Similitude/Devoir/Complexes, suites et similitudes
On se place dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal.
1° On prend d'affixes .
- On fixe deux réels : et et pour tout , on définit le point à partir des points et par :
- et .
- On obtient ainsi une suite de points .
- Pour tout , on note l'affixe du vecteur et l'affixe du point .
- Calculez .
2° a) Montrez que pour tout , .
- b) Déduisez-en, pour tout , l'expression de en fonction de , et .
- c) Dans cette question, on suppose et .
- Calculez pour et pour et placez les points en prenant 8 cm pour unité de longueur.
Dans toute la suite du problème, on suppose .
1° Pour tout , exprimez en fonction de et , déduisez-en que pour tout .
2° On rappelle que pour tout nombre complexe ,
- .
- Calculez, pour tout , en fonction de , et .
3° On note le point d'affixe et, pour tout , l'affixe du vecteur .
- a) Calculez en fonction de , et .
- b) Démontrez que le module de tend vers quand tend vers et interprétez géométriquement ce résultat.
4° a) Établissez qu'il existe un nombre complexe tel que pour tout .
- b) En interprétant géométriquement la relation précédente, déterminez une similitude directe telle que pour tout ,
- .
- Précisez le centre, le rapport et l'angle de cette similitude.
5° Dans cette question, on suppose à nouveau que et .
- a) Calculez et placez sur la figure précédemment tracée.
- b) Indiquez une construction géométrique simple de connaissant et et placez les points sur la figure.
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1° .
2° a) et .
- b) .
- c)
- .
1° Pour tout , donc d'où, par récurrence : pour tout , . En effet,
- cette égalité est vraie pour : et
- si elle l'est pour , elle l'est encore pour : .
2° .
- Remarque : pour et , on peut vérifier le calcul ci-dessus de : .
3° a) .
- b) car . Par conséquent, .
4° a) pour .
- b) , où est la similitude directe de centre , de rapport et d'angle .
5° a) .
- b) est un triangle isocèle rectangle en et direct.