« Fonction dérivée/Exercices/Dérivée d'une fonction composée » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
m mise en page |
Corrections |
||
Ligne 5 :
| numero = 7
| niveau = 12
| chapitre = [[Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction composée|Dérivée d'une fonction composée]]
}}
== Exercice 1 ==
Dans chacun des cas
On ne se préoccupera pas
Le résultat sera donné sous forme factorisée autant que possible.
#<math>f_2:x\mapsto \cos\left(\frac{2}{x}\right)</math>
#<math>f_3:x\mapsto \tan^4(x)</math>
#<math>f_4:x\mapsto x^{1/x}</math>
{{Solution|contenu=
;1. <math>f_1:x\mapsto \left(\frac{3x-1}{5x+3}\right)^3</math>
On pose <math>u:x\mapsto\frac{3x-1}{5x+3}</math> et <math>v:x\mapsto x^3</math>
:Pour tout <math>x,~u'(x)=\frac{3(5x+3)-5(3x-1)}{(5x+3)^2}=\frac{14}{(5x+3)^2}</math>
:Pour tout <math>x,~v'(x)=3x^2</math>
On applique alors la formule de dérivation. Pour tout ''x'' :
:<math>\begin{align}
f_1'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\
&=\frac{14}{(5x+3)^2}\times 3\left(\frac{3x-1}{5x+3}\right)^2\\
&=\frac{42(3x-1)^2}{(5x+3)^4}\\
\end{align}</math>
----
;2. <math>f_2:x\mapsto \cos\left(\frac{2}{x}\right)</math>
On pose <math>u:x\mapsto\frac{2}{x}</math> et <math>v:x\mapsto \cos(x)</math>
On a <math>f_2=v\circ u</math>.
:Pour tout <math>x,~u'(x)=-\frac2{x^2}</math>
:Pour tout <math>x,~v'(x)=-\sin(x)</math>
On applique alors la formule de dérivation. Pour tout ''x'' :
:<math>\begin{align}
f_2'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\
&=-\frac2{x^2}\times\left(-\sin\left(\frac{2}{x}\right)\right)\\
&=\frac2{x^2}\sin\left(\frac{2}{x}\right)
\end{align}</math>
----
;3. <math>f_3:x\mapsto \tan^4(x)</math>
On pose <math>u:x\mapsto\tan(x)</math> et <math>v:x\mapsto x^4</math>
On a <math>f_3=v\circ u</math>.
:Pour tout <math>x,~u'(x)=\frac1{\cos^2(x)}</math>
:Pour tout <math>x,~v'(x)=4x^3</math>
On applique alors la formule de dérivation. Pour tout ''x'' :
:<math>\begin{align}
f_3'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\
&=\frac1{\cos^2(x)}\times 4\tan^3(x)\\
&=\frac{4\sin^3(x)}{\cos^5(x)}\\
\end{align}</math>
----
#<math>f_4:x\mapsto x^{1/x}</math>
On commence par changer l'écriture : pour tout <math>x,~f_4(x)=\exp\left(\frac{\ln(x)}x\right)</math>
On pose <math>u:x\mapsto\frac{\ln(x)}x</math> et <math>v:x\mapsto e^x</math>
On a <math>f_4=v\circ u</math>.
:Pour tout <math>x,~u'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^2}</math>
:Pour tout <math>x,~v'(x)=e^x</math>
On applique alors la formule de dérivation. Pour tout ''x'' :
:<math>\begin{align}
f_4'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\
&=\frac{1-\ln(x)}{x^2}\exp\left(\frac{\ln(x)}x\right)\\
&=\frac{1-\ln(x)}{x^2}x^{1/x}\\
\end{align}</math>
}}
== Exercice 2 ==
Dans chacun des cas
On ne se préoccupera pas de l'intervalle de dérivation.
Ligne 32 ⟶ 95 :
Le résultat sera donné sous forme factorisée autant que possible.
#<math>f_2:x\mapsto \sin\left(\frac{2}{x}\right)</math>
#<math>f_3:x\mapsto \tan^3(x)</math>
#<math>f_4:x\mapsto e^{-1/x}</math>
{{Solution|contenu=
;1. <math>f_1:x\mapsto \left(\frac{3x+1}{5x-3}\right)^3</math>
:Pour tout <math>x,~u'(x)=\frac{3(5x-3)-5(3x+1)}{(5x+3)^2}=-\frac{14}{(5x+3)^2}</math>
:Pour tout <math>x,~v'(x)=3x^2</math>
On applique alors la formule de dérivation. Pour tout ''x'' :
:<math>\begin{align}
f_1'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\
&=-\frac{14}{(5x+3)^2}\times 3\left(\frac{3x+1}{5x-3}\right)^2\\
&=-\frac{42(3x+1)^2}{(5x-3)^4}\\
\end{align}</math>
----
;2. <math>f_2:x\mapsto \sin\left(\frac{2}{x}\right)</math>
On pose <math>u:x\mapsto\frac{2}{x}</math> et <math>v:x\mapsto \sin(x)</math>
On a <math>f_2=v\circ u</math>.
:Pour tout <math>x,~u'(x)=-\frac2{x^2}</math>
:Pour tout <math>x,~v'(x)=\cos(x)</math>
On applique alors la formule de dérivation. Pour tout ''x'' :
:<math>\begin{align}
f_2'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\
&=-\frac2{x^2}\times\cos\left(\frac{2}{x}\right)\\
&=-\frac2{x^2}\cos\left(\frac{2}{x}\right)
\end{align}</math>
----
;3. <math>f_3:x\mapsto \tan^3(x)</math>
On pose <math>u:x\mapsto\tan(x)</math> et <math>v:x\mapsto x^3</math>
On a <math>f_3=v\circ u</math>.
:Pour tout <math>x,~u'(x)=\frac1{\cos^2(x)}</math>
:Pour tout <math>x,~v'(x)=3x^2</math>
On applique alors la formule de dérivation. Pour tout ''x'' :
:<math>\begin{align}
f_3'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\
&=\frac1{\cos^2(x)}\times 3\tan^2(x)\\
&=\frac{3\sin^2(x)}{\cos^4(x)}\\
\end{align}</math>
----
;4; <math>f_4:x\mapsto e^{-1/x}</math>
On pose <math>u:x\mapsto-\frac{1}{x}</math> et <math>v:x\mapsto e^x</math>
On a <math>f_4=v\circ u</math>.
:Pour tout <math>x,~u'(x)=\frac1{x^2}</math>
:Pour tout <math>x,~v'(x)=e^x</math>
On applique alors la formule de dérivation. Pour tout ''x'' :
:<math>\begin{align}
f_4'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\
&=\frac1{x^2} e^{-1/x}
\end{align}</math>
}}
{{Bas de page
| idfaculté = mathématiques
| leçon = [[Fonction dérivée]]
| chapitre = [[Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction composée|Dérivée d'une fonction composée]]
}}
[[Catégorie:Fonction dérivée]]
| |||