Signaux physiques - bis (PCSI)/Exercices/Oscillateurs amortis : oscillateur électrique ou mécanique soumis à une excitation sinusoïdale, résonance

**Oscillateurs amortis : oscillateur électrique ou mécanique soumis à une excitation sinusoïdale, résonance**
Leçon : Signaux physiques - bis (PCSI)

Exercices n^o4
Chapitre du cours :	Oscillateurs amortis : oscillateur électrique ou mécanique soumis à une excitation sinusoïdale, résonance
Exercices de niveau 14.
Exo préc. :	Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes
Exo suiv. :	Filtrage linéaire : signaux périodiques

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Oscillateurs amortis : oscillateur électrique ou mécanique soumis à une excitation sinusoïdale, résonance
Signaux physiques - bis (PCSI)/Exercices/Oscillateurs amortis : oscillateur électrique ou mécanique soumis à une excitation sinusoïdale, résonance », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Réponse en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable, lien avec la réponse en tension aux bornes du condensateur modifier

Schéma d'un montage pour réponse en tension aux bornes de la bobine

\;{\big (}

parfaite

{\big )}\;

d'un

\;R\,L\,C\;

série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable

On considère un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à la tension de sortie d'un « montage suiveur » alimenté en entrée par une tension sinusoïdale délivrée par un générateur B.F^[1]. dont on règle la f.e.m. efficace à une valeur constante $\;U_{g}\;$ ^[2] et dont on peut faire varier la fréquence $\;f={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}$ , la phase dépendant du choix de l'origine des temps et étant notée $\;\varphi _{u_{g}}\;$ ^[3] ;

     on se propose de déterminer, en régime sinusoïdal forcé, la tension aux bornes de la bobine en supposant que l'on puisse négliger sa composante résistive ^[4], ce qui a pour conséquence que cette tension peut être notée « $\;u_{L}(t)=$ $U_{L}(\omega )\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left[\omega \;t+\varphi _{L}(\omega )\right]\;$ », puis
     on se propose d'étudier la variation de sa valeur efficace $\;{\big (}$ ainsi que de sa phase initiale ${\big )}\;$ en fonction de la fréquence,
     on se propose de déterminer une résonance éventuelle ainsi que
     on se propose de déterminer la valeur de la fréquence de résonance quand celle-ci est possible et enfin
     on se propose de déterminer la nature du filtre.

Dans un 2^nd temps on se propose de déterminer le lien entre la tension aux bornes de la bobine $\;u_{L}(t)\;$ et la tension aux bornes du condensateur $\;u_{C}(t)\;$ ^[5] pour déduire, des propriétés de cette dernière étudiées en cours, celles de la tension aux bornes de la bobine $\;{\big (}$ parfaite ${\big )}\;$ établies dans un 1^er temps directement.

Réponse efficace complexe en tension aux bornes de la bobine parfaite d'un R L C série soumis à une tension efficace complexe de module constant, la fréquence f = ω/(2π) du régime étant variable modifier

Déterminer la réponse instantanée complexe $\;{\underline {u_{L}}}(t)\;$ en « tension aux bornes de la bobine parfaite » du $\;R\,L\,C\;$ série ci-dessus, en fonction de ses grandeurs caractéristiques, de la pulsation $\;\omega \;$ imposée par le générateur et de la tension instantanée complexe $\;{\underline {u_{g}}}(t)\;$ de la sortie du montage suiveur^[2] ;

en déduire la réponse efficace complexe $\;{\underline {U_{L}}}(j\,\omega )\;$ en « tension aux bornes de la bobine parfaite » en fonction des grandeurs caractéristiques du $\;R\,L\,C\;$ série, de la pulsation $\;\omega \;$ et de la tension efficace complexe $\;{\underline {U_{g}}}\;$ de la sortie du montage suiveur^[2].

Solution

Bien sûr il convient de refaire un schéma en complexe.

     Soit « $\;u_{g}(t)=U_{g}\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left(\omega \,t+\varphi _{u_{g}}\right)\;$ la tension instantanée imposée au $\;R\,L\,C\;$ série » et
     soit « $\;u_{L}(t)=U_{L}(\omega )\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{L}(\omega )\right]\;$ la tension instantanée aux bornes de la bobine parfaite »,
     on leur associe les grandeurs instantanées complexes « $\;{\underline {u_{g}}}(t)={\underline {U_{g}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\;\omega \,t\right)\;$ » avec « $\;{\underline {U_{g}}}=U_{g}\;\exp \!\left(j\;\varphi _{u_{g}}\right)\;$ la valeur efficace complexe correspondante » et
     on leur associe les grandeurs instantanées complexes « $\;{\underline {u_{L}}}(t)={\underline {U_{L}}}\;{\sqrt {2}}\;\exp \!\left(j\;\omega \,t\right)\;$ » avec « $\;{\underline {U_{L}}}(j\,\omega )=U_{L}(\omega )\;\exp \!\left[j\;\varphi _{L}(\omega )\right]\;$ la valeur efficace complexe correspondante » ;

«

\;{\underline {u_{L}}}(t)\;

étant la tension instantanée complexe de sortie ouverte d'un P.D.T^[6]. dont la tension instantanée complexe d'entrée est

\;{\underline {u_{g}}}(t)\;

» nous en déduisons «

\;{\underline {u_{L}}}(t)={\dfrac {j\,L\,\omega }{R+j\,L\,\omega +{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}\;{\underline {u_{g}}}(t)\;

»^[7] soit, en valeurs efficaces complexes, «

\;{\underline {U_{L}}}(j\,\omega )={\dfrac {j\,L\,\omega }{R+j\,L\,\omega +{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}\;{\underline {U_{g}}}\;

» et, en multipliant haut et bas par

\;j\,C\,\omega \;

pour obtenir une forme « usuelle »^[8], «

\;{\underline {U_{L}}}(j\,\omega )={\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}}{\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)+j\,R\,C\,\omega }}\;{\underline {U_{g}}}\;

».

Réduction canonique de la réponse efficace complexe en tension aux bornes de la bobine parfaite modifier

Rappeler les expressions des grandeurs canoniques du $\;R\,L\,C\;$ série « pulsation propre $\;\omega _{0}\;$ et facteur de qualité $\;Q\;$ » et

en déduire la forme canonique « usuelle »^[8] normalisée^[9] de la réponse efficace complexe $\;{\underline {U_{L}}}(j\,\omega )\;$ en fonction de la pulsation $\;\omega$ ou

en déduire la forme canonique réduite « usuelle »^[10] normalisée^[11] de la réponse efficace complexe $\;{\underline {U_{L}}}(j\,x)\;$ ^[12] en fonction de la pulsation réduite $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}$ .

Solution

On utilise les 2^èmes grandeurs canoniques relatives au $\;R\,L\,C\;$ série,

la « pulsation propre $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\;C}}}\;$ » $\Leftrightarrow$ $\;L\;C\;\omega _{0}^{2}=1\;$ $\Leftrightarrow$ $\;L\;\omega _{0}={\dfrac {1}{C\;\omega _{0}}}$ ,
le « facteur de qualité $\;Q={\dfrac {L\;\omega _{0}}{R}}={\dfrac {1}{R\;C\;\omega _{0}}}$ »,

et on définit la pulsation réduite $\;{\big (}$ ou fréquence réduite ${\big )}\;$ par « $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}={\dfrac {f}{f_{0}}}\;$ » ;

on élimine d'abord

\;\omega \;

au profit de

\;x\;

en reportant

\;\omega =\omega _{0}\;x\;

dans l'expression de

\;{\underline {U_{L}}}(j\,\omega )\;

soit «

\;{\underline {U_{L}}}(j\,x)={\dfrac {-{\cancel {L\;C\;\omega _{0}^{2}}}\;x^{2}}{1-{\cancel {L\;C\;\omega _{0}^{2}}}\;x^{2}+j\;R\;C\;\omega _{0}\;x}}\;

»^[12] et finalement,
en reconnaissant dans

\;R\;C\;\omega _{0}\;

l'inverse du facteur de qualité, «

\;{\underline {U_{L}}}(j\,x)={\dfrac {-x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)+j\;{\dfrac {x}{Q}}}}\;

».

Tension efficace aux bornes de la bobine parfaite du R L C série modifier

Déduire, de ce qui précède, l'expression de la tension efficace $\;U_{L}(x)\;$ aux bornes de la bobine parfaite en fonction de la pulsation réduite $\;x$ .

Solution

La tension efficace

\;U_{L}(x)\;

aux bornes de la bobine parfaite se détermine en prenant le module de la tension efficace complexe

\;{\underline {U_{L}}}(j\,x)\;

correspondante soit «

\;U_{L}(x)=\vert {\underline {U_{L}}}(j\,x)\vert ={\dfrac {x^{2}}{\sqrt {\left(1-x^{2}\right)^{2}+{\dfrac {x^{2}}{Q^{2}}}}}}\;

».

Phase à l'origine de la tension aux bornes de la bobine parfaite du R L C série modifier

Déduire, de même, l'expression de la phase à l'origine $\;\varphi _{L}(x)\;$ de la tension instantanée aux bornes de la bobine parfaite en fonction de la pulsation réduite $\;x$ .

Solution

La phase à l'origine

\;\varphi _{L}(x)\;

de la tension instantanée aux bornes de la bobine parfaite se détermine en prenant l'argument de la tension efficace complexe

\;{\underline {U_{L}}}(j\,x)\;

correspondante soit «

\;\varphi _{L}(x)=\varphi _{u_{g}}+\mathrm {arg} \!\left[{\underline {U_{L}}}(j\,x)\right]=\varphi _{u_{g}}+\left(\pm \pi \right)-\mathrm {arg} \!\left[\left(1-x^{2}\right)+j\;{\dfrac {x}{Q}}\right]\;

»^[13] ou, en mettant

\;j\;{\dfrac {x}{Q}}\;

en facteur dans le complexe dont on cherche l'argument dans la dernière expression de façon à ce que le facteur restant ait une partie réelle positive

\;{\big (}

plus exactement égale à

\;1{\big )}\;

et par conséquent ait un argument se mettant sous forme d'un

\arctan()\;

soit «

\;\varphi _{L}(x)=\varphi _{u_{g}}+\left(\pm \pi \right)-\mathrm {arg} \!\left\lbrace j\;{\dfrac {x}{Q}}\left[1+j\;Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]\right\rbrace =\varphi _{u_{g}}+\left(\pm \pi \right)-{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left[Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]\;

» et finalement
«

\;\varphi _{L}(x)=\varphi _{u_{g}}+{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left[Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]\;

»^[14]^,^[15].

Recherche d'une éventuelle résonance en tension aux bornes de la bobine parfaite du R L C série modifier

On se propose de chercher une éventuelle résonance en $\;u_{L}(t)\;$ mais le numérateur de $\;U_{L}(x)\;$ dépendant de $\;x$ , il nous faut chercher une forme canonique « pratique » correspondant à un numérateur constant en divisant haut et bas par le numérateur de façon à ce que $\;U_{L}(x)={\dfrac {U_{g}}{\sqrt {h(x^{2})}}}$ ;

on vérifiera alors que $\;h(x^{2})\;$ peut être identifié à $\;g\!\left({\dfrac {1}{x^{2}}}\right)\;$ où $\;g(x^{2})\;$ est la fonction dont on a étudié la variation lors de l'étude d'une éventuelle résonance en charge du $\;R\,L\,C\;$ série^[16] ;

introduisant $\;\xi ={\dfrac {1}{x}}\;$ pour plus de simplicité lors de l'exposé, rappeler la variation de $\;g(\xi ^{2})\;$ suivant la valeur du facteur de qualité et

introduisant $\;\color {transparent}{\xi ={\dfrac {1}{x}}}\;$ pour plus de simplicité lors de l'exposé, dans le cas où $\;g\;$ acquiert une valeur extrémale, l'expression de $\;\xi _{r}\;$ rendant $\;g\;$ extrémale ainsi que la valeur de cet extremum ;

en déduire la variation de $\;U_{L}(x)\;$ suivant la valeur du facteur de qualité et

en déduire dans le cas où il y a résonance, l'expression de la pulsation réduite de résonance $\;x_{r}\;$ ^[17] ainsi que la valeur maximale de $\;U_{L}\;$ notée $\;U_{L,\,{\text{max}}}$ .

Solution

Pour obtenir une forme canonique « pratique »^[18] de la tension efficace aux bornes de la bobine parfaite « on divise

\;U_{L}(x)={\dfrac {x^{2}}{\sqrt {\left(1-x^{2}\right)^{2}+{\dfrac {x^{2}}{Q^{2}}}}}}\;U_{g}\;

haut et bas par

\;x^{2}\;

» ce qui revient, en ce qui concerne le dénominateur, à diviser l'ensemble des termes sous le radical par

\;x^{4}\;

et donc le terme

\;(1-x^{2})\;

par

\;x^{2}

, d'où la forme canonique « pratique »^[18] «

\;U_{L}(x)=

{\dfrac {1}{\sqrt {\left({\dfrac {1}{x^{2}}}-1\right)^{\!2}+{\dfrac {1}{Q^{2}\;x^{2}}}}}}\;U_{g}\;

» ou encore «

\;U_{L}(x)={\dfrac {1}{\sqrt {\left(1-{\dfrac {1}{x^{2}}}\right)^{\!2}+{\dfrac {1}{Q^{2}}}\;{\dfrac {1}{x^{2}}}}}}\;U_{g}\;

» se mettant sous la forme
«

\;U_{L}(x)={\dfrac {U_{g}}{\sqrt {h(x^{2})}}}\;

» avec «

\;h(x^{2})=\left(1-{\dfrac {1}{x^{2}}}\right)^{\!2}+{\dfrac {1}{Q^{2}}}\;{\dfrac {1}{x^{2}}}\;

» ;

ayant obtenu, dans le paragraphe « recherche d'une éventuelle résonance en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) du “ R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ” » du chap. $4$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » l'expression « $\;U_{C}(x)=$ ${\dfrac {U_{g}}{\sqrt {g(x^{2})}}}\;$ » avec « $\;g(x^{2})=\left(1-x^{2}\right)^{\!2}+{\dfrac {x^{2}}{Q^{2}}}\;$ », on vérifie effectivement que « $\;h(x^{2})=g\!\left({\dfrac {1}{x^{2}}}\right)\;$ » soit encore, « en posant $\;\xi ={\dfrac {1}{x}}\;$ », la relation « $\;h(x^{2})=g(\xi ^{2})\;$ » ;

or la dérivée de $\;g(\xi ^{2})\;$ relativement à $\;\xi ^{2}\;$ trouvée dans le paragraphe précédemment cité « recherche d'une éventuelle résonance en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) du “ R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ” » du chap. $4$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) »^[19] à savoir « $\;{\dfrac {dg}{d\xi ^{2}}}(\xi ^{2})=$ $2\;\xi ^{2}+{\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\;$ » a conduit à la discussion suivante :

« si le terme constant $\;{\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\;$ est strictement positif » soit « $\;Q<{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$ », la dérivée « $\;{\dfrac {dg}{d\xi ^{2}}}(\xi ^{2})>0\;\;\forall \;\xi ^{2}\;$ » et $\;g(\xi ^{2})\;$ étant une fonction $\;\nearrow \;$ de $\;\xi ^{2}$ , on en déduit que « $\;g(\xi ^{2})=$ $h(x^{2})\;$ est une fonction $\;\searrow \;$ de $\;x^{2}\;$ »^[20] soit enfin que « $\;U_{L}(x)={\dfrac {U_{g}}{\sqrt {h(x^{2})}}}\;$ est une fonction $\;\nearrow \;$ de $\;x^{2}\;$ » donc « $\;U_{L}(x)\;$ est une fonction $\;\nearrow \;$ de $\;x\;$ »^[21] ;
« si le terme constant $\;{\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\;$ est négatif ou nul » soit « $\;Q\geqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$ », la dérivée « $\;{\dfrac {dg}{d\xi ^{2}}}(\xi ^{2})\;$ s'annulant pour $\;\xi _{r}^{2}=1-{\dfrac {1}{2\;Q^{2}}}\geqslant 0\;$ »^[22] avec « $\;{\dfrac {dg}{d\xi ^{2}}}(0)=$ ${\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\leqslant 0\;$ » d'une part et « $\;\lim \limits _{\xi \rightarrow +\infty }\left[{\dfrac {dg}{d\xi ^{2}}}(\xi ^{2})\right]=$ $+\infty >0\;$ » d'autre part, on en déduit que « $\;g(\xi ^{2})\;$ est minimale en $\;\xi _{r}^{2}\;$ » ${\bigg [}$ la valeur du minimum trouvée dans le paragraphe précédemment cité « recherche d'une éventuelle résonance en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) du “ R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ” » du chap. $4$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » étant $\;g(\xi _{r}^{2})=$ ${\dfrac {1}{Q^{2}}}\left(1-{\dfrac {1}{4\;Q^{2}}}\right){\bigg ]}\;$ soit « $\;g(\xi ^{2})=h(x^{2})\;$ minimale en $\;x_{r}^{2}={\dfrac {1}{\xi _{r}^{2}}}={\dfrac {1}{1-{\dfrac {1}{2\;Q^{2}}}}}\;$ »^[23] et par suite que « $\;U_{L}(x^{2})={\dfrac {U_{g}}{\sqrt {h(x^{2})}}}\;$ est maximale en $\;x_{r}^{2}\;$ » donc « $\;U_{L}(x)\;$ est maximale en $\;x_{r}={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {1}{2\;Q^{2}}}}}}>1\;$ »^[21].

En conclusion pour « $\;Q<{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$ », « $\;U_{L}(x)={\dfrac {x^{2}}{\sqrt {\left(1-x^{2}\right)^{2}+{\dfrac {x^{2}}{Q^{2}}}}}}\;U_{g}\;\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;U_{g}\;$ »,

En conclusion pour « $\;Q\geqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$ », « la tension instantanée $\;u_{L}(t)\;$ aux bornes de la bobine parfaite entre en résonance en la fréquence réduite $\;x_{r}={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {1}{2\;Q^{2}}}}}}>1\;$ » c'est-à-dire en la fréquence $\;f_{r}=$ ${\dfrac {f_{0}}{\sqrt {1-{\dfrac {1}{2\;Q^{2}}}}}}>f_{0}$ , avec « $\;U_{L}(x)={\dfrac {x^{2}}{\sqrt {\left(1-x^{2}\right)^{2}+{\dfrac {x^{2}}{Q^{2}}}}}}\;U_{g}\;$ $\left\lbrace {\begin{array}{l}\nearrow \;\;{\text{de }}0{\text{ à }}U_{L,\,{\text{max}}}={\dfrac {Q\;U_{g}}{\sqrt {1-{\dfrac {1}{4\;Q^{2}}}}}}&{\text{quand }}x\nearrow {\text{ de }}0{\text{ à }}x_{r}\\&{\text{puis}}\\\searrow \;\;{\text{de }}U_{L,\,{\text{max}}}={\dfrac {Q\;U_{g}}{\sqrt {1-{\dfrac {1}{4\;Q^{2}}}}}}{\text{ à }}U_{g}&{\text{quand }}x\nearrow {\text{ de }}x_{r}{\text{ à }}+\infty \end{array}}\right\rbrace \;$ »^[24].

Nature du filtre suivant le facteur de qualité modifier

Montrer que le filtre est un « passe-haut ou un passe-bande »^[25] suivant la valeur du facteur de qualité ;

on rappellera comment on pourrait déterminer la condition sur $\;Q\;$ pour que ce soit un passe-bande $\;\ldots \;$ mais sans refaire le calcul effectué en cours.

Solution

Si $\;Q<{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}$ , il n'y a pas de résonance en tension aux bornes de la bobine parfaite, la réponse efficace en $\;U_{L}(x)\;$ étant $\;\nearrow \;$ d'une valeur $\;0\;$ à B.F^[1]. jusqu'à une limite $\;U_{g}\neq 0\;$ à H.F^[26]., nous en déduisons la nature « passe-haut »^[25] du filtre et
si $\;Q\geqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}$ , il y a résonance en tension aux bornes de la bobine parfaite, la réponse efficace en $\;U_{L}(x)\;$ étant d'abord $\;\nearrow \;$ à partir d'une valeur $\;0\;$ à B.F^[1]. puis $\;\searrow \;$ jusqu'à une limite $\;U_{g}\neq 0\;$ à H.F^[26]., nous en déduisons la nature « passe-bande ou passe-haut »^[25] du filtre suivant l'existence ou non d'une fréquence finie de coupure haute à $\;-3\;dB$ ;

si $\;\color {transparent}{Q\geqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}}$ , la condition pour qu'il existe une fréquence finie de coupure haute à $\;-3\;dB\;$ étant « $\;U_{L}(x_{c,\,h})={\dfrac {U_{L}(x_{r})}{\sqrt {2}}}>U_{L}(+\infty )\;$ » avec la valeur de la réponse efficace à la résonance en tension aux bornes de la bobine parfaite « $\;U_{L}(x_{r})={\dfrac {Q\;U_{g}}{\sqrt {1-{\dfrac {1}{4\;Q^{2}}}}}}\;$ », se réécrit « $\;{\dfrac {Q\;U_{g}}{{\sqrt {2}}\;{\sqrt {1-{\dfrac {1}{4\;Q^{2}}}}}}}>U_{g}\;$ » ce qui, étant exactement la même équation en $\;Q\;$ que celle obtenue lors de l'écriture de la condition pour qu'il existe une fréquence de coupure basse non nulle à $\;-3\;dB\;$ pour le filtre « réponse en tension aux bornes du condensateur »^[27], conduit à la même solution c'est-à-dire que « la condition pour qu'il existe une fréquence finie de coupure haute à $\;-3\;dB\;$ est $\;Q\gtrsim 1,31\;$ » ;
si $\;\color {transparent}{Q\geqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}}$ , en conclusion de cette étude « si $\;{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\leqslant Q\lesssim 1,31\;$ »^[28] la réponse en tension efficace aux bornes de la bobine parfaite d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante est un « passe-haut »^[25] et
si $\;\color {transparent}{Q\geqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}}$ , en conclusion de cette étude « si $\;Q\gtrsim 1,31\;$ »^[28] c'est un « passe-bande »^[25].

Finalement « pour un facteur de qualité restant faible $\;Q\lesssim 1,31\;$ »^[28] la réponse en tension efficace aux bornes de la bobine parfaite d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante est un « passe-haut »^[25] alors que
Finalement « pour un facteur de qualité plus grand $\;Q\gtrsim 1,31\;$ »^[28] c'est un « passe-bande »^[25]^,^[29].

Tracé de la courbe de valeur efficace en tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante imposée par le générateur en fonction de la fréquence réduite modifier

Compte-tenu de la variation établie dans une question précédente, tracer les différents types de courbes possibles de valeur efficace en tension aux bornes de la bobine $\;{\big (}$ parfaite ${\big )}\;$ en fonction de la fréquence réduite.

Solution

Superposition des courbes de réponse en tension efficace aux bornes de la bobine parfaite d'un

\;R\,L\,C\;

série soumis à tension efficace fixée en fonction de la fréquence réduite

\;x\;

pour les facteurs de qualité donnant une absence de résonance

\;Q=0,4

, une “ résonance limite en

\;x\,:\,\infty \;

”

\;Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}

, floue

\;Q=1\;

et modérément aiguë

\;Q=3

Voir ci-contre la superposition des tracés de la réponse en tension efficace aux bornes de la bobine $\;{\big (}$ parfaite ${\big )}\;$ d'un « $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » en fonction de la fréquence réduite, chaque courbe correspondant à une valeur différente du facteur de qualité

$\;Q=0,4\;$ donnant une absence de résonance,
$\;Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$ donnant une résonance limite en « $\;x_{r}={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {1}{2\;Q^{2}}}}}}=\infty \;$ »,
$\;Q=1\;$ donnant une résonance qualifiée de « floue » en « $\;x_{r}={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {1}{2\;Q^{2}}}}}}\simeq 1,41\;$ » et
$\;Q=3\;$ donnant une résonance qualifiée de « modérément aiguë » en « $\;x_{r}={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {1}{2\;Q^{2}}}}}}\simeq 1,03\;$ ».

Tracé de la courbe d'avance de phase de la tension aux bornes de la bobine (parfaite) d'un R L C série sur la tension sinusoïdale de valeur efficace constante imposée par le générateur en fonction de la fréquence réduite modifier

Tracer l'allure de la courbe d'avance de phase de la tension aux bornes de la bobine $\;{\big (}$ parfaite ${\big )}\;$ sur la tension imposée par le générateur en fonction de la fréquence réduite.

Solution

Superposition des courbes d'avance de phase de la tension aux bornes de la bobine parfaite d'un

\;R\,L\,C\;

série soumis à tension efficace fixée en fonction de la fréquence réduite

\;x\;

pour les facteurs de qualité donnant une absence de résonance

\;Q=0,4

, une “ résonance limite en

\;x\,:\,\infty \;

”

\;Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}

, floue

\;Q=1\;

et modérément aiguë

\;Q=3

Voir ci-contre la superposition des tracés de l'avance de phase de la tension aux bornes de la bobine $\;{\big (}$ parfaite ${\big )}\;$ d'un « $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » sur la tension à ses bornes en fonction de la fréquence réduite, chaque courbe correspondant à une valeur différente du facteur de qualité

$\;Q=0,4\;$ donnant une variation lente et assez régulière du déphasage,
$\;Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$ donnant une variation légèrement plus rapide qu'aux faibles valeurs du facteur de qualité, variation du déphasage restant assez régulière,
$\;Q=1\;$ donnant une variation modérément rapide au voisinage de la fréquence réduite propre avec toutefois une variation restant notable mais plus faible en dehors et
$\;Q=3\;$ donnant une variation relativement rapide au voisinage de la fréquence réduite propre et relativement lente en dehors.

Lien entre les tensions efficaces complexes aux bornes de la bobine parfaite et du condensateur d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable et conséquences modifier

Rappeler l'expression de la tension efficace complexe $\;{\underline {U_{C}}}(j\,x)\;$ ^[30] aux bornes du condensateur du $\;R\,L\,C\;$ série précédent en fonction de la pulsation $\;{\big (}$ ou fréquence ${\big )}\;$ réduite $\;x\;$ ^[31] et

vérifier le lien suivant entre les tensions efficaces complexes aux bornes de la bobine parfaite et du condensateur du $\;R\,L\,C\;$ série excité sinusoïdalement pour une même pulsation réduite $\;x\;$

«

\;{\underline {U_{L}}}(j\,x)=\left[{\underline {U_{C}}}\!\left({\dfrac {j}{x}}\right)\right]^{*}\;{\dfrac {\underline {U_{g}}}{{\underline {U_{g}}}^{*}}}\;

»^[32]^,^[33] ;

en déduire les conséquences sur la variation de $\;U_{L}\;$ connaissant la variation de $\;U_{C}\;$ ainsi que
en déduire celles sur la variation de $\;\varphi _{L}\;$ connaissant la variation de $\;\varphi _{C}$ .

Solution

La tension efficace complexe aux bornes du condensateur du $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante s'écrivant « $\;{\underline {U_{C}}}(j\,x)={\dfrac {1}{\left(1-x^{2}\right)+j\;{\dfrac {x}{Q}}}}\;{\underline {U_{g}}}=$ ${\dfrac {1}{\left[1+(j\;x)^{2}\right]+{\dfrac {j\;x}{Q}}}}\;{\underline {U_{g}}}\;$ » et celle aux bornes de la bobine du même $\;R\,L\,C\;$ série soumis à la même tension sinusoïdale de valeur efficace constante « $\;{\underline {U_{L}}}(j\,x)={\dfrac {-x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)+j\;{\dfrac {x}{Q}}}}\;{\underline {U_{g}}}\;$ »^[34],
nous transformons « $\;{\underline {U_{L}}}(j\,x)={\dfrac {-x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)+j\;{\dfrac {x}{Q}}}}\;{\underline {U_{g}}}\;$ » en divisant haut et bas par $\;-x^{2}=\left(j\,x\right)^{2}\;$ soit « $\;{\underline {U_{L}}}(j\,x)={\dfrac {1}{\left(-{\dfrac {1}{x^{2}}}+1\right)+{\dfrac {1}{j\,x\;Q}}}}\;{\underline {U_{g}}}={\dfrac {1}{\left(1-{\dfrac {1}{x^{2}}}\right)-{\dfrac {\dfrac {j}{x}}{Q}}}}\;{\underline {U_{g}}}\;$ » ;

remplaçant

\;j\,x\;

par

\;{\dfrac {j}{x}}\;

dans l'expression de «

\;{\underline {U_{C}}}(j\,x)={\dfrac {1}{\left[1+(j\;x)^{2}\right]+{\dfrac {j\;x}{Q}}}}\;{\underline {U_{g}}}\;

» on trouve «

\;{\underline {U_{C}}}\!\left({\dfrac {j}{x}}\right)={\dfrac {1}{\left[1+\left({\dfrac {j}{x}}\right)^{\!2}\right]+{\dfrac {\dfrac {j}{x}}{Q}}}}\;{\underline {U_{g}}}={\dfrac {1}{\left(1-{\dfrac {1}{x^{2}}}\right)+{\dfrac {\dfrac {j}{x}}{Q}}}}\;{\underline {U_{g}}}\;

» d'où
remplaçant

\;\color {transparent}{j\,x}\;

par

\;\color {transparent}{\dfrac {j}{x}}\;

dans l'expression de «

\;\color {transparent}{{\underline {U_{C}}}(j\,x)={\dfrac {1}{\left[1+(j\;x)^{2}\right]+{\dfrac {j\;x}{Q}}}}\;{\underline {U_{g}}}}\;

» on trouve «

\;\left[{\underline {U_{C}}}\!\left({\dfrac {j}{x}}\right)\right]^{*}=

{\dfrac {1}{\left(1-{\dfrac {1}{x^{2}}}\right)-{\dfrac {\dfrac {j}{x}}{Q}}}}\;{\underline {U_{g}}}^{*}\;

»^[32] laquelle, comparée à «

\;{\underline {U_{L}}}(j\,x)={\dfrac {1}{\left(1-{\dfrac {1}{x^{2}}}\right)-{\dfrac {\dfrac {j}{x}}{Q}}}}\;{\underline {U_{g}}}\;

», permet de trouver le lien cherché à savoir «

\;{\underline {U_{L}}}(j\,x)=\left[{\underline {U_{C}}}\!\left({\dfrac {j}{x}}\right)\right]^{*}\;{\dfrac {\underline {U_{g}}}{{\underline {U_{g}}}^{*}}}

»^[32].

En prenant le module de la relation ci-dessus on en déduit « $\;U_{L}(x)=U_{C}\!\left({\dfrac {1}{x}}\right)\;$ », le module du conjugué étant égal au module du complexe, c'est-à-dire que l'« on obtient la variation de $\;U_{L}\;$ connaissant celle de $\;U_{C}\;$ en transformant $\;x\;$ en son inverse » d'où :

« si $\;Q<{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$ », « variation monotone de $\;U_{C}\;$ » entraînant une « variation monotone de $\;U_{L}\;$ », « le domaine des B.F^[1]. passant devenant le domaine des H.F^[26]. passant » ;
« si $\;Q\geqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$ », existence d'une « résonance de $\;U_{C}\;$ pour $\;x_{r,\,C}={\sqrt {1-{\dfrac {1}{2\;Q^{2}}}}}<1\;$ » correspondant à une « résonance de $\;U_{L}\;$ pour $\;x_{r,\,L}={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {1}{2\;Q^{2}}}}}}>1\;$ » ;
« si $\;Q\lesssim 1,31\;$ », « nature passe-bas^[35] de la réponse en $\;U_{C}\;$ » se transformant en « passe-haut^[25] de la réponse en $\;U_{L}\;$ » et
« si $\;Q\gtrsim 1,31\;$ », « nature passe-bande^[35] de la réponse en $\;U_{C}\;$ à fréquence de résonance inférieure à la fréquence propre » se transformant en « passe-bande^[25] de la réponse en $\;U_{L}\;$ à fréquence de résonance supérieure à la fréquence propre » ;
si on adopte une échelle logarithmique pour l'axe des fréquences réduites, « la transformation de $\;x\;$ en $\;{\dfrac {1}{x}}\;$ correspond au changement de $\;\log(x)\;$ en $\;-\log(x)\;$ » et on en déduit que « les courbes de valeurs efficaces tracées en “ échelle semi-logarithmique ” ^[36] sont symétriques l'une de l'autre relativement à l'axe $\;\log(x)=0\;$ c'est-à-dire l'axe $\;x=1\;$ de l'échelle logarithmique ».

En prenant l'argument de la relation « $\;{\underline {U_{L}}}(j\,x)=\left[{\underline {U_{C}}}\!\left({\dfrac {j}{x}}\right)\right]^{*}\;{\dfrac {\underline {U_{g}}}{{\underline {U_{g}}}^{*}}}\;$ »^[32] ${\big (}$ l'argument du conjugué étant opposé à l'argument du complexe ${\big )}\;$ on en déduit « $\;\varphi _{L}(x)=$ $-\varphi _{C}\!\left({\dfrac {1}{x}}\right)+2\;\varphi _{u_{g}}\;$ »^[37] ou encore
En prenant l'argument de la relation « $\;\color {transparent}{{\underline {U_{L}}}(j\,x)=\left[{\underline {U_{C}}}\!\left({\dfrac {j}{x}}\right)\right]^{*}\;{\dfrac {\underline {U_{g}}}{{\underline {U_{g}}}^{*}}}}\;$ » $\color {transparent}{\big (}$ l'argument du conjugué étant opposé à l'argument du complexe $\color {transparent}{\big )}\;$ on en déduit « $\;\varphi _{L}(x)-\varphi _{u_{g}}=-\left[\varphi _{C}\!\left({\dfrac {1}{x}}\right)-\varphi _{u_{g}}\right]\;$ », c'est-à-dire que l'« on obtient la variation de $\;\varphi _{L}-\varphi _{u_{g}}\;$ connaissant celle de $\;\varphi _{C}-\varphi _{u_{g}}\;$ en transformant $\;x\;$ en son inverse et en prenant l'opposé du transformé de $\;\varphi _{C}-\varphi _{u_{g}}\;$ » d'où :

le « domaine des B.F^[1]. à déphasage nul pour $\;\varphi _{C}-\varphi _{u_{g}}\;$ » devient le « domaine des H.F^[26]. à déphasage nul pour $\;\varphi _{L}-\varphi _{u_{g}}\;$ » ;
le « domaine des H.F^[26]. à déphasage égal à $\;-\pi \;$ pour $\;\varphi _{C}-\varphi _{u_{g}}\;$ » devient le « domaine des B.F^[1]. à déphasage égal à $\;+\pi \;$ pour $\;\varphi _{L}-\varphi _{u_{g}}\;$ » ;
si on adopte une échelle logarithmique pour l'axe des fréquences réduites, « la transformation de $\;x\;$ en $\;{\dfrac {1}{x}}\;$ correspond au changement de $\;\log(x)\;$ en $\;-\log(x)\;$ » et on en déduit que les « courbes de déphasage tracées en “ échelle semi-logarithmique ” ^[36] sont symétriques l'une de l'autre relativement au centre $\;\left\lbrace \log(x)=0\;,\;\varphi =0\right\rbrace \;$ ou $\;\left(x=1\;,\;\varphi =0\right)\;$ sur papier semi-logarithmique » ;
en fait cette « propriété de symétrie centrale en échelle logarithmique » est peu utilisée car la propriété énoncée ci-après est nettement plus intéressante :
en fait cette « propriété de symétrie centrale en échelle logarithmique » est peu utilisée de « $\;{\underline {U_{L}}}(j\,x)=$ ${\dfrac {-x^{2}}{1-x^{2}+j\;{\dfrac {x}{Q}}}}\;{\underline {U_{g}}}\;$ avec $\;{\underline {U_{C}}}(j\,x)={\dfrac {1}{1-x^{2}+j\;{\dfrac {x}{Q}}}}\;{\underline {U_{g}}}\;$ » on déduit « $\;{\underline {U_{L}}}(j\,x)=-x^{2}\;{\underline {U_{C}}}(j\,x)\;$ » et, en en prenant l'argument « $\;\varphi _{L}(x)=\pm \pi +\varphi _{C}(x)\;$ »^[13] soit « $\;\varphi _{L}(x)=\varphi _{C}(x)+\pi \;$ » pour que la phase à l'origine ait la plus petite valeur absolue ;
en fait cette « propriété de symétrie centrale en échelle logarithmique » est peu utilisée « la courbe de déphasage de la tension aux bornes de la bobine parfaite se déduit de celle de déphasage de la tension aux bornes du condensateur par translation de $\;+\pi \;$ parallèlement à l'axe des phases » $\;{\big (}$ indépendamment de la nature logarithmique ou linéaire de l'échelle des fréquences réduites ${\big )}$ .

Réponse en i_R(t) d'une association parallèle R L soumise, à travers un condensateur de capacité C, à une f.e.m. sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence choisie modifier

Schéma d'une « association parallèle d'un conducteur ohmique de résistance

\;R\;

et d'une bobine parfaite d'inductance propre

\;L\;

» montée en série avec un condensateur de capacité

\;C

, le tout étant sous tension sinusoïdale

On considère le circuit ci-contre constitué d'une « association parallèle d'un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ et d'une bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ » montée en série avec un condensateur de capacité $\;C$ ;
On considère le circuit il est alimenté par un générateur de tension sinusoïdale dont on néglige l'impédance de sortie et de « f.e.m. $\;e(t)=E\,{\sqrt {2}}\cos(\omega \,t)\;$ ».

Détermination du générateur de Norton équivalent à l'ensemble générateur de fonction en série avec le condensateur de capacité C modifier

Déterminer le générateur de Norton^[38] équivalent au D.A.L^[39]. $\;AB\;$ comprenant le générateur en série avec le condensateur et

tracer le schéma équivalent.

Solution

Schéma en complexe d'une « association parallèle d'un conducteur ohmique de résistance

\;R\;

et d'une bobine parfaite d'impédance complexe

\;{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )\;

» montée en série avec un condensateur d'impédance complexe

\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )

, le tout étant sous tension instantanée complexe

On considère le circuit représenté en complexe ci-contre, alimenté par un générateur de tension de « f.e.m. instantanée complexe $\;{\underline {e}}(t)=E\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t)\;$ »^[40], les impédances complexes de la bobine parfaite et du condensateur étant respectivement « $\;{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )=$ $j\,L\,\omega \;$ » et « $\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}\;$ » ;

le générateur de tension en série avec le condensateur ayant pour modèle générateur de Thévenin^[41] complexe « une source de tension parfaite de f.e.m. instantanée complexe $\;{\underline {e}}(t)\;$ en série avec un D.P^[42]. d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{C}}}={\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}\;$ », il suffit de prendre le modèle générateur de Norton^[38] complexe équivalent à savoir « une source de courant parfaite de c.e.m. instantanée complexe $\;{\underline {\eta }}(t)={\dfrac {{\underline {e}}(t)}{\underline {Z_{C}}}}=j\,C\,\omega \ E\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t)\;$ en parallèle avec le D.P^[42]. d'impédance complexe $\;{\underline {Z_{C}}}=$ ${\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}\;$ » ;

le tracé du schéma équivalent est à faire par soi-même, on aboutit à « un

\;R\,L\,C\,\parallel \;

alimenté par la source de courant parfaite de Norton^[38] complexe
de c.e.m. instantané complexe

\;{\underline {\eta }}(t)=j\,C\,\omega \ E\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t)\;

».

Condition de fréquence pour que le courant d'intensité i_R(t) soit indépendant de R et interprétation modifier

En déduire la condition pour que l'intensité $\;i_{R}(t)\;$ du courant dans le conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ soit indépendante de cette dernière et

l'interpréter simplement.

Solution

L'intensité instantanée complexe du courant dans le conducteur ohmique de résistance

\;R\;

peut être déterminée par « P.D.C^[43]. en sortie court-circuitée

\;{\big (}

court-circuit en série avec le conducteur ohmique

{\big )}\;

alimenté par le c.e.m. instantané complexe

\;{\underline {\eta }}(t)={\dfrac {{\underline {e}}(t)}{\underline {Z_{C}}}}=j\,C\,\omega \ E\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t)\;

» soit, en associant

\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )\parallel {\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )\;

d'impédance complexe équivalente

\;{\underline {Z_{L\,\parallel \,C,\,{\text{éq}}}}}(j\,\omega )={\dfrac {j\,L\,\omega \,{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}{j\,L\,\omega +{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}={\dfrac {j\,L\,\omega }{1-L\,C\,\omega ^{2}}}

, l'intensité instantanée complexe du courant dans le conducteur ohmique «

\;{\underline {i_{R}}}(t)=

{\dfrac {{\underline {Z_{L\,\parallel \,C,\,{\text{éq}}}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{L\,\parallel \,C,\,{\text{éq}}}}}(j\,\omega )+R}}\;{\underline {\eta }}(t)={\dfrac {\dfrac {j\,L\,\omega }{1-L\,C\,\omega ^{2}}}{{\dfrac {j\,L\,\omega }{1-L\,C\,\omega ^{2}}}+R}}\,j\,C\,\omega \ E\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t)\;

»^[44] et finalement, en réduisant les étages, «

\;{\underline {i_{R}}}(t)={\dfrac {-L\,C\,\omega ^{2}}{j\,L\,\omega +R\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)}}\,E\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t)\;

»
indépendante de

\;R\;

si «

\;L\,C\,\omega ^{2}=1\;

»
soit «

\;\omega ={\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}\;

» ou «

\;f={\dfrac {\omega }{2\,\pi }}={\dfrac {1}{2\,\pi \,{\sqrt {L\,C}}}}\;

».

Interprétation : on sait que l'intensité du courant traversant $\;L$ , $\;C\;$ et $\;R\;$ en série alimenté par une tension sinusoïdale de valeur efficace constante entre en résonance pour $\;\omega =$ ${\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}\;$ et que les tensions aux bornes de $\;L\;$ et $\;C\;$ se compensent ;

Interprétation : par dualité « série parallèle »^[45], la tension aux bornes de $\;L$ , $\;C\;$ et $\;R\;$ en parallèle^[46] alimenté par une intensité de courant sinusoïdal de valeur efficace constante^[47] entre en résonance pour $\;\omega ={\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}\;$ ^[48] et les intensités des courants traversant $\;L\;$ et $\;C\;$ se compensent^[49] d'où l'intensité du courant traversant l'ensemble $\;L\parallel C\;$ est donc nulle^[50] ;

Interprétation : la conséquence est que le c.e.m. instantané $\;\eta (t)\;$ ${\big (}$ qui ne dépend évidemment pas de $\;R{\big )}\;$ est le courant qui traverse le conducteur ohmique et par suite
Interprétation : la conséquence est que l'intensité $\;i_{R}(t)\;$ du courant traversant le conducteur ohmique ne dépend pas de $\;R\;$ ${\bigg (}\!$ uniquement pour la pulsation particulière $\;\omega ={\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}\!{\bigg )}$ .

Sous la condition de fréquence précédemment trouvée, évaluation de la valeur efficace et de la phase à l'origine de i_R(t) modifier

Sachant que la condition précédente est réalisée, calculer la valeur efficace $\;I_{R}\;$ et la phase à l'origine $\;\varphi _{R}\;$ de l'intensité $\;i_{R}(t)\;$ du courant dans le conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ pour les valeurs numériques suivantes $\;E=100\,V$ , $\;\omega =100\,\pi \,rad\cdot s^{-1}\;$ et $\;C=0,1\,\mu F$ .

Solution

L'intensité instantanée complexe s'écrivant, à la pulsation particulière $\;\omega ={\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}$ , selon « $\;{\underline {i_{R}}}(t)={\dfrac {-{\cancel {L\,C\,\omega ^{2}}}}{j\,L\,\omega }}\,E\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t)\;$ » peut se réécrire « $\;{\underline {i_{R}}}(t)=$ $j\,C\,\omega \,E\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t)\;$ »^[51] ;

on en déduit l'intensité efficace complexe « $\;{\underline {I_{R}}}(j\,\omega )=j\,C\,\omega \,E\;$ » dont on tire

la valeur efficace « $\;I_{R}(\omega )=\vert {\underline {I_{R}}}(j\,\omega )\vert =C\,\omega \,E\;$ » soit numériquement $\;I_{R}(\omega =100\,\pi )=10^{-7}\times 100\;\pi \times 100\;$ en $\;A\;$ ou « $\;I_{R}(\omega =100\,\pi )=3,14\;mA\;$ » et
la phase initiale « $\;\varphi _{R}(\omega )=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {I_{R}}}(j\,\omega )\right]={\dfrac {\pi }{2}}\;$ » ;

en conclusion l'intensité instantanée du courant traversant le conducteur ohmique s'écrit «

\;i_{R}(t)=I_{R}(\omega )\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left[\omega \;t+\varphi _{R}(\omega )\right]=3,14\;{\sqrt {2}}\;\cos \!\left[100\,\pi \;t+{\dfrac {\pi }{2}}\right]=-3,14\;{\sqrt {2}}\;\sin \!\left[100\,\pi \;t\right]\;

en

\;mA\;

».

Notes et références modifier

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 et ^1,5 Basse Fréquence.
↑ ^2,0 ^2,1 et ^2,2
Voir le paragraphe « utilisation d'un montage suiveur interposé entre le multimètre et le G.B.F. pour mesurer la f.e.m. efficace d'un G.B.F. » du chap. $24$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la raison de l'introduction du montage suiveur dans le cas présent restant la même que celle exposée dans le paragraphe précité, plus exactement pour les propriétés suivantes
- la tension instantanée de sortie du montage suiveur est égale à la tension d'entrée de ce montage c'est-à-dire la tension instantanée imposée par le générateur et
- l'intensité instantanée du courant d'entrée du montage suiveur est nulle $\;{\big (}$ l'entrée du montage est donc équivalente à un interrupteur ouvert ${\big )}\;$ $\Rightarrow$ le courant délivré par le générateur étant d'intensité nulle, la tension instantanée aux bornes du générateur est sa tension à vide c'est-à-dire la f.e.m. instantanée du générateur dont la valeur efficace est fixée dans le cas d'un régime sinusoïdal forcé d'où,
d'après la 1^ère propriété, la tension instantanée imposée au $\;R\,L\,C\;$ série branchée à la sortie du montage suiveur est, dans le cas d'un régime sinusoïdal forcé, de valeur efficace fixée égale à la f.e.m. efficace imposée par le générateur et ceci bien que l'intensité instantanée du courant traversant le $\;R\,L\,C\;$ série ne soit pas nulle, ce dernier étant intégralement fourni par l'alimentation stabilisée du montage suiveur $\;{\big \{}$ si le générateur était branché directement aux bornes du $\;R\,L\,C\;$ série, le courant d'intensité instantanée $\;i(t)\;$ traversant ce dernier serait alors fourni par le générateur dont seule la f.e.m. instantanée $\;e(t)\;$ peut être fixée indépendamment du dipôle entre ses bornes, la tension instantanée entre ses dernières étant $\;u_{g}(t)=e(t)-r_{S}\;i(t)\;$ ${\big [}$ avec $\;r_{S}=50\;\Omega \;$ la résistance de sortie du générateur ${\big ]}\;$ varierait suivant la valeur d'intensité du courant délivré d'où l'impossibilité d'avoir une valeur efficace de tension aux bornes du $\;R\,L\,C\;$ série constante dans le cas d'un régime sinusoïdal forcé ${\big \}}$ .
↑ En ayant choisi une expression en cosinus pour la tension délivrée par le générateur B.F..
↑ La résistance de la bobine est faible $\;{\big (}\simeq 10\;\Omega {\big )}$ , la composante résistive de la bobine sera approximativement négligeable devant sa composante inductive si l'intensité du courant la traversant reste faible simultanément à une variation notable de cette dernière, ce qui est quasiment toujours vérifié.
↑ Pour visualiser celle-ci à l'oscilloscope il faut bien sûr permuter la bobine et le condensateur pour qu'une des bornes de ce dernier soit reliée à la masse du montage.
↑ Pont Diviseur de Tension.
↑ Voir le paragraphe « le résultat le plus utilisé : P.D.T. en sortie ouverte alimenté en entrée par u_e(t) » du chap. $3$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
↑ ^8,0 et ^8,1 C.-à-d. sous forme d'un quotient irréductible de polynômes en $\;j\,\omega$ .
↑ C.-à-d. telle que le monôme de degré $\;0\;$ du polynôme en $\;j\,\omega \;$ du dénominateur est $\;1$ .
↑ C.-à-d. sous forme d'un quotient irréductible de polynômes en $\;j\,x\;$ où $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$ est la pulsation réduite.
↑ C.-à-d. telle que le monôme de degré $\;0\;$ du polynôme en $\;j\,x\;$ du dénominateur est $\;1$ , $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$ étant la pulsation réduite.
↑ ^12,0 et ^12,1 Bien que l'on ne considère plus la variation de la tension efficace complexe aux bornes de la bobine parfaite du $\;R\,L\,C\;$ série selon la même variable $\;{\big (}\omega \;$ ayant été remplacée par $\;x{\big )}\;$ et par suite qu'il ne peut s'agir de la même fonction, la valeur reste la même et l'usage veut qu'en physique nous adoptions le plus souvent la même lettre pour la fonction et la valeur de la fonction d'où la conservation de la notation $\;{\underline {U_{L}}}$ .
↑ ^13,0 et ^13,1 L'argument de $\;-x^{2}\;$ étant au choix $\;+\pi \;$ ou $\;-\pi$ .
↑ On a choisi $\;+\pi \;$ dans le 1^er terme $\;\pm \pi \;$ pour que l'argument final ait la plus petite valeur absolue.
↑ Ce qui n'est pas une surprise dans la mesure où la tension aux bornes de la bobine parfaite est en quadrature avance sur l'intensité du courant, conséquence de $\;{\underline {u_{L}}}(t)=j\,L\,\omega \;{\underline {i}}(t)\;$ dont on déduit « $\;\varphi _{L}(\omega )$ $={\dfrac {\pi }{2}}+\varphi _{i}(\omega )\;$ » soit, avec « $\;\varphi _{i}(\omega )=\varphi _{u_{g}}-\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Z_{R\,L\,C\,{\text{série}}}}}(j\,\omega )\right]\;$ » ainsi que $\;\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Z_{R\,L\,C\,{\text{série}}}}}(j\,\omega )\right]=\arctan \!\left[{\dfrac {L\;\omega -{\dfrac {1}{C\;\omega }}}{R}}\right]=\arctan \!\left[{\dfrac {L\;\omega _{0}\;x-{\dfrac {1}{C\;\omega _{0}\;x}}}{R}}\right]\;$ dans lequel on utilise $\;Q={\dfrac {L\;\omega _{0}}{R}}={\dfrac {1}{R\;C\;\omega _{0}}}\;$ pour obtenir « $\;\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Z_{R\,L\,C\,{\text{série}}}}}(j\,x)\right]=\arctan \!\left[Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]\;$ » et par suite « $\;\varphi _{L}(\omega )={\dfrac {\pi }{2}}+\varphi _{u_{g}}-\arctan \!\left[Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)\right]\;$ ».
↑ C.-à-d. $\;g(x^{2})=\left(1-x^{2}\right)^{\!2}+{\dfrac {x^{2}}{Q^{2}}}\;$ établi dans le paragraphe « recherche d'une éventuelle résonance en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) du “ R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ” » du chap. $4$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » ;
c'est aussi le carré du module du dénominateur de l'expression de la tension efficace complexe aux bornes du condensateur, expression écrite sous forme canonique usuelle normalisée $\;{\big (}$ c'est-à-dire sous forme d'un quotient de polynômes en $\;j\,x$ , le monôme de degré $\;0\;$ étant égal à $\;1{\big )}$ , expression qu'il est conseillé de retenir pour l'étude du filtrage linéaire des chap. $7$ et $8$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
↑ On positionnera $\;x_{r}\;$ par rapport à $\;x_{0}=1$ .
↑ ^18,0 et ^18,1 Une forme canonique est dite « pratique » quand elle est mise sous forme d'un quotient $\;{\big (}$ non nécessairement de polynômes en $\;j\,x{\big )}\;$ avec un numérateur indépendant de $\;x$ .
↑ Il s'agissait de la dérivée de $\;g(x^{2})\;$ relativement à $\;x^{2}\;$ mais peu importe le nom donné à la variable $\;\ldots$
↑ $\;x^{2}\;$ et $\;\xi ^{2}\;$ variant en sens contraire car $\;x^{2}={\dfrac {1}{\xi ^{2}}}\;$ est une fonction $\;\searrow \;$ de $\;\xi ^{2}$ .
↑ ^21,0 et ^21,1 $\;x\;$ étant toujours positive, sa variation est de même sens que celle de $\;x^{2}$ .
↑ On remarque que $\;\xi _{r}^{2}=0\;$ pour $\;Q={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}$ .
↑ $\;x^{2}\;$ et $\;\xi ^{2}\;$ variant en sens contraire, quand $\;\xi ^{2}\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;\xi _{r}^{2}\;$ correspondant à une décroissance de $\;g(\xi ^{2})$ , on a une décroissance de $\;h(x^{2})=$ $g(\xi ^{2})\;$ quand $\;x^{2}\searrow \;$ de $\;+\infty \;$ à $\;x_{r}^{2}={\dfrac {1}{\xi _{r}^{2}}}\;$ c'est-à-dire une croissance de $\;h(x^{2})\;$ quand $\;x^{2}\nearrow \;$ de $\;x_{r}^{2}={\dfrac {1}{\xi _{r}^{2}}}\;$ à $\;+\infty$ ;
$\;\color {transparent}{x^{2}}\;$ et $\;\color {transparent}{\xi ^{2}}\;$ variant en sens contraire, quand $\;\xi ^{2}\nearrow \;$ de $\;\xi _{r}^{2}\;$ à $\;+\infty \;$ correspondant à une croissance de $\;g(\xi ^{2})$ , on a une croissance de $\;h(x^{2})=$ $g(\xi ^{2})\;$ quand $\;x^{2}\searrow \;$ de $\;x_{r}^{2}={\dfrac {1}{\xi _{r}^{2}}}\;$ à $\;0\;$ c'est-à-dire une décroissance de $\;h(x^{2})\;$ quand $\;x^{2}\nearrow \;$ de $\;0\;$ à $\;x_{r}^{2}={\dfrac {1}{\xi _{r}^{2}}}$ ;
on vérifie donc bien que $\;h(x^{2})\;$ passe par un minimum en $\;x_{r}^{2}={\dfrac {1}{\xi _{r}^{2}}}={\dfrac {1}{1-{\dfrac {1}{2\;Q^{2}}}}}$ .
↑ En effet $\;U_{L,\,{\text{max}}}=U_{L}(x_{r})={\dfrac {U_{g}}{\sqrt {h(x_{r}^{2})}}}={\dfrac {Q\;U_{g}}{\sqrt {1-{\dfrac {1}{4\;Q^{2}}}}}}>Q\;U_{g}$ .
↑ ^25,0 ^25,1 ^25,2 ^25,3 ^25,4 ^25,5 ^25,6 ^25,7 et ^25,8 La notion de filtrage sera vue de façon plus approfondie dans le chap. $7$ intitulé « filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode, 2ème partie » de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » mais dès à présent on précise les notions intuitives de « passe-bande » et de « passe-haut » ;
on parle de « passe-bande » quand la réponse est d'amplitude « notable » $\;{\big (}$ à préciser ${\big )}\;$ sur un intervalle de fréquences de largeur finie à borne inférieure non nulle et qu'elle peut être « négligée » $\;{\big (}$ à préciser ${\big )}\;$ en dehors ;
on parle de « passe-haut » quand la réponse est d'amplitude « notable » $\;{\big (}$ à préciser ${\big )}\;$ sur un intervalle de fréquences de largeur infinie à borne inférieure non nulle et qu'elle peut être « négligée » $\;{\big (}$ à préciser ${\big )}\;$ en dehors.
↑ ^26,0 ^26,1 ^26,2 ^26,3 et ^26,4 Haute Fréquence.
↑ Voir le paragraphe « nature du filtre “ réponse en charge du R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ” suivant le facteur de qualité » du chap. $4$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
↑ ^28,0 ^28,1 ^28,2 et ^28,3 La valeur $\;1,31\;$ étant la valeur approchée de $\;Q_{\text{max, passe-haut}}=Q_{\text{min, passe-bande}}={\sqrt {1+{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}}}\;$ dont il faut retenir qu'elle existe en étant un peu plus grande que $\;1$ .
↑ Mais nettement moins intéressant que le passe-bande constitué de la réponse en intensité du courant traversant le $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante car la fréquence de résonance dépend du facteur de qualité, ce qui est un handicap à son utilisation.
↑ Bien que l'on ne considère pas la variation de la tension efficace complexe aux bornes du condensateur du $\;R\,L\,C\;$ série selon la variable $\;\omega$ , celle-ci ayant été remplacée par $\;x$ , il ne peut s'agir de la même fonction mais la valeur restant la même et l'usage en physique étant que nous adoptions le plus souvent la même lettre pour la fonction et la valeur de la fonction, nous conservons la même notation $\;{\underline {U_{C}}}\;$ pour la fonction, quelle que soit la variable $\;\omega \;$ ou $\;x$ .
↑ Il est utile de la retenir, surtout pour faire l'étude des filtrages linéaires dans les chapitres suivants mais si vous ne vous en souvenez plus vous la trouvez dans le paragraphe « réduction canonique de la réponse sinusoïdale forcée en tension aux bornes du condensateur d'un “ R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable ” » du chap. $4$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
↑ ^32,0 ^32,1 ^32,2 et ^32,3 On rappelle que $\;{\underline {z}}^{*}\;$ est, en physique, le complexe conjugué de $\;{\underline {z}}$ .
↑ Le dernier facteur $\;{\dfrac {\underline {U_{g}}}{{\underline {U_{g}}}^{*}}}\;$ se réduit à $\;1\;$ ${\big (}$ et donc disparaît ${\big )}\;$ si on choisit la phase à l'origine de la tension imposée par le générateur $\;\varphi _{u_{g}}\;$ nulle.
↑ Voir la solution de la question « réduction canonique de la réponse efficace complexe en tension aux bornes de la bobine parfaite » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^35,0 et ^35,1 La notion de filtrage sera vue de façon plus approfondie dans le chap. $7$ intitulé « filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode, 2ème partie » de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) » mais dès à présent on précise les notions intuitives de « passe-bande » et de « passe-bas » ;
on parle de « passe-bande » quand la réponse est d'amplitude « notable » $\;{\big (}$ à préciser ${\big )}\;$ sur un intervalle de fréquences de largeur finie à borne inférieure non nulle et qu'elle peut être « négligée » $\;{\big (}$ à préciser ${\big )}\;$ en dehors ;
on parle de « passe-bas » quand la réponse est d'amplitude « notable » $\;{\big (}$ à préciser ${\big )}\;$ sur un intervalle de fréquences de largeur finie à borne inférieure nulle et qu'elle peut être « négligée » $\;{\big (}$ à préciser ${\big )}\;$ en dehors.
↑ ^36,0 et ^36,1 C.-à-d. échelle logarithmique pour l'axe des fréquences réduites et échelle linéaire pour l'axe des valeurs efficaces $\;{\big (}$ ou l'axe des déphasages ${\big )}$ .
↑ L'argument de $\;{\dfrac {\underline {U_{g}}}{{\underline {U_{g}}}^{*}}}\;$ étant $\;\varphi _{u_{g}}-\left(-\varphi _{u_{g}}\right)=2\;\varphi _{u_{g}}$ .
↑ ^38,0 ^38,1 et ^38,2 Edward Lawry Norton (1898 - 1983) ingénieur en électricité américain, à qui on doit essentiellement le « théorème portant son nom » énoncé en $\;1926$ .
↑ Dipôle Actif Linéaire.
↑ La valeur efficace complexe de la f.e.m. est réelle car la phase initiale de la f.e.m. sinusoïdale est nulle.
↑ Léon Charles Thévenin (1857 - 1926) ingénieur français en télégraphie, à l'origine des simplifications des circuits électriques par linéarisation, on lui doit essentiellement le « théorème portant son nom » énoncé en $\;1883$ .
↑ ^42,0 et ^42,1 Dipôle Linéaire.
↑ Pont Diviseur de Courant.
↑ Voir le paragraphe « le résultat le plus utilisé : P.D.C. en sortie court-circuitée alimenté en entrée par i_e(t) » du chap. $3$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « notion de dualité “ série - parallèle ” appliquée en électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) » du chap. $4$ de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
↑ Duale de l'intensité du courant traversant l'association série.
↑ Duale de la tension imposée à l'association série.
↑ Relation invariante par dualité car le dual de $\;L\;$ est $\;C\;$ et celui de $\;C\;$ est $\;L$ .
↑ Duales des tensions aux bornes de $\;L\;$ et $\;C\;$ de l'association série.
↑ Raison pour laquelle cet ensemble est encore appelé « circuit bouchon ».
↑ Car $\;{\dfrac {-1}{j\,L\,\omega }}=j\,C\,\omega \;$ compte tenu de $\;L\,C\,\omega ^{2}=1\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {1}{L\,\omega }}=C\,\omega$ .