« Suites et séries de fonctions/Séries de fonctions » : différence entre les versions
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Ligne 14 :
| contenu =
Une '''série de fonctions''' est une série <math>\sum f_n</math> à valeurs dans <math>\R^{\R}</math> (l'ensemble des fonctions d'une variable réelle), c'est-à-dire qu'elle associe à chaque entier naturel <math>n</math> la fonction <math>S_n</math> :<br />
<div style="text-align: center;">
<math>(S_n) : \begin{array}[t]{lcl}\Bbb N &\rightarrow & \R^{\R} \\
n & \mapsto & S_n = {\displaystyle \sum_{k=0}^n f_k}
\end{array}
</math>
</
}}
(exemple à faire)
Ligne 31 :
On dit que <math>\sum f_n</math> '''converge simplement (CVS) vers la fonction <math>f</math>''' si, et seulement si, pour chaque réel <math>x</math> de <math>\mathcal D</math> la série numérique de terme général <math>(f_n(x))</math> converge vers le réel <math>f(x)</math> . <br />
Dans le "langage des <math>\varepsilon</math>" ,cela donne :<br />
<div style="text-align: center;">{{Encadre|contenu=<math>\forall x\in \mathcal D,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists n_{\varepsilon,x} \in \mathbb N,\ \forall n \in \mathbb N,\ n \ge n_{\varepsilon,x} \Rightarrow \left|\sum_{k=0}^n f_k(x) - f(x) \right| < \varepsilon</math>}}</
}}
Ligne 44 :
Soit <math>\sum f_n</math> une série de fonctions définies sur <math>\mathcal D\subset \R</math> .<br />
* On dit que <math>\sum f_n</math> '''converge uniformément (CVU) vers la fonction <math>f</math>''' si, et seulement si :
<div style="text-align: center;">{{Encadre|contenu=<math> \forall \varepsilon >0,\ \exists n_{\varepsilon}\in \mathbb N,\ \forall n \in \mathbb N,\ \forall x\in \mathcal D,\ n \ge n_{\varepsilon} \Rightarrow \left|\sum_{k=0}^n f_k(x) - f(x)\right| < \varepsilon</math>}}</
* Cela équivaut à dire que la suite <math>\sup_{x\in\mathcal D} |\sum_{k=0}^n f_k(x) - f(x)|</math> converge vers <math>0</math> , c'est-à-dire :
<div style="text-align: center;">{{Encadre|contenu=<math> \forall \varepsilon >0,\ \exists n_{\varepsilon}\in \mathbb N,\ \forall n \in \mathbb N,\ n \ge n_{\varepsilon} \Rightarrow \sup_{x\in\mathcal D} \left|\sum_{k=0}^n f_k(x) - f(x)\right| < \varepsilon</math>}}</
}}
Ligne 72 :
On suppose que <math>\forall n\in \mathbb N,\ \lim_{x\to a} f_n(x) \in \R</math>.<br />
Alors on a :<br />
<div style="text-align: center;">{{Encadre|contenu=<math>\lim_{x\to a} \left(\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)\right) = \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\lim_{x\to a} f_n(x)\right)</math>}}</
On parle aussi de passage à la limite terme à terme.
Ligne 83 :
Soit <math>\sum f_n \xrightarrow[n\to +\infty]{CVS} f</math> sur <math>\mathcal D \subset \R</math> et soit <math>\sum f^'_n \xrightarrow[n\to +\infty]{CVU} f^'</math> (bien sûr, les fonctions <math>f_n</math> sont supposées dérivables sur <math>\mathcal D</math> ) .<br />
Alors on a :<br />
<div style="text-align: center;">{{Encadre|contenu=<math>f'(x) = \left(\sum_{n=0}^{+\infty} f_n\right)^'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} f^'_n(x)</math>}}</
{{Théorème
Ligne 89 :
Soit <math>\sum f_n \xrightarrow[n\to +\infty]{CVU} f</math> sur <math>\mathcal D= [a;b]</math> un intervalle de <math>\R</math> et soit <math>\sum f^'_n \xrightarrow[n\to +\infty]{CVU} f</math> (les fonctions <math>f_n</math> sont supposées continues sur <math>\mathcal D = [a;b]</math> ) .<br />
Alors on a :<br />
<div style="text-align: center;">{{Encadre|contenu=<math>\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \int_a^b \left(\sum_{n=0}^{+\infty} f_n\right)(x) \mathrm{d}x = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_a^b f_n(x) \mathrm{d}x</math>}}</
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