« Corps (mathématiques)/Définitions » : différence entre les versions
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== Corps ==
Les corps sont des structures importantes en algèbre.
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Un morphisme d'anneaux d'un corps dans un anneau est nécessairement injectif. Un morphisme d'anneaux envoie en effet tout élément inversible sur un élément inversible, donc non nul.
Par la deuxième propriété, tout élément non nul d'un corps est inversible, donc envoyé sur un élément non nul.
| contenu =▼
Le sous-corps engendré par une partie ''X'' de <math>\mathbb K </math> est le plus petit sous-corps de <math>\mathbb K </math> contenant ''X''.▼
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{{Exemple
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* Les nombres complexes(<math>\mathbb C </math>,+,×)}}
== Sous-corps ==
{{Proposition|contenu = Soient <math>\mathbb K</math> un corps et <math>P</math> une partie de <math>\mathbb K</math>. Les conditions suivantes sont équivalentes :
#<math>P</math> est non vide, est une partie stable (pour + et <math>\times</math>) de <math>\mathbb K</math> et <math>P</math> munit des lois induites par celles de <math>\mathbb K</math> est lui-même un corps ;
#<math>P</math> est un sous-anneau de <math>\mathbb K, 1\in P</math>, et <math>(x\in P\Rightarrow x^{-1}\in P)</math>
#<math>P</math> est un sous-groupe de <math>(\mathbb K,+)</math> et <math>P^*=P\{0\}</math> est un sous-groupe du groupe multiplicatif <math>(\mathbb K^*,\times)</math>.}}{{Définition|contenu = Toute partie <math>P</math> d'un corps <math>\mathbb K</math> vérifiant les conditions de la proposition précédente est appelé '''sous-corps''' de <math>\mathbb K</math>.}}{{Exemple|contenu = <math>\Q</math> est un sous-corps de <math>\R</math>, <math>\R</math> est un sous-corps de <math>\C</math>.}}{{Propriété|contenu = Soit <math>\mathbb K</math> un corps. Toute intersection de sous-corps de <math>\mathbb K</math> est un sous-corps de <math>\mathbb K</math>.}}
{{Proposition|contenu = Soit <math>\mathbb K</math> un corps. Soit <math>P</math> une partie de <math>\mathbb K</math>. L'ensemble <math>E</math> des sous-corps de <math>\mathbb K</math> qui contiennent <math>T</math> est non vide, et possède, au sens de l'inclusion, un plus petit élément.}}{{Définition
▲ | contenu =
▲Le plus petit sous-corps
▲}}
== Caractéristique ==
* <math>\forall x,y\in A,f(x+y)=f(x)+f(y)</math>
* <math>\forall x,y\in A,f(x\times y)=f(x)\times f(y)</math>
* <math>f(1)=1_A</math>}}
Le noyau de ce morphisme est un idéal de <math>\Z</math> de la forme <math>n \Z</math>. L'entier <math>n</math> est soit nul, soit un nombre premier.
En effet, si <math>n</math> était un entier non nul décomposable, alors on pourrait écrire <math>n=k.l</math> où <math>1<k</math> et <math>l<n</math>. Alors, <math>\phi(k l)=0=\phi(k).\phi(l)</math>. Donc, soit ''k'' soit ''l'' serait dans le noyau de <math>\phi</math>, donc divisible par ''n''. C'est impossible par hypothèse.
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