« Réduction des endomorphismes/Applications » : différence entre les versions
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== Suites récurrentes ==
Exemple:
On considère les suites <math>(u_n)</math>, <math>(v_n)</math> et <math>(w_n)</math> définies par leur premier terme <math>(u_0)</math>, <math>(v_0)</math> et <math>(w_0)</math> (respectivement) et les relations suivantes:
<math>\begin{cases} u_{n+1} = 3u_n + 8w_n \\ v_{n+1} = 3u_n - v_n + 6w_n \\ w_{n+1}= -2u_n - 5w_n \end{cases}</math>
En écriture matricielle on a:
<math>\begin{pmatrix}u_{n+1}\\v_{n+1}\\w_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 8 \\ 3 & -1 & 6 \\ -2 & 0 & -5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\\w_{n}\end{pmatrix}</math>
On pose <math>A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 8 \\ 3 & -1 & 6 \\ -2 & 0 & -5\end{pmatrix}</math> et <math>X_n=\begin{pmatrix}u_n\\v_n\\w_n\end{pmatrix} </math> alors <math>X_{n+1}=\begin{pmatrix}u_{n+1}\\v_{n+1}\\w_{n+1}\end{pmatrix}</math>
On a donc: <math display="block">X_{n+1}=AX_n \Longleftrightarrow X_n = AX_{n-1}
\Longleftrightarrow X_n = A(AX_{n-2})
\Longleftrightarrow X_n = A(A(AX_{n-3}))
\Longleftrightarrow X_n = A^nX_{0}
</math>On peut, donc, trouver <math>u_n</math>, <math>v_n</math> et <math>w_n</math> en fonction de n et les premiers termes en diagonalisant A (s'elle est diagonalisable) et puis en calculant sa puissance
n-ième.
== Équations et systèmes différentiels ==
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