« Intégration en mathématiques/Exercices/Calculs d'aires 1 » : différence entre les versions
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== Exercice 20-1 ==
Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :
:<math>y=\frac1{x^3}</math>,
l'axe des abscisses et les droites d'équation <math>x=1</math> et <math>x=2</math>.
{{Solution|contenu=
<math>\int_1^2\frac{\mathrm dx}{x^3}=\left[\frac{-1}{2x^2}\right]_1^2=\frac38</math>.
}}
== Exercice 20-2 ==
Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :
:<math>f(x)=\frac1{\cos^2x}</math>,
l'axe des abscisses et les droites d'équation <math>x=0</math> et <math>x=\frac{\pi}4</math>.
{{Solution|contenu=
<math>\int_0^{\frac{\pi}4}\frac1{\cos^2}=\left[\tan\right]_0^{\frac{\pi}4}=1</math>.
}}
== Exercice 20-3 ==
Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :
:<math>y=3x^2-x+5</math>,
l'axe des abscisses et les droites d'équation <math>x=-1</math> et <math>x=2</math>.
{{Solution|contenu=
<math>\int_{-1}^2\left(3x^2-x+5\right)\,\mathrm dx=\left[x^3-\frac{x^2}2+5x\right]_{-1}^2=9-\frac32+15=\frac{45}2</math>.
}}
== Exercice 20-4 ==
Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :
:<math>y=\sin x-2\cos x</math>,
l'axe des abscisses et les droites d'équation <math>x=\frac\pi4</math> et <math>x=\frac{3\pi}2</math>.
{{Solution|contenu=
Soit <math>a=\operatorname{arctan}2</math>. Alors, <math>\cos a=\frac1{\sqrt5}</math> et <math>\sin a=\frac2{\sqrt5}</math> donc
<math>-\int_{\frac\pi4}^a(\sin-2\cos)+\int_a^{a+\pi}(\sin-2\cos)-\int_{a+\pi}^{\frac{3\pi}2}(\sin-2\cos)=
4(\cos a+2\sin a)-\frac3{\sqrt2}-2=4\sqrt5-\frac3{\sqrt2}-2</math>.
}}
== Exercice 20-5 ==
Calculer l'aire de l'un des sous-ensembles du plan délimités par la courbe d'équation :
:<math>y=(2+\cos x)\sin x</math>
et l'axe des abscisses.
{{Solution|contenu=
<math>\int_0^{\pi}(2+\cos)\sin=-\int_1^{-1}(2+t)\,\mathrm dt=\int_{-1}^1(2+t)\,\mathrm dt=\int_{-1}^12\,\mathrm dt=4</math>.
}}
== Exercice 20-6 ==
Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :
:<math>y=x^2(3-x)</math>
et l'axe des abscisses.
{{Solution|contenu=
<math>\int_0^3\left(3x^2-x^3\right)\,\mathrm dx=\left[x^3-\frac{x^4}4\right]_0^3=\frac{27}4</math>.
}}
== Exercice 20-7 ==
Soient <math>f</math> et <math>g</math> les fonctions définies sur l'intervalle <math>\left[-3,-2\right]</math> par :
:<math>f(x)=\frac x{x+1}</math> et <math>g(x)=-\frac1{x+1}</math>.
Calculer l'aire du sous-ensemble plan délimité, dans un repère, par les courbes représentatives de <math>f</math> et <math>g</math> (sur l'intervalle <math>\left[-3,-2\right]</math>).
{{Solution|contenu=
<math>\int_{-3}^{-2}(f-g)=\int_{-3}^{-2}1=1</math>.
}}
<!--
== Exercice 20-8 ==
Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation :
:<math>y=x^3-x-6</math>
et l'axe des abscisses.
{{Solution|contenu=Cet énoncé est aberrant car la courbe ne coupe l'axe qu'en un point (<math>x^3-x-6=(x-2)(x^2+2x+4)</math>).
}}
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