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| niveau = 11
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Étudier le signe d'une fonction <math>f</math> définie sur un intervalle <math>I</math> de <math>\mathbb{R}</math> correspond à déterminer si l'image de <math>x</math> par la fonction <math>f</math> est supérieur, égal ou inférieur à 0. Un tableau de signe, représentant <math>\forall x \in I</math> le signe de <math>f(x)</math> en fonction de <math>x</math>, est nécessaire à cette étude.
En mathématiques, nous sommes souvent amenés à résoudre des équations polynomiales du second degré, c'est-à-dire des équations de la forme:
{{Exemple|contenu=
<math>a\cdot x^2+b\cdot x+c=0</math>. On suppose toujours que le nombre a est différent de zéro.
Soit la fonction <math>f</math> définie sur <math>\mathbb{R}</math> par <math>f(x)=2x+3</math>.<br/>
<math>f</math> est une fonction affine, ainsi il n'existe qu'un seul et unique <math>x</math> pour lequel <math>f(x)=0</math>.<br/>
Déterminons le nombre <math>x</math> tel que <math>f(x)=0</math> :<br/>
<math>f(x)=0 \Leftrightarrow 2x+3=0 \Leftrightarrow 2x=-3 \Leftrightarrow x=\frac{-3}{2}</math><br/>
<math>f(x)=0</math> quand <math>x=\frac{-3}{2}</math><br/>
Déterminons maintenant le signe de <math>f(x)</math> sur l'intervalle <math>\left] - \infty~;~\frac{-3}{2}\right[</math> et sur l'intervalle <math>\left]\frac{-3}{2}~;+\infty\right[</math> : <br/><br/>
<math>f</math> est une fonction affine, or son coefficient directeur est positif, ainsi <math>f(x)<0</math> quand <math>x \in \left] - \infty~;~\frac{-3}{2}\right[</math> et <math>f(x)>0</math> quand <math>x \in \left]\frac{-3}{2}~;+\infty\right[</math><br/><br/>
Établissons maintenant le tableau de signe de <math>f</math> :<br/><br/>
<math>\begin{array}{c|ccccccc|}
x&-\infty&&\frac{-3}{2}&&+\infty\\
&&&\\
\hline
\textrm{Signe~de}~f(x)&-&&0&&+\\
\hline
\end{array}
</math>
<br/><br/>
On peut enfin tracer la droite représentative <math>C</math> de la fonction <math>f</math> :
[[Fichier:Y=2x+3.PNG|200px]]
}}
Plusieurs méthodes de résolution s'offrent alors :
'''Application :''' Dresser le tableau de signe de la fonction <math>f</math> définie dans <math>\mathbb{R}</math> par <math>f(x)=-2x^3-3x^2+5x-12</math>.
* On peut chercher une racine évidente du polynôme, afin de factoriser ce polynôme
* On peut aussi utiliser le discriminant noté '''<math>\Delta</math>''' , avec <math>\Delta = {b^2-4\cdot a \cdot c}</math>
Lorsque <math>\Delta>0</math>, il y a deux solutions réelles pour cette équation :
{{Boîte déroulante|titre=Solution|contenu=
Soit <math>f</math> la fonction définie dans <math>\mathbb{R}</math> par <math>f(x)=-2x^3-3x^2+5x-12</math>.
<math>x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}</math>
Factorisons <math>f</math> : <math>f(x)=-2x^3-3x^2+5x-12=(-x-3)(2x^2-3x+4)</math>.
<math>x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 \cdot a}</math>
Or,
Lorsque le discriminant est nul, le polynôme admet une racine double: x = -b/(2*a), son signe est alors celui de a, sauf en -b/(2*a) où il est nul.
<math>-x-3=0</math> quand <math>x=-3</math>, et l'équation <math>2x^2-3x+4=0</math> n'est pas résoluble dans <math>\mathbb{R}</math>, ainsi l'expression <math>2x^2-3x+4</math> est de signe positif dans <math>\mathbb{R}</math>.
Lorsque le discriminant est strictement négatif, le polynôme n'admet aucune racine réelle, son signe est celui de a sur <math>\mathbb{R}</math>.
Dans les cas simples, on étudie le signe d'une fonction à l'aide de ses éventuelles racines et de son sens de variation, comme pour les fonctions affines ou polynomiales.
{{...}}
En outre, l'expression <math>-x-3</math> est de signe positif sur <math>\left]-\infty~;~-3\right[</math> et de signe négatif sur <math>\left]-3~;~+\infty\right[</math>
Ainsi pouvons-nous dresser le tableau de signe de la fonction <math>f</math> :<br/><br/>
<math>
\begin{array}{c|ccccccc|}
x&-\infty&&-3&&+\infty\\
&&&\\
\hline
\textrm{Signe~de}~f(x)&+&&0&&-\\
\hline
\end{array}
</math>
}}
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| idfaculté = mathématiques
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