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« Intégration en mathématiques/Exercices/Suites d'intégrales 2 » : différence entre les versions

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== Exercice 18-1==
 
== Exercice 18-1 ==
 
Soit '''n''' un entier naturel supérieur à '''2'''. Pour tout entier naturel <math>k\leqslant n</math>, on pose :
 
<math>I_{k,n}=\int_0^1 C_n^k(1-x)^{n-k}\, \mathrm dt</math>
 
Comparer '''I<sub>k,n</sub>''' et '''I<sub>k+1,n</sub>'''. En déduire '''I<sub>k,n</sub>''' en fonction de '''n'''.
 
{{Solution}}
 
 
== Exercice 18-2 ==
 
On pose :
:<math>\begin{cases}a\in\N^*\qquad n\in\N^*\\I(a,0)=\int_0^1 x^a\,\mathrm dx\\I(a,n)=\int_0^1x^a(1-x)^n\,\mathrm dx.\end{cases}</math>
 
<math> \begin{cases} a\in\N^*\qquad n\in\N^* \\ I(a,0)=\int_0^1 x^a\, \mathrm dx \\ I(a,n)=\int_0^1 x^a(1-x)^n\, \mathrm dx \end{cases} </math>
 
'''1°''' &nbsp;En intégrant par parties, montrer que :
:<math> I(a+1,n)=\frac{a+1}{n+1}I(a,n+1) </math>.
 
'''2°''' &nbsp;Établir que :
:<math> I(a,n)-I(a,n+1)=I(a+1,n) </math>.
:En déduire que :
:<math> I(a,n+1)=\frac{n+1}{n+a+2}I(a,n) </math>.
 
'''3°''' &nbsp;L'''a''' étant fixéentier <math>(a\in\N^*)>0</math> étant fixé, calculer <math>I(a,0)</math> et démontrer par récurrence sur '''n''', pour tout <math>n\in\N^*</math> :
:<math>\forall n\in\N^*\quad I(a,n)=\frac{1\times2\times3\times\cdots\times(n-1)\times n}{(a+1)\times(a+2)\times\cdots\times(a+n+1)}</math>.
{{Solution|contenu=
}}
 
== Exercice 18-2==
{{Solution}}
'''1°''' &nbsp;Soient <math>p</math> et <math>q</math> des rationnels positifs. Pour <math>x\in\left[0,1\right[</math>, on pose :
 
:<math>f_{p,q}(x)=\int_0^x t^p(1-t)^q\,\mathrm dt</math>.
 
== Exercice 18-3 ==
 
'''1°''' &nbsp;Soient '''p''' et '''q''' des rationnels positifs. Pour <math>x\in[0,1[</math>, on pose :
:<math>f_{p,q}(x)=\int_0^x t^p(1-t)^q\, \mathrm dt</math>
:Justifier cette notation.
:Déterminer la fonction dérivée de <math>f_{p,q}</math>.
:En se limitant à <math>p\geqslant1</math>, montrer qu'il existe un triplet <math>(a,b,c)\in\R^3</math>, dépendant du couple '''<math>(p,q)'''</math>, tel que, pour tout <math>x\in[0,1[</math> :
:<math>\forall x\in\left[0,1\right[\quad a f_{p,q}(x)+b f_{p-1,q-1}(x)= x^p(1-x)^q(cx-q)</math>.
:On distinguera les cas '''<math>q = 0'''</math> et '''<math>q ≠ 0'''\ne0</math>. Dans la second cas, on montrera qu'il existe une solution, et une seule, à savoir :
:<math> \begin{cases} a=(p+q)(1+p+q) \\ b=-p q pq\\ c=p+q .\end{cases} </math>
 
'''2°''' &nbsp;Pour <math>x\in[0,1[</math> et <math>n\in\N</math>, donner une expression de :
:<math>F_n(x)=\int_0^x \sqrt[3]{\frac{t^n}{(1-t)^{n+3}}}\, \mathrm dt</math>
:dans laquelle n'intervient aucun signe d'intégration.
:(On mettra la fonction '''F<submath>nF_n</submath>''' sous la forme '''f<submath>f_{p-1,q-1}</submath>'''.)
{{Solution|contenu=
}}
 
== Exercice 18-3==
{{Solution}}
Pour tout entier naturel <math>n</math>, on considère la fonction <math>F_n</math> définie par :
 
:<math>F_n(x)=\int_0^x\operatorname e^{-t}\sin^{2n}t\,\mathrm dt</math>.
 
'''1°''' &nbsp;Prouver que <math>F_n</math> est croissante et majorée par <math>1</math>.
== Exercice 18-4 ==
 
Pour tout '''n''' entier naturel, on considère la fonction '''F<sub>n</sub>''', définie par :
 
<math>F_n(x)=\int_0^x e^{-t}\sin^{2n}t\, \mathrm dt</math>
 
'''1°''' &nbsp;Prouver que '''F<sub>n</sub>''' est croissante et majorée par '''1'''.
 
'''2°''' &nbsp;Soit :
:<math>I_n=\lim_{x \to \infty} F_n(x)\qquad\left(=\int_0^{+\infty}\operatorname e^{-t}\sin^{2n}t\, \mathrm dt\right)</math>.
:Prouvez que :
:<math>I_n=(2n-1)I_{n-1}-2n I_n2nI_n</math>.
 
'''3°''' &nbsp;En déduire '''I<submath>2I_2</submath>''', '''I<submath>3I_3</submath>''', puis '''I<submath>nI_n</submath>''' en fonction de '''<math>n'''</math>.
 
'''4°''' &nbsp;Étudier la limite de la suite '''(I<submath>n\left(I_n\right)</submath>)'''.
{{Solution|contenu=
}}
 
== Exercice 18-4==
{{Solution}}
Pour tout <math>n</math> entier naturel, on considère <math>I_n</math>, définie par :
:<math>I_n=\int_0^1\frac{\mathrm dx}{(1+x^n)\sqrt[n]{1+x^n}}</math>.
'''1°''' &nbsp;Calculer <math>I_1</math> et <math>I_2</math>.
 
'''2°''' &nbsp;Calculer <math>I_n</math> en intégrant par parties :
:<math>\int_0^1\frac{\mathrm dx}{\sqrt[n]{1+x^n}}</math>.
 
'''3°''' &nbsp;Étudier la limite en <math>+\infty</math> de la suite <math>\left(I_n\right)</math>.
== Exercice 18-5 ==
{{Solution|contenu=
}}
 
== Exercice 18-5==
Pour tout '''n''' entier naturel, on considère '''I<sub>n</sub>''', définie par :
Soit la fonction <math>f</math> définie par :
:<math> \begin{cases}f(x)=-x\ln x\\f(0)=\lim_{x\to0}f(x)=l.\end{cases}</math>
 
'''1°''' &nbsp;Préciser la valeur de <math>l</math>. Représenter graphiquement la fonction <math>f</math>.
<math>I_n=\int_0^1 \frac{\mathrm dx}{(1+x^n)\sqrt[n]{1+x^n}}</math>
 
'''1°''' &nbsp;Calculer '''I<sub>1</sub>''', '''I<sub>2</sub>'''.
 
'''2°''' &nbsp;Calculer '''I<sub>n</sub>''' en intégrant par parties :
:<math>\int_0^1 \frac{\mathrm dx}{\sqrt[n]{1+x^n}}</math>
 
'''3°''' &nbsp;Étudier la limite en <math>+\infty</math> de la suite '''(I<sub>n</sub>)'''.
 
{{Solution}}
 
 
== Exercice 18-6 ==
 
Soit la fonction '''f''' définie par :
 
<math> \begin{cases} f(x)=-x\ln x \\ f(0) = \lim_{x \to 0} f(x) = l \end{cases} </math>
 
'''1°''' &nbsp;Préciser la valeur de <math>l</math>. Représenter graphiquement la fonction '''f'''.
 
'''2°''' &nbsp;Calculer :
:<math>I_1=\int_0^1 f1f(x)\, \mathrm dx</math>.
 
'''3°''' &nbsp;On pose, pour '''<math>h'''</math> et '''<math>k'''</math> entiers naturels :
:<math>I_kH_{h,k}=\int_0^1 \frac{1x^h\left(f(\ln x)\right)^k}{k!}\, \mathrm dx</math>.
:<math>H_{h,k}=\int_0^1 x^h\left(\ln x\right)^k\, \mathrm dx</math>
:Prouver que :
:<math>H_{h,k}=-\frac{k}{h+1}H_{h,k-1}</math>.
 
'''4°''' &nbsp;Calculer <math>H_{h,0}</math>. En déduire :
:<math>H_{h,k}=-\frac{(-1)^kk!}{(h+1)^{k+1}}</math>.
 
'''5°''' &nbsp;En déduire <math>I_k</math>.
 
{{Solution}}
 
 
== Exercice 18-7 ==
 
Soit '''f''' la fonction de la variable réelle '''x''', définie par :
 
<math>f(x)=x e^x</math>
 
'''1°''' &nbsp;Calculer les dérivées première et seconde de '''f''' et en déduire, par récurrence, la dérivée d'ordre '''n'''.
 
'''25°''' &nbsp;ÉtudierEn les variations dedéduire la fonctionvaleur '''f<sub>n</sub>''' définie par :de
:<math>f_n(x)I_k=\int_0^1\frac{\left(f(x+n)e\right)^xk}{k!}\,\mathrm dx</math>.
{{Solution|contenu=
:où '''n''' est un entier relatif. Tracer les courbes représentatives '''C<sub>-1</sub>''', '''C<sub>0</sub>''' et '''C<sub>1</sub>''' des fonctions '''f<sub>-1</sub>''', '''f<sub>0</sub>''' et '''f<sub>1</sub>'''.
}}
 
== Exercice 18-6==
'''3°''' &nbsp;Calculer :
Soit <math>f:\R\to\R</math> la fonction définie par :
:<math>I_0(h)=\int_0^h f_0(x)\, \mathrm dx</math>
:<math>f(x)=x\operatorname e^x</math>.
:et :
'''1°''' &nbsp;Calculer les dérivées première et seconde de <math>f</math> et en déduire, par récurrence, la dérivée d'ordre <math>n</math>.
:<math>I_n(h)=\int_{-n}^{-n+h} f_n(x)\, \mathrm dx</math>
:en fonction de '''h''', et établir la relation :
:<math>I_n(h)=e^{-n}I_0(h)</math>
 
'''2°''' &nbsp;Étudier les variations de la fonction <math>f_n</math> définie par :
{{Solution}}
:<math>f_n(x)=(x+n)\operatorname e^x</math>
:où <math>n</math> est un entier relatif. Tracer les courbes représentatives <math>C_{-1}</math>, <math>C_0</math> et <math>C_1</math> des fonctions <math>f_{-1}</math>, <math>f_0</math> et <math>f_1</math>.
 
'''3°''' &nbsp;On pose :
:<math>I_n(h)=\int_{-n}^{-n+h}f_n(x)\,\mathrm dx</math>.
:Calculer <math>I_0(h)</math> et <math>I_n(h)</math> en fonction de <math>h</math>, et établir la relation :
:<math>I_n(h)=\operatorname e^{-n}I_0(h)</math>.
{{Solution|contenu=
}}
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== Exercice 18-7==
Soit <math>n</math> un entier naturel supérieur à <math>2</math>. Pour tout entier naturel <math>k\leqslant n</math>, on pose :
:<math>I_{k,n}=\int_0^1{n\choose k}(1-x)^{n-k}\,\mathrm dt</math>.
Comparer <math>I_{k,n}</math> et <math>I_{k+1,n}</math>. En déduire <math>I_{k,n}</math> en fonction de <math>n</math>.
{{Solution|contenu=
Outre la coquille (remplacer dt par dx), le calcul direct de <math>I_{k,n}</math> (qui dépend de n mais aussi de k) est instantané.
}}
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