« Théorie des groupes/Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z » : différence entre les versions

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Rappelons que si ''a'' et ''b'' sont des nombres naturels, on dit que ''a'' divise ''b'', ou encore que ''a'' est (un) diviseur de ''b'', ou encore que ''b'' est divisible par ''a'', ou encore que ''b'' est (un) multiple de ''a'', s'il existe un nombre naturel ''c'' tel que ''b'' = ''ac''. On écrit souvent <math>a \vert b</math> pour exprimer que ''a'' divise ''b''. La relation «divise» est une relation d'ordre dans '''N'''. Si un nombre naturel ''a'' divise un nombre naturel ''b'' et que ''b'' n’est pas nul, alors <math>a \leq b</math> pour la relation d'ordre usuelle dans '''N'''.<br />

Si ''a'' et ''b'' sont maintenant des entiers rationnels, nous dirons de même que ''a'' divise ''b'', ou encore que ''a'' est (un) diviseur de ''b'', ou encore que ''b'' est divisible par ''a'', ou encore que ''b'' est (un) multiple de ''a'', s'il existe un entier rationnel ''c'' tel que ''b'' = ''ac''. On vérifie facilement que si ''a'' et ''b'' sont naturels, ''a'' divise ''b'' selon la seconde définition si et seulement s'il le divise suivant la première. La relation «divise» est une relation de préordre dans '''Z'''. (Elle est réflexive et transitive, mais non antisymétrique, deux éléments de '''Z''' se divisant l'un l'autre si et seulement s'ils sont égaux ou opposés.)

 

 

Nous avons vu qu'un groupe est dit '''monogène''' s'il est engendré par un seul élément et que le sous-groupe (monogène) d'un groupe ''G'' engendré par un élément ''a'' de ''G'' est l’ensemble des éléments de ''G'' de la forme <math>a^{n}</math>, ''n'' parcourant <math>\Z</math>.

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{{Définition