« Intégration en mathématiques/Exercices/Suites d'intégrales 2 » : différence entre les versions

Pour tout entier naturel <math>n</math> non nul, on considère la fonction <math>F_n</math> définie par :

:<math>F_n(x)=\int_0^x\operatorname e^{-t\sqrt{2n}}\sin^{2n}t\,\mathrm dt</math>.

:<math>I_n=\lim_{x\to+\infty}F_n(x)\qquad\left(=\int_0^{+\infty}\operatorname e^{-t\sqrt{2n}}\sin^{2n}t\,\mathrm dt\right)</math>.

:'''b)''' &nbsp;Prouver que :

::<math>\forall n\in\N^*\quad I_n=2n\left((2n-1)I_{n-1}-2nI_n\right)</math>.

#<math>F'_n(x)=\operatorname e^{-x\sqrt{2n}}\sin^{2n}x\ge0geqslant0</math> et <math>F_n(x)\leleqslant\int_0^x\operatorname e^{-t\sqrt{2n}}\,\mathrm dt=\frac{1-\operatorname e^{-x\sqrt{2n}}}{\sqrt{2n}}<1</math>.

#<math>I_n=-\frac1{\sqrt{2n}}\underbrace{\left[\operatorname e^{-t\sqrt{2n}}\sin^{2n}t\right]_0^{+\infty}}_0+\sqrt{2n}\int_0^{+\infty}\operatorname e^{-t\sqrt{2n}}\sin^{2n-1}t\cos t\,\mathrm dt=</math><br /><math>-2n\underbrace{\left[\operatorname e^{-t\sqrt{2n}}\sin^{2n-1}t\cos t\right]_0^{+\infty}}_0+2n\int_0^{+\infty}\operatorname e^{-t\sqrt{2n}}\left((2n-1)\sin^{2n-2}t\cos^2t-\sin^{2n}t\right)\,\mathrm dt=</math><br /><math>\int_0^{+\infty}\operatorname e^{-t\sqrt{2n}}\left((2n-1)\sin^{2n-2}t(1-\sin^2t)-\sin^{2n}t\right)\,\mathrm dt=</math><br /><math>2n\left((2n-1)\left(I_{n-1}-I_n\right)-I_n\right)=2n\left((2n-1)I_{n-1}-2nI_n\right)</math>.

#<math>I_0I_1=1\frac1{3\sqrt2}</math> et <math>I_n=\frac{2n(2n-1)}{12n+4n^21}I_{n-1}</math> donc<br /><math>I_n=\frac{(2n-1)!(2n-3)(2n-5)\cdots\times5\times3}{\left(12n+4n^2\right1)\left(2n-1+4)(n2n-13)^2\right)cdots\dotstimes7\times5}I_1=\frac1{(12n+4.1^2)\sqrt2}</math>.