}}(j\,3\,\omega _{0})\;{\underline {e_{3}}}(t)={\underline {S_{3}}}(j\,3\,\omega _{0})\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\;3\;\omega _{0}\;t\right)\;$» avec $\;{\underline {S_{3}}}(j\,3\,\omega _{0})\;$ la valeur efficace complexe de cet harmonique vérifiant «$\;{\underline {S_{3}}}(j\,3\,\omega _{0})={\underline {A}}(j\,3\,\omega _{0})\;E_{3}=S_{3}(3\,\omega _{0})\;\exp \!\left[j\;\varphi _{s_{3}}(3\,\omega _{0})\right]\;$» $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}S_{3}(3\,\omega _{0})=G(3\,\omega _{0})\;E_{3}={\dfrac {\vert A_{0}\vert }{\sqrt {1+9\;\tau ^{2}\;\omega _{0}^{2}}}}\;{\dfrac {E}{4}}\\\varphi _{s_{3}}(3\,\omega _{0})=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {A}}(j\,3\,\omega _{0})\right]+\pi =\pi -\arctan(3\;\tau \;\omega _{0})\end{array}}\right\rbrace \;$ et «$\;s_{3}(t)={\dfrac {\vert A_{0}\vert \,E\;{\sqrt {2}}}{4\,{\sqrt {1+9\;\tau ^{2}\;\omega _{0}^{2}}}}}\;\sin \left[3\;\omega _{0}\;t+\varphi _{s_{3}}(3\,\omega _{0})\right]\;$» soit
  «$\;s_{3}(t)=-{\dfrac {\vert A_{0}\vert \,E\;{\sqrt {2}}}{4\,{\sqrt {1+9\;\tau ^{2}\;\omega _{0}^{2}}}}}\;\sin \left[3\;\omega _{0}\;t-\arctan(3\;\tau \;\omega _{0})\right]\;$».

     La réponse du filtre d'amplification complexe en tension «$\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {A_{0}}{1+j\,\tau \,\omega }}\;$» à la tension d'entrée «$\;e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin ^{3}\left(\omega _{0}\;t\right)\;$» est «$\;s(t)=s_{1}(t)+s_{3}(t)={\dfrac {3\,\vert A_{0}\vert \,E\;{\sqrt {2}}}{4\,{\sqrt {1+\tau ^{2}\;\omega _{0}^{2}}}}}\;\sin \left[\omega _{0}\;t-\arctan(\tau \;\omega _{0})\right]-{\dfrac {\vert A_{0}\vert \,E\;{\sqrt {2}}}{4\,{\sqrt {1+9\;\tau ^{2}\;\omega _{0}^{2}}}}}\;\sin \left[3\;\omega _{0}\;t-\arctan(3\;\tau \;\omega _{0})\right]\;$».

     Fonctionnement du filtre suivant la fréquence du signal d'entrée $\;{\big (}$relativement à la fréquence de coupure à $\;-3\;dB{\big )}\;$ : on choisit $\;f_{0}=10\;Hz$, $\;E=1\;V$, $\;A_{0}=1\;$ et $\;f_{c}\;$ prenant successivement les valeurs $\;300\;Hz$, $\;100\;Hz$, $\;30\;Hz$, $\;10\;Hz\;$ et $\;1\;Hz$ $\;{\big \{}$voir la justification dans le paragraphe « condition pour utiliser le filtre comme intégrateur ou moyenneur sur l'exemple (d'un 1^er ordre fondamental) » du chap.$8$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) »${\big \}}$ ;

     $\succ \;$pour $\;f_{c}=300\;Hz$, les harmoniques $\;e_{1}(t)\;$ de fréquence $\;f_{0}=10\;Hz\;$ et $\;e_{3}(t)\;$ de fréquence $\;3\;f_{0}=30\;Hz\;$ ont tous deux une fréquence dans la zone passante d'où «$\;s(t)=A_{0}\;e(t)=e(t)\;$»,

Superposition du signal d'entrée «$\;e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin ^{3}\left(\omega _{0}\;t\right)\;$» de fréquence «$\;f_{0}=10\;Hz\;$» et de la réponse $\;s(t)\;$ à un filtre du 1^er ordre fondamental de fréquence de coupure à $\;-3\;dB\;$ «$\;f_{c}=100\;Hz\;$»

Superposition du signal d'entrée «$\;e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin ^{3}\left(\omega _{0}\;t\right)\;$» de fréquence «$\;f_{0}=10\;Hz\;$» et de la réponse $\;s(t)\;$ à un filtre du 1^er ordre fondamental de fréquence de coupure à $\;-3\;dB\;$ «$\;f_{c}=30\;Hz\;$»

     $\succ \;$pour $\;f_{c}=100\;Hz$, seul l'harmonique $\;e_{1}(t)\;$ de fréquence $\;f_{0}=$ $10\;Hz\;$ a une fréquence dans la zone passante, l'harmonique $\;e_{3}(t)\;$ de fréquence $\;3\;f_{0}=30\;Hz\;$ ayant une fréquence dans la zone intermédiaire d'où «$\;s(t)\;$ de valeurs de crêtes légèrement plus faibles que celles de $\;e(t)\;$ et légèrement déformé par rapport à $\;e(t)\;$» $\;{\big \{}$voir ci-contre à gauche, le diagramme temporel du signal $\;e(t)\;$ étant en noir, celui du signal $\;s(t)\;$ en rouge${\big \}}$,
     $\succ \;$pour $\;f_{c}=30\;Hz$, les harmoniques $\;e_{1}(t)\;$ de fréquence $\;f_{0}=$ $10\;Hz\;$ et $\;e_{3}(t)\;$ de fréquence $\;3\;f_{0}=30\;Hz\;$ ont tous deux une fréquence dans la zone intermédiaire d'où «$\;s(t)\;$ de valeurs de crêtes plus faibles de façon notable que celles de $\;e(t)\;$ et plus déformé par rapport à $\;e(t)\;$» $\;{\big \{}$voir ci-contre à droite, le diagramme temporel du signal $\;e(t)\;$ étant en noir, celui du signal $\;s(t)\;$ en rouge${\big \}}$,

Superposition du signal d'entrée «$\;e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin ^{3}\left(\omega _{0}\;t\right)\;$» de fréquence «$\;f_{0}=10\;Hz\;$» et de la réponse $\;s(t)\;$ à un filtre du 1^er ordre fondamental de fréquence de coupure à $\;-3\;dB\;$ «$\;f_{c}=10\;Hz\;$»

Superposition du signal d'entrée «$\;e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin ^{3}\left(\omega _{0}\;t\right)\;$» de fréquence «$\;f_{0}=10\;Hz\;$» et de la réponse $\;s(t)\;$ à un filtre du 1^er ordre fondamental de fréquence de coupure à $\;-3\;dB\;$ «$\;f_{c}=1\;Hz\;$»

     $\succ \;$pour $\;f_{c}=10\;Hz$, les harmoniques $\;e_{1}(t)\;$ de fréquence $\;f_{0}=$ $10\;Hz\;$ et $\;e_{3}(t)\;$ de fréquence $\;3\;f_{0}=30\;Hz\;$ ont tous deux une fréquence de pénétration plus profonde dans la zone intermédiaire d'où «$\;s(t)\;$ de valeurs de crêtes assez nettement plus faibles que celles de $\;e(t)\;$ et aussi nettement plus déformé par rapport à $\;e(t)\;$» $\;{\big \{}$voir ci-contre à gauche, le diagramme temporel du signal $\;e(t)\;$ étant en noir, celui du signal $\;s(t)\;$ en rouge${\big \}}\;$ et
     $\succ \;$pour $\;f_{c}=1\;Hz$, les harmoniques $\;e_{1}(t)\;$ de fréquence $\;f_{0}=$ $10\;Hz\;$ et $\;e_{3}(t)\;$ de fréquence $\;3\;f_{0}=30\;Hz\;$ ont tous deux une fréquence dans la zone intégrative d'où «$\;s(t)\;$ $\;\propto \;$ à une primitive de $\;e(t)\;$ mais de valeurs de crêtes relativement faibles » $\;{\big \{}$voir ci-contre à droite, le diagramme temporel du signal $\;e(t)\;$ étant en noir, celui du signal $\;s(t)\;$ en rouge${\big \}}$.

Réponse $\;s(t)\;$ du signal d'entrée «$\;e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin ^{3}\left(\omega _{0}\;t\right)\;$» de fréquence «$\;f_{0}=10\;Hz\;$» à un filtre du 1^er ordre fondamental de fréquence de coupure à $\;-3\;dB\;$ «$\;f_{c}=1\;Hz\;$»

Signal d'entrée «$\;e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin ^{3}\left(\omega _{0}\;t\right)\;$» de fréquence «$\;f_{0}=10\;Hz\;$» envoyé à un filtre du 1^er ordre fondamental de fréquence de coupure à $\;-3\;dB\;$ «$\;f_{c}=300\;Hz\;$» de réponse identique au signal d'entrée

     $\succ \;$pour $\;f_{c}=1\;Hz$, les harmoniques $\;e_{1}(t)\;$ de fréquence $\;f_{0}=$ $10\;Hz\;$ et $\;e_{3}(t)\;$ de fréquence $\;3\;f_{0}=30\;Hz\;$ ont tous deux une fréquence dans la zone intégrative d'où «$\;s(t)\;$ $\;\propto \;$ à une primitive de $\;e(t)\;$ mais de valeurs de crêtes relativement faibles » $\;{\big \{}$voir ci-contre à gauche, le diagramme temporel du signal $\;s(t)$ seul $\;{\big [}\!\propto \;$ à une primitive de $\;e(t){\big ]}\;$ et représenté avec un cœfficient d'amplification de $\;10{\big \}}$,
     $\succ \;$ci-contre à droite, le diagramme du signal $\;{\big (}$représenté seul${\big )}\;$ «$\;e(t)$ $=E\;{\sqrt {2}}\;\sin ^{3}\left(\omega _{0}\;t\right)\;$» de fréquence «$\;f_{0}=10\;Hz\;$» envoyé à l'entrée d'un filtre du 1^er ordre fondamental de fréquence de coupure à $\;-3\;dB\;$ «$\;f_{c}=300\;Hz\;$», les deux harmoniques $\;e_{1}(t)\;$ de fréquence $\;f_{0}=$ $10\;Hz\;$ et $\;e_{3}(t)\;$ de fréquence $\;3\;f_{0}=30\;Hz\;$ ayant tous deux une fréquence dans la zone passante, le diagramme temporel du signal de sortie «$\;s(t)\;$» $\;{\big (}$non représenté${\big )}\;$ est identique à celui de «$\;e(t)\;$».