« Intégration en mathématiques/Exercices/Comparaison » : différence entre les versions
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Ligne 93 :
== Exercice 2-8 ==
Soient '''f''' et '''g''' des fonctions continues sur un intervalle '''[a, b]''' (avec '''a < b''').
On suppose que '''f''' est croissante et que '''g''' prend ses valeurs dans '''[0, 1]'''. On pose :
<math> I = \int_a^b g(t)\, \mathrm dt </math>
1° Étudier la variation de la fonction '''G''' définie par :
:<math> G(x) = \int_a^x g(t)\, \mathrm dt </math>
:Montre que <math> a+G(x)\leqslant x </math>
2° Comparer les fonctions '''φ''' et '''ψ''' définies par :
:<math> \varphi(x) = \int_a^b f(t)g(t)\, \mathrm dt </math>
:<math> \psi(x) = \int_a^{a+G(x)} f(t)\, \mathrm dt </math>
3° Démontrer que :
:<math> \int_a^b f(t)g(t)\, \mathrm dt \geqslant \int_a^{a+1} f(t)\, \mathrm dt</math>
:Dans quel cas a-t-on l'égalité ?
{{Solution}}
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== Exercice 2-10 ==
1° Étudier la variation de la fonction '''f''' définie par :
:<math> f(x) = e^{x^2}-(e-1)x^2-1 </math>
2° Prouver que :
:<math> \frac43 < \int_0^1 e^{x^2}\, \mathrm dx < \frac{e+2}3 </math>
{{Solution}}
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