Signaux physiques - bis (PCSI)/Exercices/Oscillateurs amortis : régime sinusoïdal forcé, impédance complexe

Circuits équivalents d'un condensateur réel en r.s.f.

Schéma de modèles parallèle et série équivalents d'un condensateur réel en r.s.f.

     Un condensateur réel $\;{\big (}$tenant compte de la conductivité du diélectrique${\big )}\;$ est équivalent en r.s.f. à un des circuits représentés ci-contre dans lesquels les condensateurs sont parfaits :

• une association parallèle d'un conducteur ohmique de résistance $\;R_{1}\;$ et un condensateur parfait de capacité $\;C_{1}\;$ dans laquelle $\;R_{1}\;$ et $\;C_{1}\;$ sont des constantes par rapport à la fréquence,
• une association série d'un conducteur ohmique de résistance $\;R_{2}\;$ et un condensateur parfait de capacité $\;C_{2}\;$ dans laquelle $\;R_{2}\;$ et $\;C_{2}\;$ restent constantes pour une fréquence donnée mais leurs valeurs étant adaptées à cette dernière.

Conditions d'équivalence des deux associations parallèle et série en r.s.f. de pulsation ω

     Déterminer $\;R_{2}\;$ et $\;C_{2}\;$ en fonction de $\;R_{1}$, $\;C_{1}\;$ et $\;\omega \;$ pour que les deux groupements soient équivalents en régime sinusoïdal forcé de pulsation $\;\omega$.

Solution

     Il faut bien sûr refaire les schémas en électricité complexe associée au r.s.f. de pulsation $\;\omega$, pour cela on introduit, sur les schémas, les tensions et intensités instantanées complexes $\;{\big (}$usuellement en convention récepteur pour un dipôle passif${\big )}\;$ et on représente tout dipôle passif linéaire par un rectangle en précisant, à son côté, la valeur de son impédance complexe.

     Impédance complexe du dipôle$\;(1)$ : $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{{\underline {Y_{1}}}(j\,\omega )}}\;$ avec $\;{\underline {Y_{1}}}(j\,\omega )\;$ l'admittance complexe du dipôle équivalent à l'association parallèle du conducteur ohmique de conductance $\;{\dfrac {1}{R_{1}}}\;$ et du condensateur parfait d'admittance complexe $\;j\,C_{1}\,\omega \;$ soit, en utilisant la loi des nœuds en électricité complexe $\;{\underline {i}}(t)={\underline {i_{R_{1}}}}(t)+{\underline {i_{C_{1}}}}(t)\;$ dans laquelle on substitue la valeur des intensités instantanées complexes par leur expression en fonction de la tension instantanée complexe commune $\;{\underline {u}}(t)$, expression donnée par loi d'Ohm en complexe, $\;{\underline {i}}(t)={\dfrac {{\underline {u}}(t)}{R_{1}}}+j\,C_{1}\,\omega \;{\underline {u}}(t)\;$ puis, en factorisant par la tension instantanée complexe commune $\;{\underline {i}}(t)=$ $\left[{\dfrac {1}{R_{1}}}+j\,C_{1}\,\omega \right]{\underline {u}}(t)\;$ d'où $\;{\underline {Y_{1}}}(j\,\omega )=$ ${\dfrac {{\underline {i}}(t)}{{\underline {u}}(t)}}={\dfrac {1}{R_{1}}}+j\,C_{1}\,\omega \;$ et par suite $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{{\dfrac {1}{R_{1}}}+j\,C_{1}\,\omega }}\;$ soit encore «$\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}}{1+j\,R_{1}\,C_{1}\,\omega }}\;$».      Impédance complexe du dipôle$\;(2)$ : $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ est l'impédance complexe du dipôle équivalent à l'association série du conducteur ohmique de résistance $\;R_{2}\;$ et du condensateur parfait d'impédance complexe $\;{\dfrac {1}{j\,C_{2}\,\omega }}\;$ soit, en utilisant la loi des mailles en électricité complexe $\;{\underline {u}}(t)={\underline {u_{R_{2}}}}(t)+{\underline {u_{C_{2}}}}(t)\;$ dans laquelle on substitue la valeur des tensions instantanées complexes par leur expression en fonction de l'intensité instantanée complexe commune $\;{\underline {i}}(t)$, expression donnée par loi d'Ohm en complexe, $\;{\underline {u}}(t)$ $=R_{2}\;{\underline {i}}(t)+{\dfrac {{\underline {i}}(t)}{j\,C_{2}\,\omega }}\;$ puis, en factorisant par l'intensité instantanée complexe commune $\;{\underline {u}}(t)=\left[R_{2}+{\dfrac {1}{j\,C_{2}\,\omega }}\right]{\underline {i}}(t)\;$ d'où «$\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u}}(t)}{{\underline {i}}(t)}}=R_{2}+{\dfrac {1}{j\,C_{2}\,\omega }}\;$».

     Conditions d'équivalence des dipôles : ces dipôles sont équivalents s'ils ont même impédance complexe, c'est-à-dire si leurs parties réelles sont égales et si leurs parties imaginaires le sont aussi ;

     Conditions d'équivalence des dipôles : comme on souhaite mettre $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;$ sous la forme algébrique $\;{\mathcal {R}}\!\left[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\right]+j\,{\mathcal {I}}\!\left[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\right]$, on multiplie haut et bas par le complexe conjugué du dénominateur $\Rightarrow$ $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{1}\,(1-j\,R_{1}\,C_{1}\,\omega )}{1+R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}}={\dfrac {R_{1}}{1+R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}}-j\,{\dfrac {R_{1}^{2}\,C_{1}\,\omega }{1+R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}}$,

     Conditions d'équivalence des dipôles : la mise de $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;$ sous la forme algébrique $\;{\mathcal {R}}\!\left[{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\right]+j\,{\mathcal {I}}\!\left[{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\right]\;$ étant quasiment réalisée selon $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )=$ $R_{2}-j\,{\dfrac {1}{C_{2}\,\omega }}\;$ ;

• en égalant les parties réelles on trouve «$\;R_{2}={\dfrac {R_{1}}{1+R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}}<R_{1}\;$».
• et, en égalant les parties imaginaires, on obtient $\;{\dfrac {1}{C_{2}\,\omega }}={\dfrac {R_{1}^{2}\,C_{1}\,\omega }{1+R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}}\;$ soit encore «$\;C_{2}=C_{1}\,{\dfrac {1+R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}{R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}}>C_{1}\;$».

 

Conditions de fréquence pour que les deux associations parallèle et série en r.s.f. aient même constante de temps

     Pour quelle valeur $\;\omega _{0}\;$ de $\;\omega \;$ a-t-on même constante de temps pour les deux circuits en r.s.f. $\;{\big (}$on précisera les valeurs de $\;R_{2}\;$ et $\;C_{2}\;$ en fonction de $\;R_{1}\;$ et $\;C_{1}\;$ pour cette valeur de pulsation${\big )}$ ?

Solution

     Les deux dipôles auront même constante de temps si «$\;R_{1}\,C_{1}=R_{2}\,C_{2}\;$» soit, en remplaçant $\;R_{2}\;$ et $\;C_{2}\;$ par leur expression en fonction de $\;R_{1}$, $\;C_{1}\;$ et $\;\omega \;$ c'est-à-dire «$\;R_{2}={\dfrac {R_{1}}{1+R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}}\;$» et «$\;C_{2}=$ $C_{1}\,{\dfrac {1+R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}{R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}}\;$», l'équation suivante $\;R_{1}\,C_{1}={\dfrac {R_{1}}{1+R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}}\;C_{1}\,{\dfrac {1+R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}{R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega }}\;$ ou $\;1={\dfrac {1}{R_{1}^{2}\,C_{1}^{2}\,\omega ^{2}}}\;$ ou encore $\;1={\dfrac {1}{R_{1}\,C_{1}\,\omega }}\;$ réalisé pour la pulsation «$\;\omega _{0}={\dfrac {1}{R_{1}\,C_{1}}}={\dfrac {1}{R_{2}\,C_{2}}}\;$» ;

     pour cette pulsation on trouve «$\;R_{2}(\omega _{0})={\dfrac {R_{1}}{2}}\;$» et «$\;C_{2}(\omega _{0})=2\,C_{1}\;$».

 

Intensités dans chaque branche montée en parallèle et soumise à une tension sinusoïdale de valeur efficace et de fréquence fixées

Schéma d'un circuit constitué de deux branches, $\;R\,L\;$ série et $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace et de fréquence fixées

     On considère le circuit ci-contre constitué de deux branches soumises à une même tension sinusoïdale $\;u(t)=U\,{\sqrt {2}}\cos(\omega \,t)$ :

• la branche $\;({\mathfrak {1}})\;$ associant en série un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ et une bobine parfaite d'inductance propre $\;L$,
• la branche $\;({\mathfrak {2}})\;$ associant en série un même conducteur ohmique de résistance $\;R$, une même bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ et un condensateur parfait de capacité $\;C$.

Détermination des intensités efficaces et des phases à l'origine des courants circulant dans chaque branche

     Déterminer les intensités efficaces $\;I_{1}\;$ et $\;I_{2}\;$ ainsi que les phases à l'origine $\;\varphi _{i_{1}}\;$ et $\;\varphi _{i_{2}}\;$ des courants d'intensités instantanées $\;i_{1}(t)\;$ et $\;i_{2}(t)$.

Solution

Schéma d'un circuit constitué de deux branches, $\;R\,L\;$ série et $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension instantanée complexe de valeur efficace complexe et de fréquence fixées

     Il convient d'abord de refaire le schéma en notation complexe associée au r.s.f. de pulsation $\;\omega \;$ ${\big (}$voir ci-contre${\big )}$, la tension instantanée complexe imposée aux deux branches étant «$\;{\underline {u}}(t)={\underline {U}}\,{\sqrt {2}}\,\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$» avec «$\;{\underline {U}}=U\;$ la tension efficace complexe » ;

     la branche $\;({\mathfrak {1}})\;$ est traversée par un courant d'intensité instantanée complexe «$\;{\underline {i_{1}}}(t)={\underline {I_{1}}}\,{\sqrt {2}}\,\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$» avec «$\;{\underline {I_{1}}}=$ $I_{1}\,\exp \!\left(j\,\varphi _{i_{1}}\right)$ l'intensité efficace complexe du courant circulant dans la branche $\;({\mathfrak {1}})\;$» et

     la branche $\;({\mathfrak {2}})\;$ est traversée par un courant d'intensité instantanée complexe «$\;{\underline {i_{2}}}(t)={\underline {I_{2}}}\,{\sqrt {2}}\,\exp \!\left(j\,\omega \,t\right)\;$ avec $\;{\underline {I_{2}}}=$ $I_{2}\,\exp \!\left(j\,\varphi _{i_{2}}\right)$ l'intensité efficace complexe du courant circulant dans la branche $\;({\mathfrak {2}})\;$».

     Étude du courant traversant la branche$\;(1)$ : l'impédance complexe de la branche association série d'un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ et d'une bobine parfaite d'impédance complexe $\;j\,L\,\omega \;$ s'évalue selon $\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )=R+j\,L\,\omega \;$, on en déduit l'intensité efficace complexe du courant la traversant par application de la loi d'Ohm en complexe soit «$\;{\underline {I_{1}}}={\dfrac {U}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}={\dfrac {U}{R+j\,L\,\omega }}\;$» ;      Étude du courant traversant la branche$\;\color {transparent}{(1)}$ : l'intensité efficace du courant traversant la branche étant le module de l'intensité efficace complexe on en déduit «$\;I_{1}=\vert {\underline {I_{1}}}\vert ={\dfrac {U}{\sqrt {R^{2}+L^{2}\,\omega ^{2}}}}\;$» ;      Étude du courant traversant la branche$\;\color {transparent}{(1)}$ : la phase à l'origine de l'intensité du courant traversant la branche étant l'argument de l'intensité efficace complexe on en déduit «$\;\varphi _{i_{1}}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {I_{1}}}\right]=0-\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega }{R}}\right)=-\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega }{R}}\right)\;$» ;      Étude du courant traversant la branche$\;(2)$ : l'impédance complexe de la branche association série d'un conducteur ohmique de résistance $\;R$, d'une bobine parfaite d'impédance complexe $\;j\,L\,\omega \;$ et d'un condensateur parfait d'impédance complexe $\;{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}\;$ s'évalue selon $\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )=R+j\,L\,\omega +{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}=R+j\left(L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}\right)\;$, on en déduit l'intensité efficace complexe du courant la traversant par application de la loi d'Ohm en complexe soit «$\;{\underline {I_{2}}}={\dfrac {U}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}={\dfrac {U}{R+j\left(L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}\right)}}\;$» ;      Étude du courant traversant la branche$\;\color {transparent}{(2)}$ : l'intensité efficace du courant traversant la branche étant le module de l'intensité efficace complexe on en déduit «$\;I_{2}=\vert {\underline {I_{2}}}\vert ={\dfrac {U}{\sqrt {R^{2}+\left(L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}\right)^{\!\!2}}}}\;$» ;      Étude du courant traversant la branche$\;\color {transparent}{(2)}$ : la phase à l'origine de l'intensité du courant traversant la branche étant l'argument de l'intensité efficace complexe on en déduit «$\;\varphi _{i_{2}}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {I_{2}}}\right]=0-\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}}{R}}\right)=-\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}}{R}}\right)\;$».

 

Condition pour que les courants circulant dans chaque branche soit en quadrature de phase

     Pour quelle valeur de $\;C$, $\;i_{1}(t)\;$ et $\;i_{2}(t)\;$ sont-elles en quadrature de phase ?

Solution

     On remarque que $\;\vert \varphi _{i_{2}}\vert =\arctan \!\left({\dfrac {{\bigg \vert }L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}{\bigg \vert }}{R}}\right)<\arctan \!\left({\dfrac {L\,\omega }{R}}\right)=\vert \varphi _{i_{1}}\vert \;$ avec $\;\varphi _{i_{1}}<0\;$ $\Rightarrow$ $\;\varphi _{i_{2}}>\varphi _{i_{1}}$, d'où l'éventuelle quadrature de phase entre $\;i_{1}(t)\;$ et $\;i_{2}(t)\;$ ne peut correspondre qu'à une quadrature avance de $\;i_{2}(t)\;$ sur $\;i_{1}(t)\;$ c'est-à-dire à «$\;\varphi _{i_{2}}-\varphi _{i_{1}}={\dfrac {\pi }{2}}\;$» ou encore à «$\;\tan(\varphi _{i_{2}}-\varphi _{i_{1}})=+\infty \;$» ;      or «$\;\tan(\varphi _{i_{2}}-\varphi _{i_{1}})={\dfrac {\tan(\varphi _{i_{2}})-\tan(\varphi _{i_{1}})}{1+\tan(\varphi _{i_{2}})\,\tan(\varphi _{i_{1}})}}\;$» atteint $\;+\infty \;$ si «$\;\tan(\varphi _{i_{2}})\,\tan(\varphi _{i_{1}})=-1\;$» soit «$\;\left({\dfrac {L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}}{R}}\right)\!{\dfrac {L\,\omega }{R}}=-1\;$» condition équivalente à $\;L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}=-{\dfrac {R^{2}}{L\,\omega }}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {1}{C\,\omega }}=$ $L\,\omega +{\dfrac {R^{2}}{L\,\omega }}\;$ ou encore $\;{\dfrac {1}{C\,\omega }}={\dfrac {R^{2}+L^{2}\,\omega ^{2}}{L\,\omega }}\;$ soit finalement la condition pour que $\;i_{2}(t)\;$ soit en quadrature avance sur $\;i_{1}(t)\;$ «$\;C={\dfrac {L}{R^{2}+L^{2}\,\omega ^{2}}}\;$».

 

Condition supplémentaire pour que les courants circulant dans chaque branche aient même intensité efficace

     On veut de plus que $\;i_{1}(t)\;$ et $\;i_{2}(t)\;$ aient même valeur efficace ;

     déterminer alors $\;R\;$ et $\;C\;$ en fonction de $\;L\;$ et $\;\omega$.

Solution

     Avec la condition de quadrature de phase des intensités des courants traversant chaque branche on peut réécrire l'expression de l'intensité efficace $\;I_{2}\;$ sous la forme $\;I_{2}={\dfrac {U}{\sqrt {R^{2}+\left(L\,\omega -{\dfrac {1}{C\,\omega }}\right)^{\!2}}}}=$ ${\dfrac {U}{\sqrt {R^{2}+\left(L\,\omega -{\dfrac {R^{2}+L^{2}\,\omega ^{2}}{L\,\omega }}\right)^{\!2}}}}={\dfrac {U}{\sqrt {R^{2}+{\dfrac {R^{4}}{L^{2}\,\omega ^{2}}}}}}\;$ soit «$\;I_{2}={\dfrac {U\,L\,\omega }{R\,{\sqrt {L^{2}\,\omega ^{2}+R^{2}}}}}\;$» et      $\;i_{1}(t)\;$ et $\;i_{2}(t)\;$ auront même valeur efficace si $\;I_{2}={\dfrac {U\,L\,\omega }{R\,{\sqrt {L^{2}\,\omega ^{2}+R^{2}}}}}\;$ est égale à $\;I_{1}={\dfrac {U}{\sqrt {R^{2}+L^{2}\,\omega ^{2}}}}\;$ d'où «$\;R=L\,\omega \;$» ;      par report dans la condition de quadrature de phase entre les intensités de courant traversant les deux branches on en déduit $\;C={\dfrac {L}{R^{2}+L^{2}\,\omega ^{2}}}={\dfrac {L}{2\,L^{2}\,\omega ^{2}}}\;$ soit finalement «$\;C={\dfrac {1}{2\,L\,\omega ^{2}}}\;$» ou «$\;{\dfrac {1}{C\,\omega }}=2\,L\,\omega \;$».