Similitude/Exercices/Problèmes de constructions

Exercice 7-1

Le plan complexe ${\mathcal {P}}$ est muni d'un repère orthonormal direct $(O;{\vec {u}},\,{\vec {v}})$. On note $A$ le point d'affixe $2$.

Soit $\varphi :{\mathcal {P}}\to {\mathcal {P}}$ l'application qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe :

$z'={\frac {3+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}}z+{\frac {1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}$.

1°  Déterminez :

a)  l'affixe de l'image $\varphi (A)$ du point $A$ ;

b)  l'affixe du point $P$ tel que $\varphi (P)=O$.

2°  Déterminez la nature et les éléments caractéristiques de $\varphi$.

3°  Lorsque $M\neq A$ et $M'=\varphi (M)$ :

a)  démontrez que le triangle $AMM'$ est rectangle en $M'$ et précisez les angles du triangle $AMM'$ ;

b)  le point $M$ étant donné, déduisez-en une construction au compas du point $M'$.

Solution

1°  a)  $\varphi (A)=A$.

b)  L'affixe de $P$ est $-{\frac {\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}{\frac {3+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}}}={\frac {2\mathrm {i} }{\sqrt {3}}}$.

2°  $\varphi$ est la similitude directe de centre $A$, de rapport $\left|{\frac {3+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}}\right|={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ et d'angle $\arg {\frac {3+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}}=\arg {\frac {{\sqrt {3}}+\mathrm {i} }{2}}={\frac {\pi }{6}}$.

3°  a)  ${\frac {AM}{AM}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}=\cos {\frac {\pi }{6}}$ et $\left({\overrightarrow {AM}},{\overrightarrow {AM'}}\right)={\frac {\pi }{6}}$, donc $AMM'$ est rectangle en $M'$ et $\left({\overrightarrow {MM'}},{\overrightarrow {MA}}\right)={\frac {\pi }{3}}$.

b)  Soit $AMM''$ équilatéral direct. $M'$ est à l'intersection de $[MM'']$ et du cercle de diamètre $[AM]$.

 

Exercice 7-2

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct d'origine $O$.

$r$ est un réel strictement positif.

On considère les points $A(-1,0)$, $A'(r,0)$ et $I(0,-r)$.

Soient ${\mathcal {C}}$ le cercle de centre $A$ et de rayon $1$ et ${\mathcal {C}}'$ le cercle de centre $A'$ et de rayon $r$.

1. Déterminez le centre et le rayon du cercle ${\mathcal {C}}_{1}$ transformé du cercle ${\mathcal {C}}'$ par la similitude $s$ de centre $I$, de rapport ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$ et d'angle ${\frac {\pi }{4}}$.
2. Dans cette question, $r<2{\sqrt {2}}$. Construisez deux triangles isocèles $IMM'$ rectangles en $M$, tels que $M\in {\mathcal {C}}$ et $M'\in {\mathcal {C}}'$.

Solution

1. ${\mathcal {C}}_{1}$ a pour centre $O$ et pour rayon ${\frac {r}{\sqrt {2}}}$.
2. Il suffit de prendre pour $M$ l'un des deux points de ${\mathcal {C}}_{1}\cap {\mathcal {C}}$ et pour $M'$, son antécédent par $s$.

 

Exercice 7-3

Soient $d$ et $d'$ deux droites distinctes et $A$ un point de $d'$ extérieur à $d$.

On se propose de construire $B\in d$ et $C\in d'$ tels que $ABC$ soit isocèle et rectangle en $B$.

1. En utilisant une similitude convenable, prouvez que pour tout triangle direct $ABC$ isocèle et rectangle en $B$, le point $B$ est sur $d$ si et seulement si $C$ est sur une droite fixe $\Delta$.
2. Montrer de même que pour tout triangle indirect $ABC$ isocèle et rectangle en $B$, le point $B$ est sur $d$ si et seulement si $C$ est sur une droite fixe $\Delta '$.
3. En déduire un procédé de construction à la règle et au compas d'un triangle $ABC$ solution du problème.

Solution

1. Soit $s$ la similitude directe de centre $A$, d'angle ${\frac {\pi }{4}}$ et de rapport ${\sqrt {2}}$. Pour tout triangle direct $ABC$ isocèle et rectangle en $B$, on a $s(B)=C$ donc $B\in d\Leftrightarrow C\in \Delta :=s(d)$.
2. Idem en utilisant la similitude indirecte $s'$ de centre $A$, d'angle $-{\frac {\pi }{4}}$ et de rapport ${\sqrt {2}}$.
3. On construit facilement $\Delta$ et $\Delta '$. Puisqu'elles sont perpendiculaires, au moins l'une des deux coupe $d'$, en un point $C$. On prend ensuite, selon le cas, $B=s^{-1}(C)$ ou $B=s'^{-1}(C)$ (qui se trouve sur $d$ et sur la médiatrice de $[AC]$).