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« Fonction exponentielle/Exercices/Croissances comparées » : différence entre les versions

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Page créée avec « {{Exercice |titre=Croissances comparées |idfaculté=mathématiques |leçon=Fonction exponentielle |niveau=12 |chapitre=Fonction exponentielle |numero=8}} ==Exercice... »
Ligne 1 :
{{Exercice
{{Annexe
| titre=Croissances comparées
| idfaculté=mathématiques
| leçon=[[Fonction exponentielle]]
| niveau=12}}▼
| numero=1▼
|chapitre=[[Fonction exponentielle]]
| précédent =
▲| numero=18}}
| suivant=
▲| niveau=12}}
 
==Exercice 1==
<math>f\,</math> est la fonction définie sur <math>\R\,</math> par :
 
:<math>f(x)=(2x+3)e^{-x}\,</math>
{{Théorème|titre=Croissances comparées en <math>+\infty</math>|contenu=<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}x=+\infty</math>}}
</br>
 
Étudier sa limite en <math>-\infty\,</math>
== Démonstration ==
 
[[Catégorie:Fonction exponentielle]]
On définit sur <math>[0;+\infty[</math> la fonction <math>\phi : x\mapsto e^x-\frac{1}{2}x^2</math>.
 
1° Déterminer <math>\phi'(x)\,</math> et <math>\phi''(x)\,</math>.
 
2° Déterminer le sens de variation sur <math>[0;+\infty[</math> de <math>\phi'\,</math>.
 
3° En déduire le signe de <math>\phi'\,</math> sur <math>[0;+\infty[</math>.
 
4° En déduire de sens de variation de <math>\phi\,</math> sur <math>[0;+\infty[</math>.
 
5° En déduire le signe de <math>\phi\,</math> sur <math>[0;+\infty[</math>.
 
6° Démontrer que sur <math>[0;+\infty[</math> :
 
:<math>\frac{e^x}{x}\geq \frac{1}{2}x\,</math>.
 
7° En déduire <math>\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}x\,</math>
 
{{Théorème|contenu=
 
<center><math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}x=0</math></center>}}
 
== Démonstration ==
 
En posant <math>X=ln(x)\,</math>, démontrer ce théorème à partir du précédent.
 
[[Catégorie:Cours de mathématiques de terminale S]]
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