« Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence affine d'ordre 2 » : différence entre les versions
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Les exercices suivants seront moins « automatiques » et nécessiteront la recherche et la mise en équation du problème, la résolution étant supposée acquise.
== Partie 1
:<math>\forall n\in\N^*\quad\frac14 a_n + \frac12 a_{n-1} + 1 = 0</math>.▼
{{Solution|contenu=▼
▲On définit la suite <math>\left( a_n \right)_{n \in \mathbb N}</math> par :
'''1.''' La relation de récurrence peut également s'écrire
▲<math>\frac14 a_n + \frac12 a_{n-1} + 1 = 0</math>
:<math>\forall n \in \N,~a_{n+1}=-2a_n-4</math>.
Il s'agit d'une suite récurrente affine d'ordre 1, de la forme
:<math>a_{n+1}=\alpha a_n+\beta</math> avec <math>\alpha=-2\ne1</math> et <math>\beta=-4</math>
L'expression explicite de <math>\left(a_n\right)</math> est alors :
:<math>\forall n\in\N\quad a_n=\alpha^n(a_0-r)+r</math> avec <math>r=\frac\beta{1-\alpha}=-\frac43</math>,
c'est-à-dire :
:<math>a_n=(-2)^n\left (a_0+\frac43\right )-\frac43</math>.▼
'''2.''' La convergence de
* Si <math>a_0=-\frac43
▲:'''1.''' Exprimer <math>a_n</math> en fonction de ''n'' ;
Soit <math>(u_n)</math> la suite définie par :▼
▲:'''2.''' La suite converge-t-elle ? Si oui, quelle est sa limite ?
▲{{Solution
▲<math>a_n=(-2)^n\left (a_0+\frac43\right )-\frac43</math>
▲'''2.''' La convergence de (a<sub>n</sub>) dépend alors de la valeur de a₀ :
▲* Si <math>a_0=-\frac43~</math>, la suite (a<sub>n</sub>) stationne à <math>-\frac43</math>, donc elle converge vers <math>-\frac43</math>.
▲* Si <math>a_0 \not=-\frac43~</math>, la suite (a<sub>n</sub>) n'admet pas de limite.}}
▲== Partie 2 ==
▲Soit la suite définie par :
* <math>u_0 = u_1 = 1 </math> ;
* <math>5u_{n+2}-4u_{n+1}-u_n = 3</math>.
▲On définit également la suite (''v<sub>n</sub>''), solution de :
* <math>v_0 = 1, v_1 = -1</math> ;
* <math>\frac12 v_{n+1} - v_n = \frac23 \left( v_{n+2} - 5 \right)</math>.
:<math>w_n = \frac{u_n - v_n}{u_n + v_n}</math>.▼
▲On pose enfin la suite définie par :
▲<math>w_n = \frac{u_n - v_n}{u_n + v_n}</math>
▲:'''1.''' Exprimer <math>u_n</math> et <math>v_n</math> en fonction de ''n'' ;
▲:'''2.''' Les suites ainsi définies convergent-t-elle ? Si oui, quelle est leur limite ?
▲:'''3.''' La quantité <math>w_n</math> est-elle définie pour tout ''n'' ?
▲:'''4.''' La suite <math>\left( w_n \right)_{n \in \mathbb N}</math> est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?
▲:'''5.''' Que dire du module de cette suite ?
{{Solution
| titre = Calcul de (u<sub>n</sub>)
| contenu =
* On commence par résoudre l'
*
* Le discriminant de
* L'ensemble des solutions de l'
* On cherche une solution particulière de l'équation de récurrence affine originale.
** On ** <math>P'(1)
* L'ensemble des solutions de l'équation de récurrence affine est alors constitué des suites <math>(s_n)</math> de la forme <math>
▲** <math>P'(1) \not =0</math> donc la suite définie par <math>\forall n \in \N,~\sigma_n=\frac n2</math> est solution particulière de l'équation de récurrence initiale.
* On utilise alors les conditions initiales pour trouver l’expression de ''u<sub>n</sub>'' en trouvant <math>\alpha</math> et <math>\beta</math> :▼
▲* L'ensemble des solutions de l'équation de récurrence est alors constitué des suites de la forme <math>\left \{\forall n \in \N,~s_n=\alpha + \beta \left ( -\frac15 \right )^n+\frac n2/(\alpha,\beta) \in \R^2 \right \}</math>
▲* On utilise alors les conditions initiales pour trouver l’expression de u<sub>n</sub> en trouvant <math>\alpha</math> et <math>\beta</math> :
* <math>\begin{cases}
\end{cases}</math> donc <math>\begin{cases}
\end{cases}</math>
* La
Finalement : <math>\forall n \in \N
▲Finalement : <math>\forall n \in \N,~u_n=\frac7{12}+\frac5{12} \left (-\frac15 \right )^n+\frac n2</math>
}}
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