« Topologie générale/Exercices/Topologie de R ou C » : différence entre les versions
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→Exercice 1 : sol |
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'''2.—''' Soit <math>f : [0,1] \rightarrow [0,1]</math> une fonction continue et <math>(u_n)_{n \in \N}</math> définie par <math>u_0 \in [0,1]</math> et la relation <math>\forall n \in \N, u_{n+1} = f(u_n)</math>. Montrer que la suite converge si et seulement si <math>u_{n+1} - u_n \rightarrow 0</math>.
{{Solution|contenu=
Remarquons d'abord que toute valeur d'adhérence de la suite est un point fixe de la fonction. En effet, si <math>u_{\varphi(n)}\to\ell</math> alors <math>u_{\varphi(n)+1}=f\left(u_{\varphi(n)}\right)\to f(\ell)</math>, or <math>u_{\varphi(n)+1}-u_{\varphi(n)}\to0</math>, donc <math>f(\ell)=\ell</math>.
D'après la question 1, l'ensemble des valeurs d'adhérence est un segment <math>\left[a,b\right]\subset\left[0,1\right]</math> et d'après la remarque, ce segment est constitué de points fixes. Montrons par l'absurde que <math>a=b</math>. Si <math>a<b</math> alors la suite prend au moins une fois (et même une infinité de fois) ses valeurs dans <math>\left]a,b\right[</math> ; elle est alors stationnaire, ce contredit bien l'hypothèse. Par conséquent, la suite n'a qu'une valeur d'adhérence, donc converge vers cette valeur.
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