« Intégration en mathématiques/Exercices/Suites d'intégrales 2 » : différence entre les versions
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Ligne 26 :
<math> \begin{cases} a\in\N^*\qquad n\in\N^* \\ I(a,0)=\int_0^1 x^a\, \mathrm dx \\ I(a,n)=\int_0^1 x^a(1-x)^n\, \mathrm dx \end{cases} </math>
'''1°''' En intégrant par parties, montrer que :
:<math> I(a+1,n)=\frac{a+1}{n+1}I(a,n+1) </math>
'''2°''' Établir que :
:<math> I(a,n)-I(a,n+1)=I(a+1,n) </math>
:En déduire que :
:<math> I(a,n+1)=\frac{n+1}{n+a+2}I(a,n) </math>
'''3°''' '''a''' étant fixé <math>(a\in\N^*)</math>, calculer <math>I(a,0)</math> et démontrer par récurrence sur '''n''', pour tout <math>n\in\N^*</math>
:<math>I(a,n)=\frac{1\times2\times3\times\cdots\times(n-1)\times n}{(a+1)\times(a+2)\times\cdots\times(a+n+1)}</math>
Ligne 42 :
== Exercice 18-3 ==
'''1°''' Soient '''p''' et '''q''' des rationnels positifs. Pour <math>x\in[0,1[</math>, on pose :
:<math>f_{p,q}(x)=\int_0^x t^p(1-t)^q\, \mathrm dt</math>
:Justifier cette notation.
Ligne 51 :
:<math> \begin{cases} a=(p+q)(1+p+q) \\ b=-p q \\ c=p+q \end{cases} </math>
'''2°''' Pour <math>x\in[0,1[</math> et <math>n\in\N</math>, donner une expression de :
:<math>F_n(x)=\int_0^x \sqrt[3]{\frac{t^n}{(1-t)^{n+3}}}\, \mathrm dt</math>
:dans laquelle n'intervient aucun signe d'intégration.
Ligne 65 :
<math>F_n(x)=\int_0^x e^{-t}\sin^{2n}t\, \mathrm dt</math>
'''1°''' Prouver que '''F<sub>n</sub>''' est croissante et majorée par '''1'''.
'''2°''' Soit :
:<math>I_n=\lim_{x \to \infty} F_n(x)\qquad\left(=\int_0^{+\infty} e^{-t}\sin^{2n}t\, \mathrm dt\right)</math>
:Prouvez que :
:<math>I_n=(2n-1)I_{n-1}-2n I_n</math>
'''3°''' En déduire '''I<sub>2</sub>''', '''I<sub>3</sub>''', puis '''I<sub>n</sub>''' en fonction de '''n'''.
'''4°''' Étudier la limite de la suite '''(I<sub>n</sub>)'''.
{{Solution}}
Ligne 85 :
<math>I_n=\int_0^1 \frac{\mathrm dx}{(1+x^n)\sqrt[n]{1+x^n}}</math>
'''1°''' Calculer '''I<sub>1</sub>''', '''I<sub>2</sub>'''.
'''2°''' Calculer '''I<sub>n</sub>''' en intégrant par parties :
:<math>\int_0^1 \frac{\mathrm dx}{\sqrt[n]{1+x^n}}</math>
'''3°''' Étudier la limite en <math>+\infty</math> de la suite '''(I<sub>n</sub>)'''.
{{Solution}}
Ligne 101 :
<math> \begin{cases} f(x)=-x\ln x \\ f(0) = \lim_{x \to 0} f(x) = l \end{cases} </math>
'''1°''' Préciser la valeur de <math>l</math>. Représenter graphiquement la fonction '''f'''.
'''2°''' Calculer :
:<math>I_1=\int_0^1 f(x)\, \mathrm dx</math>
'''3°''' On pose, pour '''h''' et '''k''' entiers naturels :
:<math>I_k=\int_0^1 \frac{\left(f(x)\right)^k}{k!}\, \mathrm dx</math>
:<math>H_{h,k}=\int_0^1 x^h\left(\ln x\right)^k\, \mathrm dx</math>
Ligne 112 :
:<math>H_{h,k}=-\frac{k}{h+1}H_{h,k-1}</math>
'''4°''' Calculer <math>H_{h,0}</math>. En déduire :
:<math>H_{h,k}=-\frac{(-1)^kk!}{(h+1)^{k+1}}</math>
'''5°''' En déduire <math>I_k</math>.
{{Solution}}
Ligne 126 :
<math>f(x)=x e^x</math>
'''1°''' Calculer les dérivées première et seconde de '''f''' et en déduire, par récurrence, la dérivée d'ordre '''n'''.
'''2°''' Étudier les variations de la fonction '''f<sub>n</sub>''' définie par :
:<math>f_n(x)=(x+n)e^x</math>
:où '''n''' est un entier relatif. Tracer les courbes représentatives '''C<sub>-1</sub>''', '''C<sub>0</sub>''' et '''C<sub>1</sub>''' des fonctions '''f<sub>-1</sub>''', '''f<sub>0</sub>''' et '''f<sub>1</sub>'''.
'''3°''' Calculer :
:<math>I_0(h)=\int_0^h f_0(x)\, \mathrm dx</math>
:et :
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