« Théorie des groupes/Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z » : différence entre les versions

Puisque le groupe (additif) '''Z''' est commutatif, a₁'''Z''' + ... + a_n'''Z''' est un sous-groupe de '''Z''' et est donc de la forme d'''Z''' pour un certain nombre naturel d. Puisque a₁, ... , a_n et appartiennent à d'''Z''', ''d'' est un diviseur commun de a₁, ... , a_n. Puisque ''d'' appartient à a₁'''Z''' + ... + a_n'''Z''', il existe des entiers rationnels c₁, ... , c_n tels que qu'a₁ c₁ + ... + a_n c_n = d. Il en résulte clairement que si d' est un diviseur commun de a₁, ... , a_n, d' divise d. Nous avons donc prouvé l'existence d'un nombre naturel d tel que dans l'énoncé. Un tel nombre naturel d doit être unique, car c'est le plus grand des diviseurs naturels communs de a₁, ... , a_n relativement à la relation d'ordre «divise» dans '''N'''.

Soient a₁, ... , a_n des entiers rationnels, ''d'' leur pgcd. Il existe des entiers rationnels c₁, ... , c_n tels que qu'a₁ c₁ + ... + a_n c_n = d.

Soient ''a'' et ''b'' deux nombres naturels non nuls, ''d'' leur pgcd. Il existe des nombres naturels ''x'' et ''y'' tels que qu'ax - d = by.

D'après le théorème de Bachet-Bézout, il existe des entiers rationnels u et v tels que qu'au - d = bv. On sait qu'un nombre naturel non nul admet des multiples aussi grands qu'on veut (par exemple, un nombre naturel non nul ''r'' admet le multiple ''r''(''s''+1) > ''s''), donc, puisque ''ab'' est un nombre naturel non nul, il existe un nombre naturel ''n'' tel que qu'abn > d - au. La relation au - d = bv donne a(u + bn) - d = b(v + an), où, vu notre choix de ''n'', le premier membre est positif. Puisque a, b et d sont tous trois > 0, on en tire que qu'u + bn et v + an sont naturels, d'où l'énoncé.

Si d = 0 (c'est-à-dire si ''a'' et ''b'' sont tous deux nuls), on peut faire a' = b' = 1 et l'énoncé est vrai dans ce cas. Supposons maintenant d > 0. Soient a' et b' les entiers naturels (définis de manière unique) tels que qu'a = da' et b = db'. Il s'agit de prouver que qu'a' et b' sont premiers entre eux. Dans le cas contraire, ils admettraient un diviseur naturel d' distinct de 1. Alors dd' serait un diviseur commun de a = da' et de b = db' et serait strictement plus grand que ''d'' pour la relation «divise», ce qui contredit le fait que ''d'' est le pgcd de ''a'' et ''b''.

Puisque ''a'' et ''b'' sont premiers entre eux, leur pgcd est égal à 1. D'après le théorème de Bachet-Bézout, il existe donc des entiers rationnels ''r'' et ''s'' tels que qu'ar + bs = 1. D'autre part, puisque ''a'' divise ''bc'', il existe un entier rationnel ''x'' tel que qu'ax = bc. En multipliant cette égalité par s, nous trouvons axs = bsc. En remplaçant dans cette égalité bs par 1 - ar, nous obtenons axs = c - arc, c = a(xs + rc), donc ''a'' divise bien ''c''.

Prouvons-le d'abord pour n = 2. Soit ''m'' le ppcm de a₁ et a₂. Soit m = a₁m', avec m' entier rationnel. Puisque a₂ divise ''m'', c'est-à-dire divise a₁m', et est premier avec a₁, il résulte du lemme de Gauss que qu'a₂ divise m'. Puisque m = a₁m', il en résulte que qu'a₁a₂ divise ''m''. D'autre part, a₁a₂ est évidemment un multiple commun de a₁ et a₂, donc ''m'' divise a₁a₂. Ainsi, ''m'' et a₁a₂ sont deux nombres naturels qui se divisent l'un l'autre, donc ils sont égaux. Ceci démontre l'énoncé dans le cas n = 2.<br />

Le cas a = 0 étant banal, nous supposerons ''a'' non nul. Dans ce cea, si ''x'' et ''y'' sont des nombres naturels et que qu'ax est multiple de ay, x doit être multiple de y. Pour prouver que ppcm(ab, ac) = a ppcm(b, c), il s'agit de prouver que <br />