« Fonction exponentielle/L'exponentielle comme solution d'une équation différentielle » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
m clr |
Aucun résumé des modifications |
||
Ligne 30 :
# Proposition 1: Pour tout <math>n\in \N</math> tel que <math>n+1 > |x|</math>, on a <math>\left( 1+\frac{x}{n}\right)^n \leq \left( 1+\frac{x}{n+1}\right)^{n+1}\leq \left( 1-\frac{x}{n+1}\right)^{-n-1}\leq \left( 1-\frac{x}{n}\right)^{-n}</math>
# Conséquence: La suite <math>(u_n(x))</math> est convergente.
A partir du rang <math>n>|x|</math>, la suite <math>(u_n(x))</math> est croissante et majorée par <math>\left( 1-\frac{x}{E(x)}\right)^{-E(x)}</math>
'''Étude de la limite de la suite <math>(u_n(x))</math>''' :
Notons <math>\ell (x)</math> la limite de la suite <math>(u_n(x))</math>.
# Proposition
Il suffit d'appliquer le lemme et de faire tendre <math>n</math> vers <math>+\infty</math>.
On obtient alors <math>\ell(x+h) \geq (1+h) \ell(x)</math>.
# Corollaire 1: Pour h<1, <math>(1-h) \ell(x+h)\leq \ell(x)</math>.
On applique la proposition 2 en remplaçant <math>h</math> par <math>-h</math> et <math>x</math> par <math>x+h</math>
# Corollaire 2: Ainsi, en combinant les deux inégalités précédentes, on a, pour <math>|h|<1</math>, <math>\ell(x) h \leq \ell(x+h)-\ell(x) \leq \frac{h}{1-h}\ell(x)</math>.
# Corollaire 3: <math>\ell</math> est dérivable sur <math>\R</math> et a pour dérivée elle même, c'est-à-dire: pour tout <math>x\in \R</math>, <math>\ell'(x) = \ell(x)</math>.
| |||