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'''Exercices non directifs (une unique question)'''
Exercice 1 :
Considérons l'image de <math>\left.E\right.</math> par la fonction <math>\left.\text{Arctan}\right.</math>.
Exercice 1 :
<math>\text{Arctan}(E) \subset \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[</math> donc, d'après le principe des tiroirs, on peut choisir <math>\left. x,y \in E\right.</math> tels que <math>0 \leq \text{Arctan}(x) - \text{Arctan}(y) \leq \frac{\pi}{12}</math>.
Par croissance de la fonction <math>\left.\text{tan}\right.</math> sur <math>\left[0,\frac{\pi}{12}\right]</math>, on a <math>0 \leq \text{tan}\left(\text{Arctan}(x) - \text{Arctan}(y)\right) \leq \text{tan}\left(\frac{\pi}{12}\right) = 2 - \sqrt{3}</math>.
Soit <math>\left.E\right.</math> un sous-ensemble de <math>\mathbb{R}</math> de cardinal 13. Montrer :
Or <math>\text{tan}\left(\text{Arctan}(x) - \text{Arctan}(y)\right) = \frac{\text{tan}\left(\text{Arctan}(x)\right) - \text{tan}\left(\text{Arctan}(y)\right)}{1 + \text{tan}\left(\text{Arctan}(x)\right)\text{tan}\left(\text{Arctan}(y)\right)} = \frac{x-y}{1+xy}</math>. <math>\square</math>
<center><math> \exists (x,y) \in E^2, 0 < \frac{x-y}{1+xy} \leq 2 - \sqrt{3} </math></center>
Exercice 2 :
PuisqueSoient <math>\left.A,B \in \right.mathcal{M}_n(\mathbb{R})</math> ettelles que <math>\left.BAB=BA\right.</math>. commutent,Montrer on aque <math>\left.text{det}(A^2+B^2) =\geq (A+iB)(A-iB)\right.0</math>, et donc :.
<center><math>\det\left(A^2+B^2\right) = \det(A+iB) \, \det(A-iB) = \det(A+iB) \, \overline{\det(A+iB)} = \left| \det(A+iB) \right|^2 \geq 0</math></center>.
Exercice 3 :
RappelonsSoit <math>A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})</math>. Montrer que <math>\exp(A) =\in \sum_mathbb{k=0C}^{+\infty}{\frac{[A^k}{k!}}]</math>.
Exercice 4 :
Soit <math>P_m = \sum_{k=0}^{m}{\frac{X^k}{k!}}</math>. <math>\left(P_m(A)\right)</math> converge vers <math>\left.\exp(A)\right.</math>.
Pour toutSoit <math>mn \in \mathbb{N}</math>, la division euclidienne de <math>\left.P_m\right.</math> parRésoudre <math>\left.\chi_A\right.</math>dans donne <center><math>\left.P_m = Q_m \chi_A + R_m \textmathcal{ avec M} R_m \in _2(\mathbb{CR}_{n-1}[X]\right.)</math></center>. l'équation
<center><math>M^n = \left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 4 & 6 \\ \end{array} \right)</math></center>
Exercice 5 :
donc <center><math>P_m\left(A\right) = R_m(A) \in \mathbb{C}_{n-1}[A] \text{ car } \chi(A) = 0 \text{ (Cayley-Hamilton)}</math></center>
OrSoit <math>\mathbb{C}_{n-1}[A]</math> est\in fermé dans <math>\mathcal{M}_n(\mathbb{CR})</math> donctelle que <math>\exp(left.A)^q = I_n\lim_{mright.</math> \rightarrowavec +\infty}{P_m(A)}<math>q \in \mathbb{CN}_{n-1}[A] \subset \mathbb{C}[A] ^*</math>. Montrer :
<center><math>\dim \text{Ker} (A - I_n) = \frac{1}{q} \sum_{k=1}^q{\text{Tr} A^k}</math></center>
Exercice 46 :
NotonsSoit <math>A = \left(in \beginmathcal{arrayM}_n(\mathbb{ccR})</math> 2antisymétrique. &Que 3dire \\ 4 & 6de <math>\exp\ \end{array} left(A\right)</math>. ?
Exercice 7 :
Si <math>\left.M\right.</math> est solution de l'équation, alors <math>\left.M\right.</math> commute avec <math>\left.A\right.</math> ce qui siginifie, en considérant les endomorphismes associés <math>\left.a\right.</math> et <math>\left.m\right.</math>, que <math>\left.m\right.</math> stabilise les espaces propres de <math>\left.a\right.</math>, i.e. que <math>\left.a\right.</math> et <math>\left.m\right.</math> sont diagonalisables dans une même base.
Donner une base de <math>\mathcal{M}_n(\mathbb{R})</math> constituée de projecteurs.
Un simple calcul montre que <math>A = P \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 8 \\ \end{array} \right) P^{-1} \text{ avec } P = \left(\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -2 & 2 \\ \end{array}\right)</math>.
Exercice 8 :
D'après l'argument ci-dessus, on a également <math>\left.M = P N P^{-1}\right. \text{ avec N diagonale}</math>. l'équation devient alors <math>P N^n P^{-1} = P \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 8 \\ \end{array} \right) P^{-1}</math>, i.e. <math>N^n = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 8 \\ \end{array} \right)</math>.
SiSoit <math>\left.nE\right.</math> est pair, il y a deux solutions :un <math>M = P \left( \beginmathbb{array}{ccR}</math>-espace 0vectoriel &de 0dimension \\finie. 0Déterminer &les 8^{\frac{1}{n}}endomorphismes \\de <math>\end{array} left.E\right) P^{-1}.</math> etqui <math>Msont =représentés Ppar \left(la \begin{array}{cc}même 0matrice &dans 0toutes \\les 0bases &de -8^{<math>\frac{1}{n}} \\ \end{array} left.E\right) P^{-1}.</math>.
Exercice 9 :
Si <math>\left.n\right.</math> est impair, l'unique solution est <math>M = P \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 8^{\frac{1}{n}} \\ \end{array} \right) P^{-1}</math>
Montrer qu'une matrice de rang 1 est nilpotente ou diagonalisable.
Exercice 5 :
Exercice 10 :
<math>A^q - I_n = \left(A - I_n\right) \left(\sum_{k=0}^{q-1}{A^k}\right)</math>
Donner un couple <math>\left(E,u\right)</math> où <math>\left.E\right.</math> est un <math>\mathbb{C}</math>-espace vectoriel et <math>u \in \mathcal{L}(E)</math> n'admettant pas de polynôme annulateur non nul.
D'après le lemme des noyaux, <math>\mathbb{R}^n = \text{Ker}\left(A - I_n\right) \oplus \text{Ker}\left(\sum_{k=0}^{q-1}{A^k}\right) </math>
Exercice 11 :
On déduit de cette égalité et du théorème du rang : <math>\dim \text{Ker}\left(A - I_n\right) = \text{rg}\left(\sum_{k=0}^{q-1}{A^k}\right)</math>
Or, commeSoit <math>\left(A^k\right)_{kN \in \mathcal{M}_n(\mathbb{N}R})</math> estnilpotente qui commute avec sa transposée. Montrer que <math>\left.qN=0\right.</math>-périodique, <math>\sum_{k=0}^{q-1}{A^k} = \sum_{k=1}^{q}{A^k}</math>.
Exercice 12 :
On termine en vérifiant que <math>\frac{1}{q}\sum_{k=1}^q{A^k}</math> est un projecteur. En effet :
<center><math>\left(\frac{1}{q}\sum_{k=1}^{q}{A^k}\right)^2 = \frac{1}{q^2}\sum_{i=1}^q{\sum_{j=1}^q{A^{i+j}}} = \frac{1}{q^2}\sum_{i=1}^q{\sum_{j=1}^q{A^j}} = \frac{1}{q}\sum_{k=1}^q{A^k}</math></center>
Soient <math>A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}), B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})</math>. Montrer que <math>\left.AB\right.</math> est diagonalisable.
Alors <math>\text{rg}\left(\sum_{k=1}^q{A^k}\right) = \text{rg}\left(\frac{1}{q}\sum_{k=1}^q{A^k}\right) = \text{Tr} \left(\frac{1}{q}\sum_{k=1}^q{A^k}\right) = \frac{1}{q}\sum_{k=1}^q{\text{Tr} A^k}</math>
Exercice 613 :
Calculer <math>\int_0^{+\infty}{e^{-t} \ln t \, \mathrm{d}t}</math>.
<math>\exp\left(A\right)</math> est une rotation.
Exercice 14 :
En effet :
* <math>\exp\left(A\right) \left(\exp\left(A\right)\right)^t = I_n</math> car <center><math> \exp\left(A\right) \left(\exp\left(A\right)\right)^t = \exp\left(A\right) \exp\left(A^t\right) = \exp\left(A\right) \exp\left(-A\right) = \underbrace{\exp(A-A)}_{\text{A et -A commutent}} = \exp(0) = I_n </math></center>
* <math>\det \left(\exp A\right) = \exp\left(\text{Tr} A\right) = \exp(0) = 1</math>
La formuleSoit <math>\det \left(\exp A.E\right).</math> =un <math>\exp\left(\textmathbb{TrC} A\right) </math>-espace senormé démontre en trigonalisantet <math>u : E \left.Arightarrow \right.mathbb{C}</math> enune tantforme quelinéaire. matriceMontrer complexe.que
<center> <math>\left.u\right.</math> est continue <math>\Leftrightarrow</math> Ker <math>\left.u\right.</math> est fermé dans <math>\left.E\right.</math></center>
Exercice 1015 :
Quelle est la nature de la série de terme général <math>\sin\left(\pi\left(3+\sqrt{5}\right)^n\right)</math> ?
<math>\left.E\right.</math> ne peut être de dimension finie (d'après le théorème de Cayley-Hamilton). Réponse possible :
Exercice 16 :
* <math>E = \mathcal{C}^{\infty}\left(\mathbb{R},\mathbb{C}\right)</math>
* <math> \left. u : f \in E \mapsto f' \in E \right. </math>.
Convergence et somme de la série de terme général <math>\text{Arctan}\left(\frac{1}{n^2+n+1}\right)</math>
En effet, <math>u \in \mathcal{L}\left(\mathcal{C}^{\infty}\left(\mathbb{R},\mathbb{C}\right)\right)</math> et si <math>\left.u\right.</math> admet un polynôme annulateur non nul, alors <math>\mathcal{C}^{\infty}\left(\mathbb{R},\mathbb{C}\right) = \text{Ker} P(u)</math>. Or, si <math>\left.n = \text{deg} \, P > 0\right.</math>, alors <math>\left.\text{Ker} P(u)\right.</math> est de dimension <math>\left.n\right. < \infty</math>. On aboutit à la contradiction que <math>\mathcal{C}^{\infty}\left(\mathbb{R},\mathbb{C}\right)</math> est un espace vectoriel de dimension finie.
Exercice 1117 :
Soit <math>pf \in: [0,1] \mathbb{N}rightarrow [0,1] </math> l'indicecroissante. deMontrer nilpotence deque <math>\left.Nf\right.</math> admet un point fixe.
Exercice 18 :
<math>\left(N N^t\right)^p = N^p \left(N^t\right)^p = 0</math>
Donner une primitive de <math>x \mapsto \frac{1}{2 + \sin x}</math>.
Or <math>\left.N N^t\right.</math> est diagonalisable car symétrique réelle. Soit <math>\lambda \in \mathbb{R}</math> une valeur propre de <math>\left.N N^t\right.</math>, <math>X \in \mathcal{M}_{n,1}\left(\mathbb{R}\right) \setminus \{0\}</math> un vecteur propre associé.
Exercice 19 :
Alors, <math>\left(N N^t\right)^p X = \lambda^p X = 0 </math> donc <math>\left.\lambda^p = 0\right.</math> et <math>\left.\lambda = 0\right.</math>. On a donc <math>\left.N N^t = 0\right.</math>.
Nature de la série de terme général <math>u_n = \int_0^{+\infty}{e^{-t}\sin^{2n}(t) \, \mathrm{d}t}</math>.
Alors <math>\text{Tr}\left(N N^t\right) = \sum_{i=1}^n{\sum_{j=1}^n{a_{i,j}^2}} = 0</math> d'où <math>\left. \forall (i,j), a_{i,j} = 0 \text{ et } N = 0 \right.</math>.
Exercice 1320 :
D'après le théorème de convergence dominée,Déterminer <math>\int_0^{+\infty}{e^{-t} \ln t \, \mathrm{d}t} = \lim_{n \rightarrow +\infty}{\int_0^n{+\left(1-infty}{\frac{tn e^{-x}}{n}\right1 + (nx)^n \ln t2} \, \mathrm{d}tx}}</math> (c'est du cours ça !!!!!!).
Exercice 21 :
Soit <math>n \in \mathbb{N}^*</math>.
Définition, limite et équivalent de <math>I_n = \int_0^{+\infty}{\frac{e^{-n t^2}}{1+t^2} \, \mathrm{d}t}</math>.
<math>\displaystyle \begin{array}[t]{rcl} \int_0^n{\left(1-\frac{t}{n}\right)^n \ln t \, \mathrm{d}t} & = & n \int_0^1{\left(1-u\right)^n \ln \left(n u \right) \, \mathrm{d}u} \\ & = & n \ln n \int_0^1{\left(1-u\right)^n \, \mathrm{d}u} \, + \, n \int_0^1{\left(1-u\right)^n \ln u \, \mathrm{d}u} \\ & = & \frac{n}{n+1} \ln n \, + \, n \int_0^1{\left(1-u\right)^n \ln u \, \mathrm{d}u} \\ & = & \frac{n}{n+1} \ln n \, + \, n \int_0^1{x^n \ln \left(1-x\right) \, \mathrm{d}x} \\ & = & \frac{n}{n+1} \ln n \, - \, n \int_0^1{x^n \sum_{k=1}^{+\infty}{\frac{x^k}{k}} \, \mathrm{d}x} \\ & = & \frac{n}{n+1} \ln n \, - \, n \sum_{k=1}^{+\infty}{\int_0^1{\frac{x^{n+k}}{k} \, \mathrm{d}x}} \text{ (sommation L1)} \\ & = & \frac{n}{n+1} \ln n \, - \, \sum_{k=1}^{+\infty}{\frac{n}{(n+k+1)k}} \\ & = & \frac{n}{n+1} \ln n \, - \, \frac{n}{n+1}\sum_{k=1}^{+\infty}{\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{n+k+1}\right)} \text{ (DES)}\\ & = & \frac{n}{n+1} \ln n \, - \, \frac{n}{n+1} \left( 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n+1} \right) \\ & = & \frac{n}{n+1} \ln n \, - \, \frac{n}{n+1} \left( \ln n + \gamma + o(1) \right) \\ & = & {}- \gamma + o(1) \end{array} </math>
Exercice 22 :
On en déduit que <math>\int_0^{+\infty}{e^{-t} \ln t \, \mathrm{d}t} = {}- \gamma</math>
Soit <math>f(x) = \int_0^\pi{\ln \left(x^2-2x \cos \theta + 1 \right) \, \mathrm{d}\theta}</math>. Etudier la définition de <math>\left.f\right.</math> sur <math>\mathbb{R}</math> puis calculer <math>\left.f(x)\right.</math>.
Exercice 15 :
Exercice 23 :
Justifier, pour <math>x \in \mathbb{R}</math>, l'existence de <math>\int_0^{+\infty}{\frac{e^{-t} \sin(tx)}{t} \, \mathrm{d}t}</math> puis la calculer.
Exercice 24 :
Montrer qu'il existe <math>(a_n)_{n \geq 0} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}</math> telle que :
<center><math>\forall t \in \mathbb{R}, | \sin t | = \sum_{n=0}^{+\infty}{a_n \sin^2(nt)}</math></center>
Exercice 25 :
Résoudre l'équation différentielle <math>\left. y'' + y = \text{cotan} \, x \right.</math> sur <math>\left.]0,\pi[\right.</math>.
Exercice 26 :
Résoudre <math>\left. y^{(4)} - y = 0 \right.</math> avec les conditions initiales <math>\left.y(0)=1,y'(0)=y''(0)=y'''(0)=0\right.</math>.
Exercice 27 :
Soit <math>\left.(E) \, : \, x'' + q(t) x = 0\right.</math> avec <math>q : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}</math> continue et intégrable. Montrer que <math>\left(E\right)</math> possède des solutions non bornées sur <math>\mathbb{R}_+</math>.
Exercice 28 :
Soit <math>f \in \mathcal{C}^1\left(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}\right)</math> telle que <math>\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} = 0</math>. Etablir l'existence de <math>\varphi \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> telle que <math>\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, f(x,y) = \varphi(y-x)</math>.
Exercice 29 :
Soit <math>\left.\mathcal{E}\right.</math> une ellipse de centre <math>\left.O\right.</math>. Calculer la distance maximale de <math>\left.O\right.</math> aux normales à <math>\left.\mathcal{E}\right.</math>.
Exercice 30 :
Soient <math>A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})</math>. On suppose que <math>\det(A) \wedge \det(B) = 1</math>. Montrer qu'il existe <math>(U,V) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})^2</math> tel que <math>\left.AU + BV = I_n\right.</math>.
Exercice 31 :
Déterminer le chiffre des unités de <math>7^{7^7}</math>.
<math>\left.\alpha = 3 + \sqrt{5}\right.</math> ainsi que <math>\left.\overline{\alpha} = 3 - \sqrt{5}\right.</math>
sont racines du polynôme <math>\left.X^2-6X+4\right.</math>.
Exercice 32 :
Pour tout <math>n \in \mathbb{N}, \alpha^n + \overline{\alpha}^n \in \mathbb{N}</math>. En effet,
Soit <math>n \in \mathbb{N}^*</math> et <math>\left.A\right.</math> l'ensemble des polynômes unitaires de degré <math>\left.n\right.</math> à coefficients dans <math>\mathbb{Z}</math> et dont les racines complexes sont de module 1. Montrer que <math>\left.A\right.</math> est fini.
<center><math>\forall n \in \mathbb{N}, \alpha^n + \overline{\alpha}^n = \sum_{k=0}^n{\text{C}_n^k 3^{n-k} \sqrt{5}^k} +
\sum_{k=0}^n{\text{C}_n^k 3^{n-k} (-\sqrt{5})^k} = 2 \sum_{p=0}^{\text{E}\left(\frac{n}{2}\right)}{\text{C}_n^{2p} 3^{n-2p} 5^p} \in \mathbb{N}</math></center>.
Exercice 33 :
Or <math>\left| \overline{\alpha} \right| < 1</math> donc <math>\lim_{n \rightarrow +\infty}{\overline{\alpha}^n}=0</math>.
Déterminer les polynômes <math>P \in \mathbb{C}[X]</math> tels que <math>\left.X P(X+1) = (X+4) P(X)\right.</math>.
Ainsi, en notant <math>u_n = \alpha^n + \overline{\alpha}^n \in \mathbb{N}</math> pour tout <math>n \in \mathbb{N}</math>, on obtient <math>\left|\sin\left(\pi\alpha^n\right)\right| = \left|\sin\left(\pi\left(u_n - \overline{\alpha}^n\right)\right)\right| = \pi \overline{\alpha}^n + o\left(\overline{\alpha}^n\right)</math>.
Exercice 34 :
Par conséquent, la série est absolument convergente.
Soient <math>A \in \mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R})</math> et <math>B \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})</math> telles que <math>AB = \left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{array}\right)</math>.
Montrer que <math>\left.BA=I_2\right.</math>.
== Voir aussi ==
* [[Correction : Exercices de mathématiques]]
--[[Special:Contributions/90.7.51.68|90.7.51.68]] 25 août 2008 à 14:47 (UTC)<math>\mathfrak{Volkeskind}</math>
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