« Théorie des groupes/Conjugaison, centralisateur, normalisateur » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
m Retrait des catégories en double |
m Robot : Remplacement de texte automatisé (-\b([Qq])ue ([AEIOUaeéèêiou]) +\1u'\2) |
||
Ligne 28 :
Comme déjà vu également, on dit qu'un automorphisme ''f'' de ''G'' est intérieur s'il existe un élément g de G tel que f soit la conjugaison par g.<br />
L'ensemble Int(''G'') des automorphismes intérieurs de ''G'' est un sous-groupe du groupe Aut(''G'') des automorphismes de ''G''; plus précisément, l'application Int : <math>g \mapsto Int(g)</math> est un homomorphisme de ''G'' dans Aut(''G'') et Int(''G'') est l'image de cet homomorphisme.<br />
Le noyau ker Int de cet homomorphisme est l'ensemble des éléments ''g'' de ''G'' tels
'''Remarque.''' On peut même montrer
: <math>\mathrm{Int}(\alpha (g)) \circ \alpha = \alpha \circ \mathrm{Int}(g)</math>
(car les deux membres appliquent ''x'' sur <math>\alpha (g) \alpha (x) \alpha (g)^{-1}</math>). Si <math>\alpha</math> est un automorphisme, cela peut s'écrire
: <math>\mathrm{Int}(\alpha (g)) = \alpha \circ \mathrm{Int}(g) \circ \alpha^{-1}</math>,
ce qui montre bien
Soient x, y et g des éléments de G tels que y = gxg⁻¹. Nous dirons alors que y est le conjugué de x par g. Si un élément y de G est image d'un élément x de G par un automorphisme intérieur, autrement dit s'il existe un élément g de G tel que y soit le conjugué de x par g, on dit que y est (un) conjugué de x (dans G). Du fait que les automorphismes intérieurs forment un groupe pour la composition, il résulte que la relation « y est un conjugué de x » est une relation d'équivalence dans ''G''. En effet :
Ligne 46 :
}}
De même, si un sous-ensemble A de G est image d'un sous-ensemble B de G par un automorphisme intérieur, c'est-à-dire s'il existe un élément g de G tel que <math>A = gBg^{-1}</math>, on dit
Tout conjugué d'un sous-groupe H de G est image de H par un automorphisme (intérieur) de G et est donc un sous-groupe de G isomorphe à H.
| |||