Signaux physiques - bis (PCSI)/Exercices/Filtrage linéaire : gabarit d'un filtre, 2ème partie

Filtre passe-bas du 2^ème ordre, détermination de la réponse à un échelon de tension et à une tension périodique non sinusoïdale à partir de la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f.

     On se propose d'étudier un montage dont l'amplification complexe en tension $\;{\big (}$en électricité complexe associée au r.s.f.${\big )}\;$ est

«$\;{\underline {A}}(j\omega )={\dfrac {{\underline {s}}(t)}{{\underline {e}}(t)}}={\dfrac {1}{1+3\,j\,R\,C_{1}\,\omega -R^{2}\,C_{1}\,C_{2}\,\omega ^{2}}}\;$»,

     $\;C_{1}\;$ et $\;C_{2}\;$ étant les valeurs de capacité de deux condensateurs parfaits, $\;R\;$ la résistance d'un conducteur ohmique,
     «$\;{\underline {e}}(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$ la tension instantanée complexe associée à la tension instantanée sinusoïdale $\;e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left(\omega \,t\right)\;$ imposée à l'entrée du montage d'entrée » et
     «$\;{\underline {s}}(t)={\underline {S}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$ la tension instantanée complexe associée à la tension instantanée sinusoïdale $\;s(t)=S\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left(\omega \,t+\varphi _{s}\right)\;$ recueillie à la sortie du montage, $\;{\underline {S}}=S\;\exp \!\left(j\,\varphi _{s}\right)\;$ étant la tension efficace complexe de sortie ».

Réduction canonique de la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f.

     Montrer que l'amplification complexe en tension du filtre peut être réduite de façon canonique selon «$\;{\underline {A}}(j\omega )={\dfrac {A_{0}}{1+2\,j\,m\,{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}}}\;$» et
     Expliciter les grandeurs canoniques «$\;\omega _{0}\;$», «$\;m\;$» et «$\;A_{0}\;$».

Solution

     Les deux formes «$\;{\underline {A}}(j\omega )={\dfrac {1}{1+3\,j\,R\,C_{1}\,\omega -R^{2}\,C_{1}\,C_{2}\,\omega ^{2}}}\;$» et «$\;{\underline {A}}(j\omega )={\dfrac {A_{0}}{1+2\,j\,m\,{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}}}\;$» étant normalisées, on identifie

• « les termes en $\;\omega ^{2}\;$ du dénominateur » soit «$\;R^{2}\,C_{1}\,C_{2}\,\omega ^{2}={\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\omega _{0}={\dfrac {1}{R\,{\sqrt {C_{1}\,C_{2}}}}}\;$» ainsi que
• « les termes en $\;\omega \;$ du même dénominateur » soit «$\;3\,j\,R\,C_{1}\,\omega =2\,j\,m\,{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;m={\dfrac {3}{2}}\,R\,C_{1}\,\omega _{0}={\dfrac {3}{2}}\,{\sqrt {\dfrac {C_{1}}{C_{2}}}}\;$» et
• « les termes constants du numérateur » soit «$\;1=A_{0}\;$» $\Rightarrow$ «$\;A_{0}=1\;$».

 

Déduction de l'équation différentielle à laquelle obéit la tension instantanée de sortie

     Déduire, de l'amplification complexe en tension du filtre «$\;{\underline {A}}(j\omega )={\dfrac {A_{0}}{1+2\,j\,m\,{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}}}\;$», l'équation différentielle vérifiée par la tension instantanée de sortie $\;s(t)\;$ en régime quelconque.

Solution

     À partir de «$\;{\underline {A}}(j\omega )={\dfrac {{\underline {s}}(t)}{{\underline {e}}(t)}}={\dfrac {A_{0}}{1+2\,j\,m\,{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}}}\;$» on obtient, en égalant le produit des extrêmes et des moyens dans la 2^ème égalité, «$\;\left(1+2\,j\,m\,{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\right){\underline {s}}(t)=A_{0}\,{\underline {e}}(t)\;$» ou,
     À partir de «$\;\color {transparent}{{\underline {A}}(j\omega )={\dfrac {{\underline {s}}(t)}{{\underline {e}}(t)}}={\dfrac {A_{0}}{1+2\,j\,m\,{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}}}}\;$» on obtient, en sachant que «$\;j\,\omega \,{\underline {y}}(t)={\dfrac {d{\underline {y}}}{dt}}(t)\;$» ainsi que «$\;-\omega ^{2}\,{\underline {y}}(t)={\dfrac {d^{2}{\underline {y}}}{dt^{2}}}(t)\;$», «$\;{\underline {s}}(t)+2\,m\,{\dfrac {1}{\omega _{0}}}\,{\dfrac {d{\underline {s}}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}\,{\dfrac {d^{2}{\underline {s}}}{dt^{2}}}(t)=A_{0}\,{\underline {e}}(t)\;$» soit enfin,
     À partir de «$\;\color {transparent}{{\underline {A}}(j\omega )={\dfrac {{\underline {s}}(t)}{{\underline {e}}(t)}}={\dfrac {A_{0}}{1+2\,j\,m\,{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}}}}\;$» on obtient, en normalisant «$\;{\dfrac {d^{2}{\underline {s}}}{dt^{2}}}(t)+2\,m\,\omega _{0}\,{\dfrac {d{\underline {s}}}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\,{\underline {s}}(t)=A_{0}\,\omega _{0}^{2}\,{\underline {e}}(t)\;$», de partie réelle égale à «$\;{\dfrac {d^{2}s}{dt^{2}}}(t)+2\,m\,\omega _{0}\,{\dfrac {ds}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\,s(t)=A_{0}\,\omega _{0}^{2}\,e(t)\;$»,
qui est l'« équation différentielle cherchée du circuit considéré ».

 

Description de la solution libre de l'équation différentielle à laquelle obéit la tension instantanée de sortie

     La solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène étant la solution générale de l'équation différentielle précédente rendue homogène c'est-à-dire,
     La solution libre en notant la solution libre $\;s_{l}(t)$, cette dernière est solution générale de l'équation «$\;{\dfrac {d^{2}s_{l}}{dt^{2}}}(t)+2\,m\,\omega _{0}\,{\dfrac {ds_{l}}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\,s_{l}(t)=0,\;\;\forall \;t>0\;$»,

     décrire la solution libre ${\big \{}$on précisera les différentes allures possibles de cette solution${\big \}}\;$ suivant les valeurs de $\;m$.

Solution

     La solution libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène «$\;{\dfrac {d^{2}{\underline {s}}}{dt^{2}}}(t)+2\,m\,\omega _{0}\,{\dfrac {d{\underline {s}}}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\,{\underline {s}}(t)=A_{0}\,\omega _{0}^{2}\,{\underline {e}}(t)\;$»
     La solution libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène étant la solution générale $\;s_{l}(t)\;$ de «$\;{\dfrac {d^{2}s_{l}}{dt^{2}}}(t)+2\,m\,\omega _{0}\,{\dfrac {ds_{l}}{dt}}(t)+\omega _{0}^{2}\,s_{l}(t)=0,\;\;\forall \;t>0\;$»
     La solution libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène s'obtient par résolution de l'équation caractéristique «$\;r^{2}+2\,m\,\omega _{0}\,r+\omega _{0}^{2}=0\;$» de discriminant réduit «$\;\Delta '$ $=\omega _{0}^{2}\left(m^{2}-1\right)\;$» soit, la discussion suivante en fonction des valeurs de «$\;m\;$» :

Superposition des diagrammes horaires des trois solutions libres possibles d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre

• « si $\;m>1\;$», l'équation caractéristique ayant deux racines réelles distinctes «$\;r_{\pm }=\left(-m\pm {\sqrt {m^{2}-1}}\right)\omega _{0}\;$»,
  « si $\;\color {transparent}{m>1}\;$», conduit à une solution apériodique libre «$\;s_{l}(t)=A_{+}\,\exp \left[r_{+}\,t\right]+A_{-}\,\exp \left[r_{-}\,t\right]\;$»,
  « si $\;\color {transparent}{m>1}\;$», conduit à une solution apériodique libre «$\;\color {transparent}{s_{l}(t)=}$$\;{\big \{}A_{+}\;$ et $\;A_{-}\;$ étant des constantes réelles quelconques${\big \}}$,
• « si $\;m=1\;$», l'équation caractéristique ayant une racine réelle double «$\;r_{d}=-\omega _{0}\;$»,
  « si $\;\color {transparent}{m=1}\;$», conduit à une solution apériodique critique libre «$\;s_{l}(t)=\left(A+B\,t\right)\,\exp \left(-\omega _{0}\,t\right)\;$»
  « si $\;\color {transparent}{m=1}\;$», conduit à une solution apériodique critique libre «$\;\color {transparent}{s_{l}(t)=}$$\;{\big \{}A\;$ et $\;B\;$ étant des constantes réelles quelconques${\big \}}\;$ et
• « si $\;m<1\;$», l'équation caractéristique ayant deux racines complexes conjuguées «$\;r_{\pm }=\left(-m\pm j\,{\sqrt {1-m^{2}}}\right)\omega _{0}\;$» écrites encore selon
  « si $\;\color {transparent}{m<1}\;$», l'équation caractéristique ayant deux racines complexes conjuguées «$\;r_{\pm }=-m\,\omega _{0}\pm j\,\omega \;$» avec «$\;\omega =\omega _{0}{\sqrt {1-m^{2}}}\;$
  « si $\;\color {transparent}{m<1}\;$», l'équation caractéristique ayant deux racines complexes conjuguées «$\;\color {transparent}{r_{\pm }=-m\,\omega _{0}\pm j\,\omega }\;$» avec «$\;\color {transparent}{\omega =}$ appelée pseudo pulsation »,
  « si $\;\color {transparent}{m<1}\;$», conduit finalement à une solution pseudo périodique libre «$\;s_{l}(t)=A\,\exp \left(-m\,\omega _{0}\,t\right)\,\cos \left(\omega \,t+\varphi \right)\;$»,
  « si $\;\color {transparent}{m<1}\;$», conduit à une solution pseudo périodique libre «$\;\color {transparent}{s_{l}(t)=}$$\;{\big \{}A\;$ et $\;\varphi \;$ étant des constantes réelles quelconques${\big \}}$.

 

Valeurs initiale et finale de la tension instantanée de sortie

     Sachant qu'on applique un échelon de tension d'amplitude «$\;E_{0}\;$» à l'entrée du filtre à partir de «$\;t=0\;$», donner, en les justifiant par utilisation de propriétés de la fonction de transfert, les valeurs

• de la réponse initiale en sortie «$\;s(t)\;$» du filtre à cet échelon c'est-à-dire la valeur de «$\;s(0^{+})\;$» et
• celle               finale en sortie «$\;s(t)\;$» du filtre à cet échelon c'est-à-dire la valeur de «$\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,\infty }s(t)\;$ notée, par abus, $\;s(\infty )\;$» ;

     à quoi correspond physiquement la valeur de «$\;s(\infty )\;$» ?

Solution

     On sait que, d'une part, «$\;s(0^{+})=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\left[{\underline {A}}(j\omega )\right]\,E_{0}=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\left[{\dfrac {A_{0}}{1+2\,j\,m\,{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}}}\right]\,E_{0}\;$» soit «$\;s(0^{+})=0\;$»,
     On sait que, d'une part, ce qui traduit la continuité de $\;s(t)\;$ en $\;t=0$, l'excitation étant en effet discontinue de 1^ère espèce $\;t=0\;$ et cette discontinuité se reportant sur la dérivée 2^nde de $\;s(t)\;$ et entraînant la continuité de la dérivée 1^ère de $\;s(t)\;$ et celle de la fonction $\;s(t)$ ;
     on sait que, d'autre part, «$\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,\infty }s(t)=s(\infty )=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,0}\left[{\underline {A}}(j\omega )\right]\,E_{0}=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,0}\left[{\dfrac {A_{0}}{1+2\,j\,m\,{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}}}\right]\,E_{0}\;$» soit «$\;s(\infty )=A_{0}\;E_{0}=E_{0}\;$»,
     On sait que, d'autre part, «$\;s(\infty )\;$» étant la solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre hétérogène au bout d'une durée infinie pendant laquelle le régime libre s'est amorti, c'est-à-dire que $\;s(\infty )=E_{0}\;$ est la solution forcée.

 

Construction du cas particulier m = 2^-1/2 et nature du régime libre associé

     Sachant que l'on veut obtenir «$\;m={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$», quelle valeur faut-il donner à la capacité «$\;C_{2}\;$» en fonction de la capacité «$\;C_{1}\;$» pour y parvenir ?

     Sachant que l'on veut obtenir «$\;\color {transparent}{m={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}}\;$», Quelle est alors la nature du régime libre obtenu ?

Solution

     Sachant que «$\;m={\dfrac {3}{2}}\,{\sqrt {\dfrac {C_{1}}{C_{2}}}}\;$» et souhaitant obtenir «$\;m={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$» nous en déduisons $\;{\dfrac {3}{2}}\,{\sqrt {\dfrac {C_{1}}{C_{2}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\sqrt {\dfrac {C_{2}}{C_{1}}}}={\dfrac {3}{\sqrt {2}}}\;$ soit «$\;C_{2}={\dfrac {9}{2}}\,C_{1}\;$» ;

     Constatant «$\;m={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}<1\;$» nous concluons au caractère pseudo périodique du régime libre d'après la solution de la question « Description de la solution libre de l'équation différentielle à laquelle la tension instantanées de sortie » plus haut dans cet exercice.

 

Suite de la construction du cas particulier m = 2^-1/2 pour un encadrement donné de la fréquence propre

     Dans le cadre du lien entre les capacités «$\;C_{2}\;$» et «$\;C_{1}\;$» permettant d'obtenir «$\;m={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$», on veut faire varier la fréquence propre «$\;f_{0}={\dfrac {\omega _{0}}{2\pi }}\;$» entre «$\;1,0\,kHz\;$» et «$\;4,0\,kHz\;$»,
     Dans le cadre du lien entre les capacités «$\;\color {transparent}{C_{2}}\;$» et «$\;\color {transparent}{C_{1}}\;$» permettant d'obtenir «$\;\color {transparent}{m={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}}\;$», déterminer entre quelles limites, exprimées en fonction de «$\;C_{1}\;$», doit-on choisir «$\;R\;$» ?

Solution

     Ayant établi, dans la solution de la question « Réduction canonique de la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f. » plus haut de cet exercice,
     Ayant établi, l'expression de la pulsation propre «$\;\omega _{0}\;$» en fonction de «$\;R\;$», «$\;C_{1}\;$» et «$\;C_{2}\;$» soit «$\;\omega _{0}={\dfrac {1}{R\,{\sqrt {C_{1}\,C_{2}}}}}\;$», on en déduit
                Ayant établi, celle de la fréquence propre «$\;f_{0}={\dfrac {\omega _{0}}{2\,\pi }}\;$» selon «$\;f_{0}={\dfrac {1}{2\,\pi \,R\,{\sqrt {C_{1}\,C_{2}}}}}\;$» ou, compte-tenu de «$\;C_{2}={\dfrac {9}{2}}\,C_{1}\;$» nécessaire pour obtenir «$\;m={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$»,
                Ayant établi, celle de la fréquence propre «$\;f_{0}={\dfrac {\sqrt {2}}{6\,\pi \,R\,C_{1}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;R={\dfrac {\sqrt {2}}{6\,\pi \,f_{0}\,C_{1}}}\;$» ;

     pour que l'encadrement de «$\;f_{0}\;$» soit «$\;1,0\,10^{3}\,Hz\leqslant f_{0}\leqslant 4,0\,10^{3}\,Hz\;$» il faut encadrer «$\;R\;$» selon «$\;{\dfrac {\sqrt {2}}{24,0\,\pi \,10^{3}\,C_{1}}}\leqslant R\leqslant {\dfrac {\sqrt {2}}{6,0\,\pi \,10^{3}\,C_{1}}}\;$» ou
     pour que l'encadrement de «$\;\color {transparent}{f_{0}}\;$» soit «$\;\color {transparent}{1,0\,10^{3}\,Hz\leqslant f_{0}\leqslant 4,0\,10^{3}\,Hz}\;$» il faut encadrer «$\;\color {transparent}{R}\;$» selon «$\;{\dfrac {1,876\,10^{-5}}{C_{1}}}\lesssim R\lesssim {\dfrac {7,503\,10^{-5}}{C_{1}}}\;$» dans lequel «$\;C_{1}\;$ est en $\;F\;$» et «$\;R\;$ en $\;\Omega \;$» soit encore,
               pour que l'encadrement de «$\;\color {transparent}{f_{0}}\;$» soit «$\;\color {transparent}{1,0\,10^{3}\,Hz\leqslant f_{0}\leqslant 4,0\,10^{3}\,Hz}\;$» il faut encadrer «$\;\color {transparent}{R}\;$» selon «$\;{\dfrac {18,76}{C_{1}}}\lesssim R\lesssim {\dfrac {75,03}{C_{1}}}\;$» dans lequel «$\;C_{1}\;$ est en $\;nF\;$» et «$\;R\;$ en $\;k\Omega \;$».

 

Détermination des grandeurs caractéristiques du filtre construit précédemment et de fréquence propre 2,0 kHz

     Dans le cadre du lien entre les capacités «$\;C_{2}\;$» et «$\;C_{1}\;$» permettant d'obtenir «$\;m={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$» et
   Dans le cadre de celui entre la capacité «$\;C_{1}\;$» et la résistance «$\;R\;$» pour que «$\;f_{0}\in \left[1,0\,kHz\,;\,4,0\,kHz\right]\;$», on impose une fréquence propre «$\;f_{0}=2,0\;kHz\;$»,

     préciser :

• l'allure de la courbe de gain du diagramme de Bode asymptotique $\;{\big \{}$on vérifiera que l'allure tracée est bien celle d'un « passe-bas » $\;{\big (}$du 2^ème ordre${\big )}{\big \}}$,
• la valeur de la fréquence de coupure à $\;-3\,dB\;$ ainsi que sa position sur la courbe de gain du diagramme de Bode aysmptotique,
• les pentes des asymptotes de cette courbe de gain du diagramme de Bode aysmptotique et
• les valeurs « limites » du déphasage.

Solution

     

Courbe de gain du diagramme de Bode asymptotique du filtre étudié

     Ayant reconnu la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f. d'un filtre du 2^ème ordre « du type réponse en $\;u_{C}\;$ d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante », nous en déduisons

• la courbe de gain du diagramme de Bode asymptotique de ce filtre représentée ci-contre $\;{\big \{}$on vérifie que la courbe de gain diagramme de Bode asymptotique de ce filtre a correspond bien à un « passe-bas » du 2^ème ordre${\big \}}$ ;
• de «$\;m={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$ ${\big (}$c'est-à-dire le cœfficient d'amortissement usuellement noté $\;\sigma {\big )}\;$» on tire le facteur de qualité «$\;Q={\dfrac {1}{2\,m}}={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$» dont la valeur correspond à une résonance du filtre du 2^ème ordre « du type réponse en $\;u_{C}\;$ d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » pour la fréquence nulle ;
  de «$\;\color {transparent}{m={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}}\;$ on en déduit la réécriture de la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f. pour ce facteur de qualité «$\;{\underline {A}}(j\omega )={\dfrac {A_{0}}{1+{\sqrt {2}}\,j\,{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}}}\;$» d'où un gain «$\;G(\omega )={\dfrac {\vert A_{0}\vert }{\sqrt {\left(1-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\right)^{\!\!2}+2\,{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}}}}$ $={\dfrac {\vert A_{0}\vert }{\sqrt {1+{\dfrac {\omega ^{\,4}}{\omega _{0}^{\,4}}}}}}\;$» ;
  de «$\;\color {transparent}{m={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}}\;$ on en déduit la pulsation de coupure à $\;-3\,dB\;$ «$\;\omega _{c}\;$» étant définie par «$\;G(\omega _{c})={\dfrac {G_{\text{max}}}{\sqrt {2}}}={\dfrac {\vert A_{0}\vert }{\sqrt {2}}}\;$» nous en déduisons «$\;1+{\dfrac {\omega _{c}^{\,4}}{\omega _{0}^{\,4}}}=2\;$» soit «$\;\omega _{c}=\omega _{0}\;$» d'où l'expression de la fréquence de coupure à $\;-3\,dB\;$ «$\;f_{c}=f_{0}=2\,kHz\;$» $\;{\big (}$s'identifiant à la fréquence propre${\big )}$ ;
• l'équivalent B.F. $\;{\bigg (}$pratiquement obtenu pour $\;f\lesssim {\dfrac {f_{0}}{10}}{\bigg )}\;$ de la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f. pour ce facteur de qualité étant «$\;{\underline {A}}(j\omega )={\dfrac {A_{0}}{1\,{\cancel {+\,{\sqrt {2}}\,j\,{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}}}}}\sim A_{0}\;$» $\Rightarrow$ $\;G(\omega )\sim \vert A_{0}\vert$ $=1\;$ d'où l'équation de l'asymptote B.F. de la courbe de gain du diagramme de Bode «$\;G_{dB,\,{\text{asymptote }}B.F.}(\omega )=20\,\log \!\left\lbrace {\underset {\omega \,\rightarrow \,0}{\text{équ}}}\left[G(\omega )\right]\right\rbrace =20\,\log \!\left[\vert A_{0}\vert \right]=0\;$» ou «$\;G_{dB,\,{\text{asymptote }}B.F.}(f)=0\;$» $\Rightarrow$ une pente nulle ; l'équivalent H.F. $\;{\big (}$pratiquement obtenu pour $\;f\gtrsim 10\;f_{0}{\big )}\;$ de la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f. pour ce facteur de qualité étant «$\;{\underline {A}}(j\omega )={\dfrac {A_{0}}{{\cancel {1+{\sqrt {2}}\,j\,{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}}}\;-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}}}\sim -{\dfrac {A_{0}}{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}}\;$» $\Rightarrow$ $\;G(\omega )\sim$ ${\dfrac {\vert A_{0}\vert }{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}}={\dfrac {1}{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}}\;$ d'où l'équation de l'asymptote H.F. de la courbe de gain du diagramme de Bode «$\;G_{dB,\,{\text{asymptote }}H.F.}(\omega )=20\,\log \!\left\lbrace {\underset {\omega \,\rightarrow \,\infty }{\text{équ}}}\left[G(\omega )\right]\right\rbrace =20\,\log \!\left[\vert A_{0}\vert \right]-40\,\log \!\left[{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\right]=-40\,\log \!\left[{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\right]\;$» ou «$\;G_{dB,\,{\text{asymptote }}H.F.}(f)=-40\,\log \!\left[{\dfrac {f}{f_{0}}}\right]\;$» $\Rightarrow$ une pente de $\;-40\,dB\,/\,{\text{décade}}$ ; de plus on vérifie que « les deux asymptotes de la courbe de gain du diagramme de Bode se coupent en $\;\left(f_{0}\,;\,0\right)\;$», «$\;f_{0}\;$ étant aussi la fréquence de coupure à $\;-3\,dB\;$» ;
• l'équivalent B.F. $\;{\bigg (}$pratiquement obtenu pour $\;f\lesssim {\dfrac {f_{0}}{10}}{\bigg )}\;$ de la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f. pour ce facteur de qualité étant «$\;{\underline {A}}(j\omega )={\dfrac {A_{0}}{1\,{\cancel {+\,{\sqrt {2}}\,j\,{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}}}}}\sim A_{0}\;$» $\Rightarrow$ $\;\varphi (\omega )\sim$ $\mathrm {arg} \!\left[A_{0}\right]$ $=0\;$ d'où l'équation de l'asymptote B.F. de la courbe de phase du diagramme de Bode «$\;\varphi _{{\text{asymptote }}B.F.}(\omega )={\underset {\omega \,\rightarrow \,0}{\text{équ}}}\left[\varphi (\omega )\right]=0\;$» ou «$\;\varphi _{{\text{asymptote }}B.F.}(f)=0\;$» ; l'équivalent H.F. $\;{\big (}$pratiquement obtenu pour $\;f\gtrsim 10\;f_{0}{\big )}\;$ de la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f. pour ce facteur de qualité étant «$\;{\underline {A}}(j\omega )={\dfrac {A_{0}}{{\cancel {1+{\sqrt {2}}\,j\,{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}}}\;-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}}}\sim -{\dfrac {A_{0}}{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}}\;$» $\Rightarrow$ $\;\varphi (\omega )\sim$ $\mathrm {arg} \!\left[-A_{0}\right]=-\pi \;$ d'où l'équation de l'asymptote H.F. de la courbe de phase du diagramme de Bode «$\;\varphi _{{\text{asymptote }}H.F.}(\omega )={\underset {\omega \,\rightarrow \,\infty }{\text{équ}}}\left[\varphi (\omega )\right]=-\pi \;$» ou «$\;\varphi _{{\text{asymptote }}H.F.}(f)=-\pi \;$».

 

Fonctionnement conditionnel aux fréquences limites

     Préciser le comportement équivalent en B.F. ou H.F. du filtre.

Solution

     À B.F. $\;{\bigg (}$pratiquement obtenu pour $\;f\lesssim {\dfrac {f_{0}}{10}}{\bigg )}\;$ la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f. pour ce facteur de qualité est «$\;{\underline {A}}(j\omega )={\dfrac {A_{0}}{1\,{\cancel {+\,{\sqrt {2}}\,j\,{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}}}}}\sim A_{0}=1\;$» $\Rightarrow$ le filtre laisse passer un signal sinusoïdal sans atténuation ni déphasage, il se comporte donc comme un « passe-tout » à B.F. ;

     à H.F. $\;{\big (}$pratiquement obtenu pour $\;f\gtrsim 10\;f_{0}{\big )}\;$ la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f. pour ce facteur de qualité est «$\;{\underline {A}}(j\omega )={\dfrac {A_{0}}{{\cancel {1+{\sqrt {2}}\,j\,{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}}}\;-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}}}\sim -{\dfrac {A_{0}}{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}}\sim {\dfrac {A_{0}\;\omega _{0}^{2}}{\left(j\,\omega \right)^{2}}}={\dfrac {\omega _{0}^{2}}{\left(j\,\omega \right)^{2}}}\;$» $\Rightarrow$ le filtre intègre deux fois successivement un signal sinusoïdal $\;{\big (}$c'est-à-dire qu'il donne en sortie la primitive de valeur moyenne nulle de la primitive de valeur moyenne nulle de l'entrée sinusoïdale${\big )}\;$, il se comporte en « double intégrateur » à H.F..

 

Réponse du filtre construit précédemment et de fréquence propre 2,0 kHz à divers signaux périodiques de fréquence 1,5 kHz

     À l'entrée du filtre construit précédemment et de fréquence propre $\;f_{0}=2,0\,kHz\;$ on impose un signal d'entrée périodique de fréquence «$\;f_{e}=1,5\,kHz\;$» ;
     À l'entrée du filtre construit précédemment et de fréquence propre $\;\color {transparent}{f_{0}=2,0\,kHz}\;$ on se propose de déterminer la réponse du filtre suivant la forme du signal d'entrée en introduisant, en 1^ère approximation, un « intervalle quasi-passant $\;\left[0\,;\,f_{0}\right]\;$» avant d'affiner en tenant compte de la différence de gain $\;\ldots$

Réponse du filtre à un signal d'entrée sinusoïdal à valeur moyenne nulle

     Représenter, sur un même diagramme temporel, le signal d'entrée sinusoïdal à valeur moyenne nulle et la réponse de ce filtre $\;{\big \{}$d'abord avec la notion d'« intervalle quasi-passant $\;\left[0\,;\,f_{0}\right]\;$» puis en affinant en tenant compte de la différence de gain${\big \}}$.

Solution

     Comme «$\;f_{e}=1,5\,kHz<f_{0}=2,0\,kHz\;$» le signal d'entrée sinusoïdal à valeur moyenne nulle ayant une fréquence «$\;f_{e}=1,5\,kHz\;$» dans l'« intervalle quasi-passant $\;\left[0\,;\,f_{0}=2,0\,kHz\right]\;$» est transmis sans déformation et quasiment sans atténuation d'où «$\;s(t)\simeq e(t)\;$» $\;{\big \{}$en absence supposée de déphasage${\big \}}\;$ ;
     l'oscillogramme $\;{\big (}$bien que demandé${\big )}\;$ n'a pas été tracé et est à ajouter $\;{\big (}$sans difficultés apparentes${\big )}$.

 

Réponse du filtre à un signal d'entrée créneau symétrique pair à valeur moyenne non nulle

     Représenter, sur un même diagramme temporel, le signal d'entrée créneau symétrique à valeur moyenne positive pair telle que les valeurs de palier soient $\;\left\lbrace {\begin{array}{l l}U_{m}\!&\!{\text{pour la valeur haute}}\\0\!&\!{\text{pour la valeur basse}}\end{array}}\right\rbrace \;$ et la réponse de ce filtre $\;{\big \{}$d'abord avec la notion d'« intervalle quasi-passant $\;\left[0\,;\,f_{0}\right]\;$» puis en affinant en tenant compte de la différence de gain${\big \}}$.

     On rappelle la réponse fréquentielle d'un signal créneau symétrique pair d'amplitude $\;E_{m}\;$ et de valeur moyenne nulle : «$\;\left\lbrace C_{0,\,E}=0\,;\,{\underline {C_{2\,p+1,\,{\text{max}}}}}={\dfrac {4\,E_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {(-1)^{p}}{2\,p+1}}\;p\in \mathbb {N} \right\rbrace \;$».

Solution

     Compte-tenu du fait que le signal d'entrée $\;e(t)\;$ créneau symétrique pair est telle que les valeurs de palier sont $\;\left\lbrace {\begin{array}{l l}U_{m}\!&\!{\text{pour la valeur haute}}\\0\!&\!{\text{pour la valeur basse}}\end{array}}\right\rbrace$, on en déduit la « valeur moyenne positive $\;C_{0,\,E}=$ ${\dfrac {U_{m}}{2}}\;$» ainsi que l'« amplitude du signal d'entrée créneau symétrique pair de valeur moyenne nulle $\;E_{m}={\dfrac {U_{m}}{2}}\;$».

Superposition du signal d'entrée créneau symétrique pair à valeur moyenne positive et de fréquence «$\;f_{e}=1,5\,kHz\;$» $\;{\big (}$en noir${\big )}\;$ envoyé à l'entrée du filtre passe-bas du 2^ème ordre de fréquence de coupure à $\;-3\,dB$, «$\;f_{0}=2,0\,kHz\;$» et de la réponse de ce filtre au signal d'entrée $\;{\big (}$en magenta pour le signal non tronqué et en bleu pour la somme de la composante permanente et de l'harmonique fondamental${\big )}$

     $\succ \;$La composante permanente du signal d'entrée $\;e(t)\;$ passe sans aucune déformation d'où «$\;S_{m,\,0}=C_{0,\,E}={\dfrac {U_{m}}{2}}\;$» ;

     $\succ \;$l'harmonique fondamental d'amplitude «$\;{\Big \vert }{\underline {E_{1,\,{\text{max}}}}}{\Big \vert }={\dfrac {4}{\pi }}\;{\dfrac {U_{m}}{2}}\;$» du signal d'entrée $\;e(t)\;$ étant de fréquence «$\;f_{e}=1,5\,kHz<f_{0}=$ $2,0\,kHz\;$» située dans l'« intervalle quasi-passant $\;\left[0\,;\,f_{0}=2,0\,kHz\right]\;$» est transmis sans déformation et, en 1^ère approximation, sans atténuation d'où «$\;S_{1,\,{\text{max}}}$ $\simeq {\Big \vert }{\underline {E_{1,\,{\text{max}}}}}{\Big \vert }={\dfrac {2\,U_{m}}{\pi }}\;$» $\;{\big \{}$en absence supposée de déphasage${\big \}}\;$ et,
     $\color {transparent}{\succ }\;$l'harmonique fondamental de façon plus approfondie tenant compte du gain réel du filtre et de sa phase à la fréquence «$\;f_{e}=1,5\,kHz\;$» $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}G(f_{e})\simeq 0,87\\\varphi (f_{e})\simeq -68\;{\text{°}}=-1,19\;rad\end{array}}\right\rbrace \;$, l'amplitude complexe de la réponse de l'harmonique fondamental s'exprime selon «$\;{\underline {S_{1,\,{\text{max}}}}}$ $=G(f_{e})\;\exp \!\left[j\,\varphi (f_{e})\right]\,{\underline {E_{1,\,{\text{max}}}}}\simeq 0,87\;\exp \!\left(-1,19\,j\right)\;{\dfrac {4}{\pi }}\,{\dfrac {U_{m}}{2}}\simeq 1,75\,{\dfrac {U_{m}}{\pi }}\;\exp \!\left(-1,19\,j\right)\;$» soit une amplitude de l'harmonique fondamental de la réponse $\;S_{1,\,{\text{max}}}\simeq 0,56\;U_{m}\;$ et un déphasage de $\;-1,19\;rad\simeq -68\,{\text{°}}\;$ avec l'harmonique fondamental du signal d'entrée ;

     $\succ \;$l'harmonique de rang $\;3\;$ d'amplitude «$\;{\Big \vert }{\underline {E_{3,\,{\text{max}}}}}{\Big \vert }={\dfrac {4}{3\,\pi }}\;{\dfrac {U_{m}}{2}}\;$» du signal d'entrée $\;e(t)\;$ étant de fréquence «$\;3\,f_{e}=4,5\,kHz>f_{0}=$ $2,0\,kHz\;$» dans l'« intervalle quasi-non passant $\;\left[f_{0}=2,0\,kHz\,;\,+\infty \right[\;$» est bloqué en 1^ère approximation d'où «$\;S_{3,\,{\text{max}}}\simeq 0\;$» et,
     $\color {transparent}{\succ }\;$l'harmonique de rang $\;\color {transparent}{3}\;$ de façon plus approfondie tenant compte du gain réel du filtre et de sa phase à la fréquence «$\;3\,f_{e}=4,5\,kHz\;$» $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}G(3\,f_{e})\simeq 0,19\\\varphi (3\,f_{e})\simeq -142\;{\text{°}}=-2,48\;rad\end{array}}\right\rbrace \;$, l'amplitude complexe de la réponse de l'harmonique de rang $\;3\;$ s'exprime selon «$\;{\underline {S_{3,\,{\text{max}}}}}=$ $G(3\,f_{e})\;\exp \!\left[j\,\varphi (3\,f_{e})\right]\,{\underline {E_{3,\,{\text{max}}}}}\simeq 0,19\;\exp \!\left(-2,48\,j\right)\;{\dfrac {-4}{3\,\pi }}\,{\dfrac {U_{m}}{2}}\simeq -0,127\,{\dfrac {U_{m}}{\pi }}\;\exp \!\left(-2,48\,j\right)\;$» soit une amplitude de l'harmonique de rang $\;3\;$ de la réponse $\;S_{3,\,{\text{max}}}\simeq 0,04\;U_{m}\;$ et un déphasage de $\;\left(\pi -2,48\right)\,rad\simeq 0,66\;rad\simeq 38\,{\text{°}}\;$ avec l'harmonique de rang $\;3\;$ du signal d'entrée ;

     $\succ \;$l'harmonique de rang $\;5\;$ d'amplitude «$\;{\Big \vert }{\underline {E_{5,\,{\text{max}}}}}{\Big \vert }={\dfrac {4}{5\,\pi }}\;{\dfrac {U_{m}}{2}}\;$» du signal d'entrée $\;e(t)\;$ étant de fréquence «$\;5\,f_{e}=7,5\,kHz>f_{0}=$ $2,0\,kHz\;$» située dans l'« intervalle quasi-non passant $\;\left[f_{0}=2,0\,kHz\,;\,+\infty \right[\;$» est bloqué en 1^ère approximation d'où «$\;S_{5,\,{\text{max}}}\simeq 0\;$»,
     $\color {transparent}{\succ }\;$l'harmonique de rang $\;\color {transparent}{5}\;$ de façon plus approfondie tenant compte du gain réel du filtre et de sa phase à la fréquence «$\;5\,f_{e}=7,5\,kHz\;$» $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}G(5\,f_{e})\simeq 0,07\\\varphi (5\,f_{e})\simeq -158\;{\text{°}}=-2,76\;rad\end{array}}\right\rbrace \;$, l'amplitude complexe de la réponse de l'harmonique de rang $\;5\;$ s'exprime selon «$\;{\underline {S_{5,\,{\text{max}}}}}=G(5\,f_{e})\;\exp \!\left[j\,\varphi (5\,f_{e})\right]\,{\underline {E_{5,\,{\text{max}}}}}\simeq 0,07\;\exp \!\left(-2,76\,j\right)\;{\dfrac {4}{5\,\pi }}\,{\dfrac {U_{m}}{2}}\simeq 0,028\,{\dfrac {U_{m}}{\pi }}\;\exp \!\left(-2,76\,j\right)\;$» soit une amplitude de l'harmonique de rang $\;5\;$ de la réponse $\;S_{5,\,{\text{max}}}\simeq 0,009\;U_{m}\simeq 0\;$ et un déphasage de $\;-2,76\,rad\simeq -158\,{\text{°}}\;$ avec l'harmonique de rang $\;5\;$ du signal d'entrée ;

     $\succ \;$tous les harmoniques de rang $\;\geqslant 7\;$ du signal d'entrée sont bloqués par le filtre tout comme l'harmonique de rang $\;5$.

     Ci-dessus à droite l'oscillogramme du signal d'entrée en noir et celui du signal de sortie en magenta $\;{\big (}$figure aussi en bleu la superposition de la composante permanente et de l'harmonique fondamental du signal de sortie à l'exclusion de tout autre harmonique, on vérifie facilement que l'on peut considérer en 1^ère approximation que seules ces deux composantes sont essentielles${\big )}$.

 

Réponse du filtre à un signal d'entrée triangulaire symétrique pair à valeur moyenne nulle

     Représenter, sur un même diagramme temporel, le signal d'entrée triangulaire symétrique pair de valeurs de crête $\;\pm U_{m}\;$ et la réponse de ce filtre $\;{\big \{}$d'abord avec la notion d'« intervalle quasi-passant $\;\left[0\,;\,f_{0}\right]\;$» puis en affinant en tenant compte de la différence de gain${\big \}}$.

     On rappelle la réponse fréquentielle d'un signal triangulaire symétrique pair d'amplitude $\;E_{m}\;$ et de valeur moyenne nulle : «$\;\left\lbrace C_{0,\,E}=0\,;\,{\underline {C_{2\,p+1,\,{\text{max}}}}}={\dfrac {8\,E_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {-1}{(2\,p+1)^{2}}}\;p\in \mathbb {N} \right\rbrace \;$».

Solution

Superposition du signal d'entrée triangulaire symétrique pair à valeur moyenne nulle et de fréquence «$\;f_{e}=1,5\,kHz\;$» $\;{\big (}$en noir${\big )}\;$ envoyé à l'entrée du filtre passe-bas du 2^ème ordre de fréquence de coupure à $\;-3\,dB$, «$\;f_{0}=2,0\,kHz\;$» et de la réponse de ce filtre au signal d'entrée $\;{\big (}$en magenta pour le signal ne tenant compte que de l'harmonique fondamental${\big )}$

     $\succ \;$L'harmonique fondamental d'amplitude «$\;{\Big \vert }{\underline {E_{1,\,{\text{max}}}}}{\Big \vert }={\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\;$» du signal d'entrée $\;e(t)\;$ étant de fréquence «$\;f_{e}=1,5\,kHz<f_{0}=$ $2,0\,kHz\;$» située dans l'« intervalle quasi-passant $\;\left[0\,;\,f_{0}=2,0\,kHz\right]\;$» est transmis sans déformation et, en 1^ère approximation, sans atténuation d'où «$\;S_{1,\,{\text{max}}}$ $\simeq {\Big \vert }{\underline {E_{1,\,{\text{max}}}}}{\Big \vert }={\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\;$» $\;{\big \{}$en absence supposée de déphasage${\big \}}\;$ et,
     $\color {transparent}{\succ }\;$L'harmonique fondamental de façon plus approfondie tenant compte du gain réel du filtre et de sa phase à la fréquence «$\;f_{e}=1,5\,kHz\;$» $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}G(f_{e})\simeq 0,87\\\varphi (f_{e})\simeq -68\;{\text{°}}=-1,19\;rad\end{array}}\right\rbrace \;$, l'amplitude complexe de la réponse de l'harmonique fondamental s'exprime selon «$\;{\underline {S_{1,\,{\text{max}}}}}$ $=G(f_{e})\;\exp \!\left[j\,\varphi (f_{e})\right]\,{\underline {E_{1,\,{\text{max}}}}}\simeq 0,87\;\exp \!\left(-1,19\,j\right)\;{\dfrac {-8}{\pi ^{2}}}\,U_{m}\simeq -6,96\,{\dfrac {U_{m}}{\pi ^{2}}}\;\exp \!\left(-1,19\,j\right)\;$» soit une amplitude de l'harmonique fondamental de la réponse $\;S_{1,\,{\text{max}}}\simeq 0,705\;U_{m}\;$ et un déphasage de $\;\left(\pi -1,19\right)\,rad\simeq 112\,{\text{°}}\;$ avec l'harmonique fondamental du signal d'entrée d'entrée ;

     $\succ \;$l'harmonique de rang $\;3\;$ d'amplitude «$\;{\Big \vert }{\underline {E_{3,\,{\text{max}}}}}{\Big \vert }={\dfrac {8\,U_{m}}{9\,\pi ^{2}}}\;$» du signal d'entrée $\;e(t)\;$ étant de fréquence «$\;3\,f_{e}=4,5\,kHz>f_{0}=$ $2,0\,kHz\;$» située dans l'« intervalle quasi-non passant $\;\left[f_{0}=2,0\,kHz\,;\,+\infty \right[\;$» est bloqué en 1^ère approximation d'où «$\;S_{3,\,{\text{max}}}$ $\simeq 0\;$» et,
     $\color {transparent}{\succ }\;$l'harmonique de rang $\;\color {transparent}{3}\;$ de façon plus approfondie tenant compte du gain réel du filtre et de sa phase à la fréquence «$\;3\,f_{e}=4,5\,kHz\;$» $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}G(3\,f_{e})\simeq 0,19\\\varphi (3\,f_{e})\simeq -142\;{\text{°}}=-2,48\;rad\end{array}}\right\rbrace \;$, l'amplitude complexe de la réponse de l'harmonique de rang $\;3\;$ s'exprime selon «$\;{\underline {S_{3,\,{\text{max}}}}}=$ $G(3\,f_{e})\;\exp \!\left[j\,\varphi (3\,f_{e})\right]\,{\underline {E_{3,\,{\text{max}}}}}\simeq 0,19\;\exp \!\left(-2,48\,j\right)\;{\dfrac {-8}{9\,\pi ^{2}}}\,U_{m}\simeq -0,169\,{\dfrac {U_{m}}{\pi ^{2}}}\;\exp \!\left(-2,48\,j\right)\;$» soit une amplitude de l'harmonique de rang $\;3\;$ de la réponse $\;S_{3,\,{\text{max}}}\simeq 0,0017\;U_{m}\;$ et un déphasage de $\;\left(\pi -2,48\right)\,rad\simeq 0,66\;rad\simeq 38\,{\text{°}}\;$ avec l'harmonique de rang $\;3\;$ du signal d'entrée ;

     $\succ \;$tous les harmoniques de rang $\;\geqslant 5\;$ du signal d'entrée sont bloqués par le filtre tout comme l'harmonique de rang $\;3$.

     Ci-dessus à droite l'oscillogramme du signal d'entrée en noir et celui du signal de sortie en magenta $\;{\big (}$seul l'harmonique fondamental du signal de sortie suffit pour engendrer le signal de sortie${\big )}$.

 

Intérêt de l'ordre sur les filtres passe-bas

     Préciser l'avantage du filtre passe-bas du 2^ème ordre étudié dans cet exercice sur un filtre passe-bas du 1^er ordre de même fréquence de coupure à $\;-3\;dB$.

Solution

     Dans le « filtre passe-bas du 2^ème ordre étudié dans cet exercice, la pente de l'asymptote H.F. de la courbe de gain diagramme de Bode étant de $\;-40\,dB\,/\,{\text{décade}}\;$» alors que
       Dans le « filtre passe-bas du 2^ème ordre étudié dans cet exercice, « celle de l'asymptote H.F. de la courbe de gain diagramme de Bode d'un passe-bas du 1^er ordre est de $\;-20\,dB\,/\,{\text{décade}}\;$» c'est-à-dire que
     l'asymptote H.F. de la courbe de gain diagramme de Bode d'un passe-bas du 2^ème ordre étant deux fois plus pentue que celle de la courbe de gain diagramme de Bode d'un passe-bas du 1^er ordre,
     les harmoniques que l'on souhaite éliminer dans le signal de sortie sont d'amplitude $\;\searrow \;$ plus rapidement dans le cas d'un 2^ème ordre que dans celui d'un 1^er ordre, d'où l'utilisation d'un 2^ème ordre permet une meilleure performance dans l'élimination des harmoniques.

 

Réponse, à un échelon de tension, d'un circuit « non réel » (circuit dans lequel on impose la nullité des résistance des fils de connexion alors qu'il n'y a pas de résistances devant lesquelles celle des fils est négligeable) obtenue exclusivement par utilisation du r.s.f.

Schéma d'un circuit « non réel » auquel on impose un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ à partir de $\;t=0$, les condensateurs étant initialement déchargés

     On considère le circuit « non réel » ci-contre composé de deux D.P.L. montés en série,

• le D.L.P. $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ étant constitué d'un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ en $\;\parallel \;$ sur un condensateur parfait de capacité $\;C$, « la tension instantanée aux bornes de ce D.L.P. $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ étant notée $\;u_{1}(t)\;$» et
• le D.L.P. $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ constitué d'un conducteur ohmique de résistance $\;{\dfrac {R}{2}}\;$ en $\;\parallel \;$ sur un condensateur parfait de même capacité $\;C$, « la tension instantanée aux bornes de ce D.L.P. $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ étant notée $\;u_{2}(t)\;$» ;

     aux bornes de l'association série de ces deux D.P.L. on applique l'« ensemble constitué d'une source de tension parfaite de f.e.m. $\;E\;$ et d'un interrupteur $\;K\;$ montés en série, $\;K\;$ initialement ouvert étant fermé à $\;t=0\;$» c'est-à-dire qu'on impose, à partir de $\;t=0$, un « échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ noté $\;e(t)=E\;Y(t)\;$» $\;{\big \{}Y(t)\;$ étant l'échelon unité $\;{\big (}$ou fonction de Heaviside${\big )}\;$${\big \}}$.

     Remarque : le circuit ainsi construit est effectivement « non réel » car, dans la « maille reliant les deux condensateurs à l'association série source de tension parfaite de f.e.m. $\;E\;$ et interrupteur $\;K\;$» les seuls éléments résistifs, c'est-à-dire les fils de connexion, sont considérés de résistance nulle.

Détermination de la réponse en u₁(t) à l'échelon de tension E Y(t) du circuit « non réel » construit précédemment, réponse obtenue exclusivement par utilisation du r.s.f.

     On se propose de déterminer la réponse en $\;u_{1}(t)\;$ à l'échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ du circuit « non réel » présenté en introduction « en utilisant exclusivement le fonctionnement en r.s.f. » et pour cela

     on demande d'établir successivement, « après avoir remplacé l'échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ par une source de tension sinusoïdale $\;{\big (}$parfaite${\big )}\;$ de f.e.m. instantanée $\;e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \;t)\;$ à laquelle on associe la f.e.m. instantanée complexe $\;{\underline {e}}(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\exp(j\,\omega \,t)\;$ telle que $\;e(t)=\Im \left[{\underline {e}}(t)\right]\;$» $\Rightarrow$ le « remplacement de la tension instantanée $\;u_{1}(t)\;$ par la tension sinusoïdale forcée $\;u_{1}(t)=$ $U_{1}(\omega )\;{\sqrt {2}}\;\sin \!\left[\omega \;t+\varphi _{u_{1}}(\omega )\right]\;$ à laquelle on associe la tension instantanée complexe $\;{\underline {u_{1}}}(t)={\underline {U_{1}}}(j\,\omega )\;{\sqrt {2}}\;\exp(j\,\omega \,t)\;$ avec $\;{\underline {U_{1}}}(j\,\omega )$ $=U_{1}(\omega )\;\exp \!\left[j\,\varphi _{u_{1}}(\omega )\right]\;$ la tension efficace complexe » :

     on demande d'établir successivement, $\succ \;$l'amplification complexe en tension «$\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{1}}}(t)}{{\underline {e}}(t)}}={\dfrac {{\underline {U_{1}}}(j\,\omega )}{E}}\;$» puis, d'en déduire

     on demande d'établir successivement, $\succ \;$l'équation différentielle en $\;u_{1}(t)\;$ dans le cas où le circuit « non réel » est de nouveau soumis à l'échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$, suivi de

     on demande d'établir successivement, $\succ \;$la solution libre $\;u_{1,\,l}(t)\;$ de l'équation différentielle en $\;u_{1}(t)\;$ dans le cas où le circuit « non réel » est soumis à l'échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ $\;{\big \{}$on déterminera l'équation caractéristique de l'équation différentielle par propriétés de l'amplification complexe en tension «$\;{\underline {A}}(j\,\omega )\;$» avant de résoudre classiquement cette équation caractéristique puis d'en déduire la solution libre $\;u_{1,\,l}(t){\big \}}$, ensuite

     on demande d'établir successivement, $\succ \;$la réponse forcée $\;U_{1,\,f}\;$ du circuit « non réel » à l'échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ par propriétés de l'amplification complexe en tension «$\;{\underline {A}}(j\,\omega )\;$», après

     on demande d'établir successivement, $\succ \;$la valeur initiale $\;u_{1}(0^{+})\;$ de la réponse en $\;u_{1}(t)\;$ du circuit « non réel » à l'échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ par propriétés de l'amplification complexe en tension «$\;{\underline {A}}(j\,\omega )\;$», et enfin

     on demande d'établir successivement, $\succ \;$la réponse $\;u_{1}(t)\;$ à l'échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ du circuit « non réel » explicitée en fonction des données.

     En déduire l'« intensité $\;i(t)\;$ du courant délivré par l'échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ » du circuit « non réel » et commenter.

Solution

     Il convient tout d'abord de représenter le circuit « non réel » ci-dessus « en électricité complexe associée au r.s.f. » en remplaçant
          Il convient tout d'abord de représenter le circuit « non réel » « l'échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ par une source de tension $\;{\big (}$parfaite${\big )}\;$ de f.e.m. instantanée complexe $\;{\underline {e}}(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\exp(j\,\omega \,t)\;$ associée à la f.e.m. instantanée sinusoïdale $\;e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)=\Im \left[{\underline {e}}(t)\right]\;$»,
          Il convient tout d'abord de représenter le circuit « non réel » « chaque condensateur de capacité $\;C\;$ par un rectangle à côté duquel on indique leur impédance complexe commune $\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}\;$» ainsi que
          Il convient tout d'abord de représenter le circuit « non réel » « les tensions instantanées $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ par les tensions instantanées complexes $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {u_{1}}}(t)={\underline {U_{1}}}(j\,\omega )\;{\sqrt {2}}\;\exp(j\,\omega \,t)\\{\underline {u_{2}}}(t)={\underline {U_{2}}}(j\,\omega )\;{\sqrt {2}}\;\exp(j\,\omega \,t)\end{array}}\right\rbrace \;$ associées aux tensions instantanées sinusoïdales forcées $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}u_{1}(t)=U_{1}(\omega )\;{\sqrt {2}}\;\sin \!\left[\omega \;t+\varphi _{u_{1}}(\omega )\right]=\Im \left[{\underline {u_{1}}}(t)\right]\\u_{2}(t)=U_{2}(\omega )\;{\sqrt {2}}\;\sin \!\left[\omega \;t+\varphi _{u_{2}}(\omega )\right]=\Im \left[{\underline {u_{2}}}(t)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {U_{1}}}(j\,\omega )=U_{1}(\omega )\;\exp \!\left[j\,\varphi _{u_{1}}(\omega )\right]\\{\underline {U_{2}}}(j\,\omega )=U_{2}(\omega )\;\exp \!\left[j\,\varphi _{u_{2}}(\omega )\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ les tensions efficaces complexes correspondantes ».

• Détermination de l'amplification complexe en tension «$\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{1}}}(t)}{{\underline {e}}(t)}}={\dfrac {{\underline {U_{1}}}(j\,\omega )}{E}}\;$» : on reconnaît un P.D.T. en électricité complexe associée au r.s.f. « alimenté en entrée par la f.e.m. instantanée complexe $\;{\underline {e}}(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\exp(j\,\omega \,t)\;$» et « en sortie ouverte aux bornes du D.P.L. $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {R\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )}{R+{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )}}\;$ ou $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {R\;{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}{R+{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}={\dfrac {R}{1+j\,R\,C\,\omega }}\;$» avec pour D.P.L. d'attaque, le D.P.L. $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\dfrac {R}{2}}\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )}{{\dfrac {R}{2}}+{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )}}\;$ ou $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\dfrac {R}{2}}\;{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}{{\dfrac {R}{2}}+{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}={\dfrac {R}{2+j\,R\,C\,\omega }}\;$» d'où la tension instantanée complexe en sortie ouverte $\;{\underline {u_{1}}}(t)\;$ du P.D.T. alimenté en entrée par $\;{\underline {e}}(t)\;$ «$\;{\underline {u_{1}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {e}}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{1}}}(t)}{{\underline {e}}(t)}}={\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}={\dfrac {\dfrac {R}{1+j\,R\,C\,\omega }}{{\dfrac {R}{1+j\,R\,C\,\omega }}+{\dfrac {R}{2+j\,R\,C\,\omega }}}}={\dfrac {1}{1+{\dfrac {1+j\,R\,C\,\omega }{2+j\,R\,C\,\omega }}}}={\dfrac {2+j\,R\,C\,\omega }{3+2\,j\,R\,C\,\omega }}\;$».
• Équation différentielle en$\;u_{1}(t)\;$dans le cas du circuit « non réel » soumis à l'échelon de tension$\;e(t)=E\;Y(t)\;$ : à partir de «$\;{\underline {A}}(j\omega )={\dfrac {{\underline {u_{1}}}(t)}{{\underline {e}}(t)}}={\dfrac {2+j\,R\,C\,\omega }{3+2\,j\,R\,C\,\omega }}\;$» on obtient, en égalant le produit des extrêmes et des moyens, «$\;\left(3+2\,j\,R\,C\,\omega \right)\,{\underline {u_{1}}}(t)=\left(2+j\,R\,C\,\omega \right)\,{\underline {e}}(t)\;$» ou, en sachant que «$\;j\,\omega \,{\underline {y}}(t)={\dfrac {d{\underline {y}}}{dt}}(t)\;$», «$\;3\;{\underline {u_{1}}}(t)+2\,R\,C\;{\dfrac {d{\underline {u_{1}}}}{dt}}(t)=2\,{\underline {e}}(t)+R\,C\;{\dfrac {d{\underline {e}}}{dt}}(t)\;$» ou, en normalisant «$\;{\dfrac {d{\underline {u_{1}}}}{dt}}(t)+{\dfrac {3}{2\,R\,C}}\;{\underline {u_{1}}}(t)$ $={\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {d{\underline {e}}}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\,C}}\;{\underline {e}}(t)\;$», de partie imaginaire égale à «$\;{\dfrac {du_{1}}{dt}}(t)+{\dfrac {3}{2\,R\,C}}\;u_{1}(t)={\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {de}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\,C}}\;e(t)\;$», soit finalement, avec «$\;e(t)=E\;Y(t)\;$», l'« équation différentielle en $\;u_{1}(t)\;$ du circuit “ non réel ” soumis à l'échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ » : «$\;{\dfrac {du_{1}}{dt}}(t)+{\dfrac {3}{2\,R\,C}}\;u_{1}(t)={\dfrac {1}{2}}\;E\;\delta (t)+{\dfrac {1}{R\,C}}\;E\;Y(t),\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$».
• Solution libre de l'équation différentielle en$\;u_{1}(t)\;$dans le cas du circuit « non réel » : la détermination de la solution libre «$\;u_{1,\,l}(t)\;$» de l'équation différentielle à cœfficients réels constants du 1^er ordre $\;{\big (}$rendue homogène${\big )}\;$ «$\;{\dfrac {du_{1,\,l}}{dt}}(t)+{\dfrac {3}{2\,R\,C}}\;u_{1,_{,}l}(t)=0\;$» nécessitant de « résoudre l'équation caractéristique associée » et pour cela, de commencer par déterminer cette dernière en remarquant
  Solution libre l'équivalence de la méthode de son obtention $\;{\big \{}$laquelle consiste à chercher une solution de la forme $\;\exp(s\,t){\big \}}\;$ et de celle de la détermination de la réponse instantanée complexe associée au r.s.f. du circuit « non réel » soumis à une f.e.m. instantanée complexe $\;{\underline {e}}(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\exp(j\,\omega \,t)$ $\;{\bigg \{}\!$consistant à chercher une solution $\;{\underline {u_{1}}}(t)={\underline {U_{1}}}(j\,\omega )\;{\sqrt {2}}\;\exp(j\,\omega \,\,t)\;$ dont nous déduisons «$\;{\underline {D}}(j\,\omega )\;{\underline {u_{1}}}(t)=$ ${\underline {N}}(j\,\omega )\;{\underline {e}}(t)\;$» $\;{\big [}{\underline {D}}(j\,\omega )\;$ et $\;{\underline {N}}(j\,\omega )\;$ étant des polynômes en $\;j\,\omega {\big ]}\;$ $\Rightarrow$ l'amplification complexe en tension $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{1}}}(t)}{{\underline {e}}(t)}}={\dfrac {{\underline {U_{1}}}(j\,\omega )}{E}}={\dfrac {{\underline {N}}(j\,\omega )}{{\underline {D}}(j\,\omega )}}\!{\bigg \}}$,
  Solution libre le 1^er membre de l'équation caractéristique étant identique au dénominateur $\;{\underline {D}}(j\,\omega )\;$ de la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f. à condition de « substituer $\;s\;$ par $\;j\,\omega \;$» d'où l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre hétérogène $\;\left({\mathfrak {a}}\right)$ :
  $\;{\underset {j\,\omega \,{\text{par}}\,s}{\mathrm {subs} }}\left[{\underline {D}}(j\,\omega )\right]=0\;$ ou $\;{\underset {j\,\omega \,{\text{par}}\,s}{\mathrm {subs} }}\left[3+2\,j\,R\,C\,\omega \right]=0\;$ ou «$\;3+2\,R\,C\,s=0\;$» soit,
  après normalisation de l'équation caractéristique «$\;s+{\dfrac {3}{2\,R\,C}}=0\;$» ; Solution libre de la solution de l'équation caractéristique «$\;s=-{\dfrac {3}{2\,R\,C}}\;$» on en déduit la solution libre «$\;u_{1,\,l}(t)=\alpha \;\exp \!\left(-{\dfrac {3}{2\,R\,C}}\;t\right)\;$» avec $\;\alpha \,\in \,\mathbb {R} \;$ ou,
  Solution libre de la solution de l'équation caractéristique «$\;\color {transparent}{s=-{\dfrac {3}{2\,R\,C}}}\;$» on en déduit la solution libre «$\;u_{1,\,l}(t)=\alpha \;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$» en posant «$\;\tau ={\dfrac {2}{3}}\;R\,C\;$» avec $\;\alpha \,\in \,\mathbb {R}$.
• Réponse forcée$\;U_{1,\,f}\;$du circuit « non réel » à l'échelon de tension$\;e(t)=E\;Y(t)\;$ : la solution forcée $\;U_{1,\,f}\;$ de l'équation différentielle à cœfficients réels constants du 1^er ordre hétérogène à excitation constante «$\;{\dfrac {du_{1}}{dt}}(t)+{\dfrac {3}{2\,R\,C}}\;u_{1}(t)={\dfrac {1}{R\,C}}\;E\;$ pour $\;t>0\;$» peut être déterminée en utilisant les propriétés de la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f. du circuit « non réel » «$\;{\underline {A}}(j\omega )=$ ${\dfrac {{\underline {u_{1}}}(t)}{{\underline {e}}(t)}}$ $={\dfrac {2+j\,R\,C\,\omega }{3+2\,j\,R\,C\,\omega }}\;$» suivant «$\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,\infty }u_{1}(t)=U_{1,\,f}=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,0}\left[{\underline {A}}(j\omega )\right]\,E=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,0}\left[{\dfrac {2+j\,R\,C\,\omega }{3+2\,j\,R\,C\,\omega }}\right]\,E\;$» soit «$\;U_{1,\,f}={\dfrac {2}{3}}\;E\;$».
• Valeur initiale$\;u_{1}(0^{+})\;$de la réponse en$\;u_{1}(t)\;$du circuit « non réel » à l'échelon de tension$\;e(t)=E\;Y(t)\;$ : le circuit étant « non réel », la continuité de la tension aux bornes des condensateurs lors de la discontinuité de l'échelon de tension en $\;t=0\;$ est inapplicable $\;{\bigg \{}\!$en effet l'équation différentielle à cœfficients réels constants du 1^er ordre en $\;u_{1}(t)\;$ hétérogène, écrite pour tout $\;t$, «$\;{\dfrac {du_{1}}{dt}}(t)+{\dfrac {3}{2\,R\,C}}\;u_{1}(t)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;E\;\delta (t)+{\dfrac {1}{R\,C}}\;E\;Y(t),\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» étant d'excitation discontinue de 2^ème espèce, on induit que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur la dérivée de plus haut ordre et qu'à chaque prise de primitive ce numéro diminue de un $\;{\big (}$tant que le numéro $\;0\;$ n'est pas atteint${\big )}\;$ ou stagne à la valeur $\;0\;$ ${\big (}$si le numéro $\;0\;$ est atteint${\big )}\;$ c'est-à-dire que $\;{\dfrac {du_{1}}{dt}}(t)\;$ est discontinue de 2^ème espèce et $\;u_{1}(t)\;$ est discontinue de 1^ère espèce${\bigg \}}$, dans la mesure où les condensateurs sont initialement déchargés c'est-à-dire, entre autres, «$\;u_{1}(0^{-})=0\;$», nous pouvons affirmer «$\;u_{1}(0^{+})\neq 0\;$» de valeur restant à déterminer et pouvant l'être par utilisation des propriétés de la fonction de transfert en complexe associé au r.s.f. du circuit « non réel » «$\;{\underline {A}}(j\omega )={\dfrac {{\underline {u_{1}}}(t)}{{\underline {e}}(t)}}={\dfrac {2+j\,R\,C\,\omega }{3+2\,j\,R\,C\,\omega }}\;$» suivant «$\;u_{1}(0^{+})=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\left[{\underline {A}}(j\omega )\right]\,E=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,\infty }\left[{\dfrac {2+j\,R\,C\,\omega }{3+2\,j\,R\,C\,\omega }}\right]\,E={\dfrac {1}{2}}\;E\;$».
• Réponse$\;u_{1}(t)\;$du circuit « non réel » à l'échelon de tension$\;e(t)=E\;Y(t)\;$ : la solution $\;u_{1}(t)\;$ de l'équation différentielle à cœfficients réels constants du 1^er ordre hétérogène «$\;{\dfrac {du_{1}}{dt}}(t)+{\dfrac {3}{2\,R\,C}}\;u_{1}(t)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;E\;\delta (t)+{\dfrac {1}{R\,C}}\;E\;$» étant la somme de la solution forcée «$\;U_{1,\,f}={\dfrac {2}{3}}\;E\;$» et de la solution libre «$\;u_{1,\,l}(t)=\alpha \;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$» avec «$\;\tau ={\dfrac {2}{3}}\;R\,C\;$» et «$\;\alpha \,\in \,\mathbb {R}$, constante d'intégration à déterminer à l'aide de la C.I. $\;u_{1}(0^{+})={\dfrac {1}{2}}\;E\;$» soit «$\;u_{1}(t)=U_{1,\,f}+u_{1,\,l}(t)={\dfrac {2}{3}}\;E+\alpha \;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$» dans laquelle la C.I. $\;u_{1}(0^{+})={\dfrac {1}{2}}\;E\;$ s'écrit $\;{\dfrac {2}{3}}\;E+\alpha ={\dfrac {1}{2}}\;E\;$ $\Rightarrow$ $\;\alpha ={\dfrac {1}{2}}\;E-{\dfrac {2}{3}}\;E=-{\dfrac {1}{6}}\;E\;$» d'où la réponse $\;u_{1}(t)\;$ du circuit « non réel » à l'échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ pour $\;t>0$, «$\;u_{1}(t)={\dfrac {2}{3}}\;E-{\dfrac {1}{6}}\;E\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)=E\,\left[{\dfrac {2}{3}}-{\dfrac {1}{6}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\;$ ${\big (}$discontinue de 1^ère espèce${\big )}\;$»
  avec «$\;\tau ={\dfrac {2}{3}}\;R\,C\;$ constante de temps d'établissement du régime forcé ».

     L'« intensité $\;i(t)\;$ du courant délivré par l'échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ » du circuit « non réel » étant, selon la loi des nœuds, la somme de l'« intensité du courant traversant le conducteur ohmique du D.P.L. $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ c'est-à-dire $\;i_{R,\,(1)}(t)={\dfrac {u_{1}(t)}{R}}\;$ ${\big (}$discontinue de 1^ère espèce${\big )}\;$» et de l'« intensité du courant chargeant le condensateur du même D.P.L. $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ c'est-à-dire $\;i_{C,\,(1)}(t)=C\;{\dfrac {du_{1}}{dt}}(t)\;$ ${\big (}$discontinue de 2^ème espèce${\big )}\;$», nous en déduisons la « discontinuité de 2^ème espèce de$\;i(t)\;$» $\Rightarrow$ l'« intensité $\;i(t)\;$ du courant délivré par l'échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ » du circuit « non réel » prenant une valeur infinie à l'instant de fermeture de l'interrupteur $\;K\;$ entraîne vraisemblablement le claquage de l'interrupteur, la destruction des fils de connexion, celle de la source de tension et de l'isolant des condensateurs $\;\ldots$
     Si toutefois aucune destruction ne se manifestait $\;{\big (}$ce qui est peu réaliste${\big )}\;$ nous obtiendrions $\;i(t)=i_{R,\,(1)}(t)+i_{C,\,(1)}(t)={\dfrac {u_{1}(t)}{R}}+C\;{\dfrac {du_{1}}{dt}}(t)={\dfrac {E}{R}}\,\left[{\dfrac {2}{3}}-{\dfrac {1}{6}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]+C\;E\,\left[-{\dfrac {1}{6}}\;{\dfrac {-1}{\tau }}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]$ $={\dfrac {2\;E}{3\;R}}+\left[-{\dfrac {E}{6\;R}}+{\dfrac {C\;E}{6}}\;{\dfrac {3}{2\;R\,C}}\right]\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$ soit finalement «$\;i(t)={\dfrac {2\;E}{3\;R}}+{\dfrac {E}{12\;R}}\,\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)={\dfrac {2\;E}{3\;R}}\,\left[1+{\dfrac {1}{8}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\;$ pour $\;t>0\;$»
avec «$\;\tau ={\dfrac {2}{3}}\;R\,C\;$ constante de temps d'établissement du régime forcé ».

 

Détermination de la réponse en u₁(t) à l'échelon de tension E Y(t) du circuit « non réel » construit précédemment, réponse obtenue par utilisation des lois de Kirchhoff et les propriétés des régimes transitoires en A.R.Q.S.

     On se propose de retrouver la réponse en $\;u_{1}(t)\;$ à l'échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ du circuit « non réel » présenté en introduction « en utilisant les lois de Kirchhoff et les propriétés des régimes transitoires en A.R.Q.S. » et pour cela

     on demande d'établir directement : $\succ \;$l'équation différentielle en $\;u_{1}(t)\;$ du circuit « non réel » soumis à l'échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ par utilisation des lois de Kirchhoff, suivi de

     on demande d'établir directement : $\succ \;$la solution libre $\;u_{1,\,l}(t)\;$ de l'équation différentielle en $\;u_{1}(t)\;$ du circuit « non réel » soumis à l'échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ $\;{\big \{}$on déterminera directement l'équation caractéristique de l'équation différentielle avant de résoudre classiquement cette équation caractéristique puis d'en déduire la solution libre $\;u_{1,\,l}(t){\big \}}$, ensuite

     on demande d'établir directement : $\succ \;$la réponse forcée $\;U_{1,\,f}\;$ du circuit « non réel » à l'échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ $\;{\big \{}$on déterminera directement la solution forcée de l'équation différentielle hétérogène${\big \}}$, après

     on demande d'établir directement, $\succ \;$la valeur initiale $\;u_{1}(0^{+})\;$ de la réponse en $\;u_{1}(t)\;$ du circuit « non réel » à l'échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ par étude directe du circuit à $\;0^{+}$, et enfin

     on demande d'établir directement, $\succ \;$la réponse $\;u_{1}(t)\;$ à l'échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ du circuit « non réel » explicitée en fonction des données $\;{\big (}$vérifier qu'on obtient le même résultat qu'à la question précédente${\big )}$.

Solution

Schéma d'un circuit « non réel » auquel on impose un échelon de tension d'amplitude $\;E\;$ à partir de $\;t=0$, les condensateurs étant initialement déchargés

• Détermination de l'équation différentielle en$\;u_{1}(t)\;$du circuit « non réel » soumis à l'échelon de tension$\;e(t)=E\;Y(t)\;$ par utilisation des lois de Kirchhoff :
       $\succ \;$loi de nœud bornant le D.P.L. $\;\left({\mathfrak {1}}\right)$ : «$\;i(t)=i_{R,\,1}(t)+i_{C,\,1}(t)\;$» dans laquelle «$\;i_{R,\,1}(t)={\dfrac {u_{1}(t)}{R}}\;$» et «$\;i_{C,\,1}(t)$ $=C\;{\dfrac {du_{1}(t)}{dt}}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;i(t)={\dfrac {u_{1}(t)}{R}}+C\;{\dfrac {du_{1}(t)}{dt}}(t)\;:\;\left({\mathfrak {n}}_{1}\right)\;$»,
       $\succ \;$loi de nœud bornant le D.P.L. $\;\left({\mathfrak {2}}\right)$ : «$\;i(t)=i_{R,\,2}(t)+i_{C,\,2}(t)\;$» avec «$\;i_{R,\,2}(t)={\dfrac {u_{2}(t)}{\dfrac {R}{2}}}=$ ${\dfrac {2\;u_{2}(t)}{R}}\;$» et «$\;i_{C,\,2}(t)$ $=C\;{\dfrac {du_{2}(t)}{dt}}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;i(t)={\dfrac {2\;u_{2}(t)}{R}}+C\;{\dfrac {du_{2}(t)}{dt}}(t)\;:\;\left({\mathfrak {n}}_{2}\right)\;$»,
       $\succ \;$loi de maille principale : $\;u_{2}(t)+u_{1}(t)-e(t)\;$ ou «$\;u_{2}(t)+u_{1}(t)=e(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;u_{2}(t)=e(t)-u_{1}(t)\;:\;\left({\mathfrak {m}}\right)\;$»,
       $\succ \;$report de $\;\left({\mathfrak {m}}\right)\;$ dans $\;\left({\mathfrak {n}}_{2}\right)$ : «$\;i(t)={\dfrac {2\,\left[e(t)-u_{1}(t)\right]}{R}}+C\;{\dfrac {d\left[e(t)-u_{1}(t)\right]}{dt}}(t)\;$» ou, en regroupant les termes dépendant de $\;e(t)\;$ et ceux dépendant de $\;u_{1}(t)$, «$\;i(t)=\left[2\;{\dfrac {e(t)}{R}}+C\;{\dfrac {de}{dt}}(t)\right]-\left[2\;{\dfrac {u_{1}(t)}{R}}+C\;{\dfrac {du_{1}}{dt}}(t)\right]\;:\;\left({\mathfrak {n'}}_{\!2}\right)\;$»,
       $\succ \;$élimination de l'intensité $\;i(t)\;$ entre les lois de nœuds explicitées en fonction de $\;u_{1}(t)\;$ c'est-à-dire $\;\left({\mathfrak {n'}}_{\!2}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {n}}_{1}\right)$ : «$\;\left[2\;{\dfrac {e(t)}{R}}+C\;{\dfrac {de}{dt}}(t)\right]-\left[2\;{\dfrac {u_{1}(t)}{R}}+C\;{\dfrac {du_{1}}{dt}}(t)\right]$ $={\dfrac {u_{1}(t)}{R}}+C\;{\dfrac {du_{1}(t)}{dt}}(t)\;$» ou, en regroupant les termes dépendant de $\;e(t)\;$ et ceux dépendant de $\;u_{1}(t)$, «$\;2\;{\dfrac {e(t)}{R}}+C\;{\dfrac {de}{dt}}(t)=3\;{\dfrac {u_{1}(t)}{R}}+2\;C\;{\dfrac {du_{1}(t)}{dt}}(t)\;$» soit enfin, en ordonnant et normalisant «$\;{\dfrac {du_{1}}{dt}}(t)+{\dfrac {3}{2\,R\,C}}\;u_{1}(t)={\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {de}{dt}}(t)+{\dfrac {1}{R\,C}}\;e(t)\;$» ou, avec «$\;e(t)=E\;Y(t)\;$»,
  «$\;{\dfrac {du_{1}}{dt}}(t)+{\dfrac {3}{2\,R\,C}}\;u_{1}(t)={\dfrac {1}{2}}\;E\;\delta (t)+{\dfrac {1}{R\,C}}\;E\;Y(t),\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$».                                      
• Solution libre de l'équation différentielle en$\;u_{1}(t)\;$dans le cas du circuit « non réel » : la détermination de la solution libre «$\;u_{1,\,l}(t)\;$» de l'équation différentielle à cœfficients réels constants du 1^er ordre $\;{\big (}$rendue homogène${\big )}\;$ «$\;{\dfrac {du_{1,\,l}}{dt}}(t)+{\dfrac {3}{2\,R\,C}}\;u_{1,_{,}l}(t)=0\;$» nécessite de « résoudre l'équation caractéristique associée $\;s+{\dfrac {3}{2\,R\,C}}=0\;$» de solution «$\;s=-{\dfrac {3}{2\,R\,C}}\;$»
  Solution libre de cette dernière on en déduit la solution libre «$\;u_{1,\,l}(t)=\alpha \;\exp \!\left(-{\dfrac {3}{2\,R\,C}}\;t\right)\;$» avec $\;\alpha \,\in \,\mathbb {R} \;$ constante d'intégration ou
  Solution libre de cette dernière on en déduit la solution libre «$\;u_{1,\,l}(t)=\alpha \;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$» avec $\;\alpha \,\in \,\mathbb {R} \;$ et «$\;\tau ={\dfrac {2}{3}}\;R\,C\;$ constante de temps d'amortissement du régime libre ».
• Réponse forcée$\;U_{1,\,f}\;$du circuit « non réel » à l'échelon de tension$\;e(t)=E\;Y(t)\;$ : la solution forcée $\;U_{1,\,f}\;$ de l'équation différentielle à cœfficients réels constants du 1^er ordre hétérogène à excitation constante «$\;{\dfrac {du_{1}}{dt}}(t)+{\dfrac {3}{2\,R\,C}}\;u_{1}(t)={\dfrac {1}{R\,C}}\;E\;$ pour $\;t>0\;$» est cherchée sous forme constante $\;{\big (}$même forme que l'excitation${\big )}\;$ d'où «$\;{\cancel {{\dfrac {dU_{1,\,f}}{dt}}(t)\;+}}\;{\dfrac {3}{2\,R\,C}}\;U_{1,\,f}={\dfrac {1}{R\,C}}\;E\;$» $\Rightarrow$ «$\;U_{1,\,f}={\dfrac {2}{3}}\;E\;$».
• Valeur initiale$\;u_{1}(0^{+})\;$de la réponse en$\;u_{1}(t)\;$du circuit « non réel » à l'échelon de tension$\;e(t)=E\;Y(t)\;$ : le circuit étant « non réel », la continuité de la tension aux bornes des condensateurs lors de la discontinuité de l'échelon de tension en $\;t=0\;$ est inapplicable $\;{\bigg \{}\!$en effet l'équation différentielle à cœfficients réels constants du 1^er ordre en $\;u_{1}(t)\;$ hétérogène, écrite pour tout $\;t$, «$\;{\dfrac {du_{1}}{dt}}(t)+{\dfrac {3}{2\,R\,C}}\;u_{1}(t)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;E\;\delta (t)+{\dfrac {1}{R\,C}}\;E\;Y(t),\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» étant d'excitation discontinue de 2^ème espèce, on induit que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur la dérivée de plus haut ordre et qu'à chaque prise de primitive ce numéro $\;\searrow \;$ de un $\;{\big (}$tant que le numéro $\;0\;$ n'est pas atteint${\big )}\;$ ou stagne à la valeur $\;0\;$ ${\big (}$si le numéro $\;0\;$ est atteint${\big )}\;$ c'est-à-dire que $\;{\dfrac {du_{1}}{dt}}(t)\;$ est discontinue de 2^ème espèce et $\;u_{1}(t)\;$ est discontinue de 1^ère espèce${\bigg \}}$, dans la mesure où les condensateurs sont initialement déchargés c'est-à-dire, entre autres, «$\;u_{1}(0^{-})=0\;$ et $\;u_{2}(0^{-})=0\;$», nous pouvons affirmer «$\;u_{1}(0^{+})\neq 0\;$» et, pour une raison tout à fait similaire «$\;u_{2}(0^{+})\neq 0\;$», ces deux valeurs initiales restant à déterminer ;
  Valeur initiale$\;\color {transparent}{u_{1}(0^{+})}\;$après une phase « pré-initiale » $\;{\big (}$quasi-instantanée${\big )}\;$ de charge des condensateurs à courant d'intensité infinie pendant laquelle les résistances aux bornes des condensateurs ne jouent aucun rôle $\;{\big \{}$en effet, pour cette phase « pré-initiale » de durée de charge des condensateurs infiniment petite, il n’y a aucune résistance au passage du courant dans les fils de connexion en série avec les condensateurs et dans ceux reliant l'échelon de tension aux deux D.P.L. $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {2}}\right)$, alors qu’il y en a à travers les conducteurs ohmiques de ces deux D.P.L. $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ $\Rightarrow$ pas de courant « pré-initial » dans ces derniers qui peuvent donc être supprimés dans cette phase « pré-initiale »${\big \}}$ ;
  Valeur initiale$\;\color {transparent}{u_{1}(0^{+})}\;$pour déterminer les tensions « initiales » aux bornes des condensateurs c'est-à-dire «$\;u_{1}(0^{+})\;$» et «$\;u_{2}(0^{+})\;$», cet « instant initial $\;0^{+}\;$» s'identifiant à l'instant de fin de la phase « pré-initiale » de charge des condensateurs à courant d'intensité infinie, phase dans laquelle les conducteurs ohmiques ne jouant aucun rôle sont supprimés, nous constatons que le circuit à $\;0^{+}\;$ se réduit, en absence des conducteurs ohmiques, aux « deux condensateurs de même capacité $\;C\;$ soumis à la source de tension parfaite de f.e.m. $\;E\;$» et les condensateurs étant identiques et initialement déchargés nous en déduisons «$\;u_{1}(0^{+})=u_{2}(0^{+})={\dfrac {E}{2}}\;$».
• Réponse$\;u_{1}(t)\;$du circuit « non réel » à l'échelon de tension$\;e(t)=E\;Y(t)\;$ : la solution $\;u_{1}(t)\;$ de l'équation différentielle à cœfficients réels constants du 1^er ordre hétérogène «$\;{\dfrac {du_{1}}{dt}}(t)+{\dfrac {3}{2\,R\,C}}\;u_{1}(t)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;E\;\delta (t)+{\dfrac {1}{R\,C}}\;E\;$» étant la somme de la solution forcée «$\;U_{1,\,f}={\dfrac {2}{3}}\;E\;$» et de la solution libre «$\;u_{1,\,l}(t)=\alpha \;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$» avec «$\;\tau ={\dfrac {2}{3}}\;R\,C\;$» et «$\;\alpha \,\in \,\mathbb {R}$, constante d'intégration à déterminer à l'aide de la C.I. $\;u_{1}(0^{+})={\dfrac {1}{2}}\;E\;$» soit «$\;u_{1}(t)=U_{1,\,f}+u_{1,\,l}(t)={\dfrac {2}{3}}\;E+\alpha \;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$» dans laquelle la C.I. $\;u_{1}(0^{+})={\dfrac {1}{2}}\;E\;$ s'écrit $\;{\dfrac {2}{3}}\;E+\alpha ={\dfrac {1}{2}}\;E\;$ $\Rightarrow$ $\;\alpha ={\dfrac {1}{2}}\;E-{\dfrac {2}{3}}\;E=-{\dfrac {1}{6}}\;E\;$» d'où la réponse $\;u_{1}(t)\;$ du circuit « non réel » à l'échelon de tension $\;e(t)=E\;Y(t)\;$ pour $\;t>0$, «$\;u_{1}(t)={\dfrac {2}{3}}\;E-{\dfrac {1}{6}}\;E\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)=E\,\left[{\dfrac {2}{3}}-{\dfrac {1}{6}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right]\;$ ${\big (}$discontinue de 1^ère espèce${\big )}\;$»
  avec «$\;\tau ={\dfrac {2}{3}}\;R\,C\;$ constante de temps d'établissement du régime forcé » C.Q.F.V..