« Théorie des groupes/Groupes commutatifs finis, 1 » : différence entre les versions
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Démonstration. Soit <math>\ a = p_{1}^{e_{1}} \ldots p_{r}^{e_{r}} </math> la décomposition de ''a'' en facteurs premiers, soit <math>\ b = q_{1}^{f_{1}} \ldots q_{s}^{f_{s}} </math> celle de ''b''. Puisque ''a'' et ''b'' sont premiers entre eux, la décomposition de ab en facteurs premiers est <math>\ ab = p_{1}^{e_{1}} \ldots p_{r}^{e_{r}} q_{1}^{f_{1}} \ldots q_{s}^{f_{s}}</math>. Donc G est somme directe <math>H_{1} \oplus \ldots H_{r} K_{1} \oplus \ldots K_{s} </math>, où, pour chaque ''i'', H<sub>i</sub> est d'ordre <math>\ p_{i}^{e_{i}} </math> et où, pour chaque ''j'', K<sub>j</sub> est d'ordre <math>\ q_{j}^{f_{j1}} </math>. Posons <math>\ A = H_{1} \oplus \ldots H_{r} </math> et <math>\ B = K_{1} \oplus \ldots K_{s} </math>. Alors A est d'ordre ''a'', B est d'ordre ''b'' et G est somme directe de A et de B, ce qui prouve l'énoncé.<br />
Remarque. Sous les hypothèses du corollaire 2, G admet un et un seul sous-groupe d'ordre ''a'', qui est l'ensemble des ''x'' tels
== Anneaux '''Z''' et '''Z'''/n'''Z''' ==
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Démonstration. Il est banal que 1° entraîne 2°. Supposons 2° vraie et prouvons 3° Puisque 2° est vraie, X est de la forme x + n'''Z''', où ''x'' est premier avec ''n''. D'après le théorème de Bézout, il exite des entiers rationnels ''a'' et ''b'' tels
{{Théorème
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Soient ''p'' un nombre premier, G un groupe commutatif p-primaire et (x<sub>1</sub>, ..., x<sub>r</sub>) une famille indépendante d'éléments de G. Si c<sub>1</sub>, ..., c<sub>r</sub> sont des entiers rationnels tels que, pour tout ''i'', c<sub>i</sub> x<sub>i</sub> ≠ 0, alors la famille (c<sub>1</sub> x<sub>1</sub>, ..., c<sub>r</sub> x<sub>r</sub>) est elle aussi une famille indépendante.
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Démonstration. Nous savons déjà, par hypothèse, que les c<sub>i</sub> x<sub>i</sub> sont non nuls. Il reste donc à prouver que si a<sub>1</sub>, ..., a<sub>r</sub> sont des entiers rationnels tels
{{Théorème
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