« Recherche:Cardinal quantitatif » : différence entre les versions
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Ligne 867 :
<math>{card}_Q(A) ={card}_E(A)</math>
Ligne 874 :
<math>\exists A \subsetneq B \,\, : \,\, {card}_E(A) = {card}_E(B)</math>
Ligne 881 :
Soient <math>A \,\, \mbox{et} \,\, B</math>, des ensembles, alors :
Ligne 1 005 :
avec les notations suivantes :
2)
Ligne 1 067 ⟶ 1 066 :
En particulier :
a1) <math>\forall I \,\, \mbox{intervalle de} \,\, {\R''}^n</math>, vérifiant (Conditions MC élargies ou MC élargies +) ou <math>I</math> intervalle de <math>\mathbb{R}^n</math>, vérifiant (Conditions MC ou MC+),
\{0, \pi \} + 2k\pi; \,\, k \in \Z & \text{si }n=1 \\
{\mathbb{R}}^{n-1} & \text{si } n \neq 1 \\
\end{cases}</math>,
Ligne 1 130 ⟶ 1 126 :
En particulier :
\{0, \pi\} + 2k\pi; \,\, k \in \Z & \text{si } n=1\\
{\mathbb{R}}^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\
\end{cases}</math>,
\{0, \pi\} + 2k\pi; \,\, k \in \Z & \text{si } n=1 \\
\R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\
\end{cases}</math>,
\{0, \pi\} + 2k\pi; \,\, k \in \Z & \text{si } n=1 \\
\R^{n-1}& \text{si } n \neq 1 \\
\end{cases}</math>,
Remarque (Sous réserve) : Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.
En particulier, si <math>A</math> et <math>B</math> vérifient (Conditions MC ou MC+).
Ligne 1 224 ⟶ 1 220 :
Il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
Ligne 1 251 ⟶ 1 247 :
Soit <math>n \in \N^*</math>.
1) <math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> est une mesure, sur la tribu "L'ensemble des parties bornées de <math>{\mathbb{R}}^n</math>, d'une classe particulière".
3) '''<math>{card}_{Q,{\cal R}}</math> ne vérifie pas la <math>\sigma</math>-additivité, en général, sur <math>{\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>,''' car : '
qui sont toutes 2 des réunions disjointes
on aurait :
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>
et on aurait aussi
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigcup_{i \in {\mathbb{N}}^*} [2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[) \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{N}}^*) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>
et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+) \neq {card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}}_+)</math>.
Contradiction :
donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.
Ligne 1 304 ⟶ 1 295 :
'''Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notations :'''
<math>\displaystyle{\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big] = \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} [0,p] = \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} [0,p[ = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} \bigcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} [i-1,i[}</math>
<math>\displaystyle{= \bigcup_{i \in \displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}(\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}} [i-1,i[ = \bigcup_{i \in \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big] \setminus \{0\}} [i-1,i[ = \bigcup_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} [i-1,i[}</math>
et
<math>\displaystyle{\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big] = \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} [0,2p] = \lim_{p \in \N, p \rightarrow +\infty} [0,2p[ = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} \bigcup_{i \in (\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}} [2i-2,2i[}</math>
<math>\displaystyle{= \bigcup_{i \in \displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}(\N \bigcap [0,p]) \setminus \{0\}}} [2i-2,2i[ = \bigcup_{i \in \Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\setminus \{0\}} [2i-2,2i[ = \bigcup_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} [2i-2,2i[}</math>
qui sont toutes 2 des réunions disjointes
et on a :
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigcup_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} [i-1,i[\Big) = \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N^*}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([i-1,i[)}</math>
<math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>
et on a aussi
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\bigcup_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*}[2i-2,2i[\Big) = \sum _{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([2i-2,2i[) }</math>
<math>\displaystyle{= \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[) = {card}_{Q,{\cal R}}([0,2[) \sum_{i \in {\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*} 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>
Or <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) \neq 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^*\bigg) \,\,{card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)</math>
et donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math>
et même <math>{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)</math>
et il n'y a aucune contradiction :
'''On a bien <math>{([0,p])}_{p \in \N} \neq {([0,2p])}_{p \in \N}</math>.'''
'''Mais il y a quand même une interrogation :'''
'''A-t-on bien :
'''<math>\displaystyle{\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big] = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} [0,p] = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} [0,p[ = \Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]}</math>'''
'''et'''
'''<math>\displaystyle{\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big] = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} [0,2p] = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} [0,2p[ = \Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]}</math> ?'''
En tout cas, comme, <math>\forall p \in \N, \,\, [0,p[ \subset [0,p]</math> et <math>[0,2p[\subset [0,2p]</math>, on a :
<math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} [0,p] \setminus [0,p[ = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} \{p\}}</math>, qui n'a pas de sens, puisque ce n'est ni une limite d'une suite croissante de parties de <math>\R</math>, ni une limite d'une suite décroissante de parties de <math>\R</math>,
et
<math>\displaystyle{\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} [0,2p] \setminus [0,2p[ = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} \{2p\}}</math>, qui n'a pas de sens, puisque ce n'est ni une limite d'une suite croissante de parties de <math>\R</math>, ni une limite d'une suite décroissante de parties de <math>\R</math>.
et on a :
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}[0,p]) - {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}[0,p[)}</math>,
<math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) - \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}\Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,p]) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p] \setminus [0,p[)}</math>
<math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}(\{p\}) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} 1 = 1 \neq 0}</math>
'''sous réserve que l'on ait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}[0,p[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}([0,p[)}</math>, ce qui n'est pas sûr,'''
donc, en partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\Bigg) + 1 \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]\Bigg)}</math>,
donc <math>\displaystyle{\Big[\R_+,{([0,p])}_{p \in \N}\Big] \neq \Big[\R_+,{([0,p[)}_{p \in \N}\Big]}</math>,
et
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) - {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}[0,2p]) - {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}[0,2p[)}</math>,
<math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) - \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}\Big({card}_{Q,{\cal R}}([0,2p]) - {card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)\Big) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p] \setminus [0,2p[)}</math>
<math>\displaystyle{= \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}(\{2p\}) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty} 1 = 1 \neq 0}</math>
'''sous réserve que l'on ait : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}[0,2p[) = \lim_{p \in \N, p \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}([0,2p[)}</math>, ce qui n'est pas sûr,'''
donc, en partant de là : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\Bigg) + 1 \neq {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]\Bigg)}</math>,
donc <math>\displaystyle{\Big[\R_+,{([0,2p])}_{p \in \N}\Big] \neq \Big[\R_+,{([0,2p[)}_{p \in \N}\Big]}</math>.
==== Définition (Partition admissible pour effectuer des calculs avec la notion de cardinal quantitatif), ''vraisemblablement inutile'' ====
'''NB : Je crois avoir mieux que cette définition, les résultats seront différents suivant le choix du plafonnement à l'infini de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O_1</math>, du repère orthonormé <math>{\cal R}_1</math> de <math>\R</math>.'''
''Remarque :'' Ici, on peut remplacer <math>+\infty</math> par <math>+\infty_{\R}</math>.
Soient <math>A\in {\cal P}({\R}_+)</math>, non bornée, et <math>I \in {\cal P}(A)</math>, non bornée <math>\Big(</math> ou '''[mais on ne sait pas encore le définir]''' <math>I\in {\cal P}({\R})</math>, non bornée à droite, telle que <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(A)</math> <math>\Big)</math>.
Ligne 1 469 ⟶ 1 410 :
<math>(A < B) \Longleftrightarrow_{d\acute{e}f} (\forall x \in A, \,\, \forall y \in B, \,\, x < y) </math>
'''Remarque :''' On peut avoir à considérer le cas : <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R_+})</math>, non bornée et <math>J \in {\cal P}(A)</math>, non bornée et admettant un minimum, et <math>\forall j \in J,\,\, A_j \in {\cal P}(\mathbb{R}_+)</math> et <math>A_j</math> bornée et <math>\forall i,j \in J, \,\, i < j, \,\, A_i < A_j </math> et <math>\forall j \in J,\,\, I_j \in {\cal P}(A_j)</math>, '''(donc nécessairement bornée, mais infinie pour certains <math>j \in J</math>, même lorsqu'elle est dénombrable)''' et <math>{(A_{i,j})}_{i \in I_j}</math> partition d'intervalles et/ou de singletons, de <math>A_j</math> et <math>{(A_j)}_{j \in J}</math> partition de <math>A</math> :
Ligne 1 475 ⟶ 1 415 :
===Cas des intervalles <math>I</math> de <math>\mathbb{R}</math> ou de <math>\mathbb{R} ''</math>===
'''Soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}</math> ou de <math>\mathbb{R}''</math>, d'origine <math>O</math>.'''
'''Préliminaires :'''
====Notations====
Soit <math>N \in \N^*</math>.
Soit <math>A \in {\cal P}(E)</math>.
<math>{\stackrel{\circ}{A}}^E</math> est l'intérieur de <math>A</math> dans |par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\stackrel{\circ}{A}</math>)
<math>{\overline{A}}^E</math> est l'adhérence de <math>A</math> dans |par rapport à <math>E</math> (on note aussi <math>\overline{A}</math>)
<math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, {vol}^i = {vol}^{i,n}}</math> désigne la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension <math>i</math>, dans <math>\mathbb{R}^n</math>, de tribu de départ <math>{\cal A}_{i,n} = \{A_{i,n} \in {\cal P}(\R^n) \,\, ou \,\,{\cal B}(\R^n)| {dim}(A_{i,n}) = i\}</math>
<math>\displaystyle{\forall n \in \N_N^*, \,\, {vol}^0 = {vol}^{0,n}}</math> désigne la mesure de Lebesgue ou de Hausdorff, de dimension <math>0</math>, sur <math>\mathbb{R}^n</math>, c-à-d la mesure de comptage sur <math>\R^n</math> , de tribu de départ <math>{\cal A}_{0,n} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\R^n)| {dim}(A_{0,n}) = 0\} = \{A_{0,n} \in {\cal P}(\mathbb{R}^n)|{card}_E(A_{0,n}) \leq \aleph_0\}</math>
<math>\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{{vol}^i}</math>, notée, encore, <math>{vol}^i</math>, désigne le prolongement de la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension <math>i</math>, sur <math>\displaystyle{\bigcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} \mathbb{R}^n}</math>, de tribu de départ <math>\displaystyle{{\cal A}_i = \bigcup_{n \in \N_N^*, \,\, n \geq i} {\cal A}_{i,n}}</math> telle que <math>\forall n \in \N_N^*, \,\, n \geq i, \,\, \widetilde{{vol}^i}_{|{\cal A}_{i,n}} = {vol}^{i,n}</math>
Ligne 1 507 ⟶ 1 437 :
====Remarque====
'''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{(a,b)}</math> ou <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'''
Soient <math>I</math> et <math>J</math>, deux intervalles de <math>\mathbb{R}</math>, non vides et non réduits à un singleton (ou deux intervalles de <math>\mathbb{R}''</math>, non vides et non réduits à un singleton) pour lesquels les milieux respectifs de <math>\overline{I}</math> et <math>\overline{J}</math> ou de <math>\stackrel{\circ}{I}</math> et <math>\stackrel{\circ}{J}</math> existent et sont notés <math>i_0</math> et <math>j_0</math>, alors on remarque que :
1)
<math>\displaystyle{\forall x_0 \in \R^n \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\{x_0\}) = {vol}^0(\{x_0\})}</math>
En
2)
<math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big(\stackrel{\circ}{I} \bigcup (\overline{I} \setminus \stackrel{\circ}{I})\Big) \setminus \{i_0\}\bigg)}{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big(\stackrel{\circ}{J} \bigcup (\overline{J} \setminus \stackrel{\circ}{J})\Big) \setminus \{j_0\}\bigg)}}</math>
c-à-d
====Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE)====
Ligne 1 554 ⟶ 1 481 :
<math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I} \setminus \{i_0\})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J} \setminus \{j_0\})}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{I})-1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\overline{J})-1} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{I})+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(\stackrel{\circ}{J})+1}}=\frac{vol^1(I)}{vol^1(J)}</math>
'''Démonstration :'''
Ligne 1 573 ⟶ 1 499 :
Si <math>s = k \in \N</math> :
<math>\displaystyle{[0,kp[=\bigcup_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[ \,\, \mbox{et} \,\, \bigcap_{i \in \N_k^*}[(i-1)p,ip[=\emptyset}</math>
Ligne 1 604 ⟶ 1 529 :
donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,p[)+1}=\frac{{vol}^1(]0,kp[)}{{vol}^1(]0,p[)}}</math>
'''Remarque : On montre facilement le résultat pour <math>s \in \mathbb{Q}</math> et <math>s \in \mathbb{R}</math>'''
Ligne 1 627 ⟶ 1 551 :
====Axiome de normalisation :====
'''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{(a,b)}</math> ou <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'''
Soit <math>n \in \N^*</math>.
'''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math>, est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]), et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\R^n)</math>, est une famille de parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]) et si <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = A}</math>, on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>.'''
'''De plus, il semble qu'on ait :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>.
En posant :
Ligne 1 647 ⟶ 1 566 :
<math>\displaystyle{N^* = N \setminus \{0\}}</math>
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(R_+) = {card}_{Q,{\cal R}}(N^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}(N) - 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) = \widetilde{{vol}^1}(R_+) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[)}</math>
====Axiome :====
'''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{(a,b)}</math> ou <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'''
Soit <math>n \in \N^*</math>.
'''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math>, est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]), et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\R^n)</math>, est une famille de parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]) et si <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = A}</math>, on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>.'''
'''De plus, il semble qu'on ait :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>.
En posant :
Ligne 1 689 ⟶ 1 601 :
<math>\displaystyle{Z^* = Z \setminus \{0\}}</math>
<math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_-^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_+^*)</math>
Donc, comme <math>\displaystyle{R = R_-^* \bigcup \{0\} \bigcup R_+^*}</math> et que cete réunion est disjointe, on a :
<math>{card}_{Q,{\cal R}}(R)</math>
Ligne 1 713 ⟶ 1 621 :
<math>= 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(R_+) - 1</math>
On remarque que :
Ligne 1 726 ⟶ 1 633 :
et <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(Z^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(- N^* \bigcup N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(-N^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(N^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N^*)}</math>
donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R_+^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_+) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(N^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math>
donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R_+^*) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(N^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(N) - 1}</math>
et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(R) = {card}_{Q,{\cal R}}(R_-^*) + {card}_{Q,{\cal R}}(\{0\}) + {card}_{Q,{\cal R}}(R_+^*) = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_+^*) + 1 = 2 \,\,\Big({card}_{Q,{\cal R}}(R_+) - 1 \Big) + 1 = 2 \,\,{card}_{Q,{\cal R}}(R_+) - 1</math>
<math>= 2\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(N^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}([0,1[) - 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(Z^*) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1\Big) - 1</math>
donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(R) + 1}{{card}_{Q,{\cal R}}(]0,1[) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}(Z^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(Z) - 1}</math>
====Tout le reste, sauf un axiome, se déduit des axiomes et propositions précédents :====
'''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{(a,b)}</math> ou <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'''
''Remarque :'' Cet axiome et les résultats qui suivent sont, également, valables, lorsqu'on remplace <math>+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}</math> par <math>+\infty_{\R}</math> (resp. <math>+\infty_{\R''}</math>), <math>{\N'}</math> par <math>\widetilde{\N}</math> (resp. <math>\widetilde{\N''}</math>), et <math>{\R'}</math> par <math>\widetilde{\R}</math> (resp. <math>\widetilde{\R''}</math>).
'''On pose : <math>{\R'}_+ = \Big[{\R'}_+,{([0,r])}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>\N' = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'''
'''On pose : <math>]a,+\infty_{{id}_{\R}}[ = {\R'}_+ \setminus [0,a]</math>.'''
Soit <math>a,b \in \mathbb{R}'' \,\, : \,\, a \leq b</math>
alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]a, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]a,b]}) + {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]b,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[})}</math>
<math>{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}')</math>
Ligne 1 768 ⟶ 1 667 :
=====Axiome :=====
'''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{(a,b)}</math> ou <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'''
''Remarque :'' Cet axiome et les résultats qui suivent sont, également, valables, lorsqu'on remplace <math>+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}</math> par <math>+\infty_{\R}</math> (resp. <math>+\infty_{\R''}</math>), <math>{\N'}</math> par <math>\widetilde{\N}</math> (resp. <math>\widetilde{\N''}</math>), et <math>{\R'}</math> par <math>\widetilde{\R}</math> (resp. <math>\widetilde{\R''}</math>).
'''On pose : <math>{\R'}_+ = \Big[{\R'}_+,{([0,r])}_{r \in \N'}\Big]</math> et <math>\N' = \Big[\N',{(\N' \bigcap [0,p])}_{p \in \N'}\Big]</math>.'''
'''On pose : <math>]a,+\infty_{{id}_{\R}}[ = {\R'}_+ \setminus [0,a]</math>.'''
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[a,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, - a]})}</math>
On en déduit que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]a,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, - a[})}</math>
Soit <math>a \geq 0</math>
Ligne 1 793 ⟶ 1 686 :
<math>= {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[}) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[})</math>
donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]a,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]0,1[}) + 1\Big)</math>
donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]a,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]0,1[}) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^*) - a}</math>
Soit <math>a \leq 0</math>
Ligne 1 808 ⟶ 1 698 :
<math>= {card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^*) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[}) - a \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[})</math>
donc <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]a,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}) + 1 = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^*) - a \Big) \,\, \Big({card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]0,1[}) + 1\Big)</math>
donc <math>\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]a,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}) + 1 }{{card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{]0,1[}) + 1} = {card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^*) - a}</math>
Soit <math>a \in \mathbb{R}''</math>
Ligne 1 821 ⟶ 1 708 :
===Définition (dimension d'une partie ou d'une sous-variété de <math>\mathbb{R}^N</math>)===
Soit <math>N \in \N^*</math>.
Ligne 1 827 ⟶ 1 713 :
Soit <math>A_N \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)</math>.
Alors <math>{dim}(A_N) = M \,\, \iff_{d\acute{e}f} \,\, {vol}^M(A_N) \,\, existe \,\, et \,\, {vol}^M(A_N) \neq 0</math>
Ligne 1 834 ⟶ 1 719 :
===Théorème (formule de Steiner-Minkowski, pour les polytopes de <math>\R^N</math>, de dimension <math>N</math>)===
Soit <math>N \in \N^*</math>.
Soit <math>{{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)</math>
Ligne 1 843 ⟶ 1 726 :
<math>et \,\, \Big(vraisemblablement \,\, telle \,\, que \,\, {dim}({P_N}') = N\Big)\Big\}</math>.
Soit <math>P_N \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)</math>.
On pose <math>\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)} = \{x \in \mathbb{R}^N | d(P_N,x) \leq r\} = P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}</math>.
Alors <math>\displaystyle{\exists ! {\Big({\cal L}_{i,N}(P_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \mathbb{R}_+, \,\,\forall r \in \mathbb{R}_+, \,\,{vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(P_N,r)}\Big) = {vol}^N\Big(P_N + r \,\, \overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big) = \sum_{i \in \N_N} {\cal L}_{i,N}(P_N)\,\, r^i}</math>
où <math>O_N</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_N</math> de <math>\mathbb{R}^N</math>.
On a <math>{\cal L}_{0,N}(P_N) = {vol}^N(P_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(P_N) = {vol}^{N-1}(\partial P_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(P_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>.
La saga du "cardinal" version 4 {{supra|Liens}}
'''Remarque : '''
La formule de Steiner-Minkowski ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :
Ligne 1 875 ⟶ 1 748 :
Soit <math>N \in \N^*</math>.
Soit <math>{{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)</math>
Ligne 1 882 ⟶ 1 754 :
<math>et \,\, \Big(vraisemblablement \,\, telle \,\, que \,\, {dim}({P_N}') = N\Big)\Big\}</math>.
Alors
Ligne 1 891 ⟶ 1 762 :
et telle que <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N), \,\, {card}_{Q,N}(P_{N}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>
où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta(N-i)}}</math>
Ligne 1 900 ⟶ 1 770 :
et où <math>{\Big(\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})\Big)}_{i \in \N_N}</math> est la suite de coefficients donnée par la formule de Steiner-Minkowski.
Et on a : <math>c_{0,N}(P_N) = 1</math>.
Ligne 1 909 ⟶ 1 778 :
La saga du "cardinal" version 4, Théorème de Hadwiger {{supra|Liens}}
'''Remarque :''' On aurait pu poser <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{i,N}(P_{N})}{\beta(i)}}</math>, c-à-d inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel Coste, qui est, ici, notre référent et notre guide.
===Proposition===
Soit <math>N \in \N^*</math>.
Soit <math>{{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)</math>
Ligne 1 923 ⟶ 1 789 :
<math>et \,\, \Big(vraisemblablement \,\, telle \,\, que \,\, {dim}({P_N}') = N\Big)\Big\}</math>.
Soit <math>{\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N)</math>
Ligne 1 930 ⟶ 1 795 :
<math>et \,\, \Big(vraisemblablement \,\, telle \,\, que \,\, {dim}({A_N}') = N\Big)\Big\}</math>.
<math>\displaystyle{\forall A_N \in {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N)}</math>, c-à-d vérifiant les conditions MC, <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N) \,\, telle \,\, que \,\, A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>
<math>\displaystyle{et \,\, telle \,\, que \,\, (Condition \,\, peut\mbox{-}etre \,\, non \,\, n\acute{e}cessaire \,\, : \,\, \forall n,m \in \N, \,\, n \leq m, \,\, P_{N,n} \subset P_{N,m})}</math>
La saga du "cardinal" version 4 {{supra|Liens}}
Ligne 1 943 ⟶ 1 806 :
Soit <math>N \in \N^*</math>.
Soit <math>{{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)</math>
Ligne 1 950 ⟶ 1 812 :
<math>et \,\, \Big(vraisemblablement \,\, telle \,\, que \,\, {dim}({P_N}') = N\Big)\Big\}</math>.
Soit <math>{\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N)</math>
Ligne 1 957 ⟶ 1 818 :
<math>et \,\,\Big(vraisemblablement \,\, telle \,\, que \,\, {dim}({A_N}') = N\Big)\Big\}</math>.
Soit <math>\displaystyle{A_N \in {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N)}</math>, c-à-d vérifiant les conditions MC, alors <math>\displaystyle{\exists {(P_{N,n})}_{n \in \N} \subset {{\cal P}olytope}(\mathbb{R}^N)}</math> telle que <math>\displaystyle{A_N = \lim_{n \rightarrow + \infty} P_{N,n}}</math>
En utilisant, Berger, on montre que <math>\displaystyle{{card}_{Q,N} \in C^0\Big({{\cal P}olytope}(\R^N),F\Big)}</math> et
que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)}</math> existe et ne dépend pas de la suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente,
en posant <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N) = \widetilde{{card}_{Q,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,N}(P_{N,n})}</math> pour toute suite <math>{(P_{N,n})}_{n \in \N}</math> choisie de la proposition précédente.
et comme <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, {card}_{Q,N}(P_{N,n}) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>
où <math>\displaystyle{\forall P_N \in {{\cal P}olytope}(\R^N), \,\, \forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(P_N) =\frac{\mathcal{L}_{N-i,N}(P_N)}{\beta(N-i)}}</math>
Ligne 1 983 ⟶ 1 839 :
et où <math>\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N} \,\, : \,\, {{\cal P}olytope}(\R^N) \,\, \longrightarrow \,\, \R \,\, : \,\, P_N \,\, \longmapsto \,\, c_{i,N}(P_N)</math>.
On a :
Ligne 2 001 ⟶ 1 856 :
<math>{\Big(\widetilde{c_{i,N}}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N} \subset \R</math>, telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N) = \widetilde{c_{i,N}}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n})}</math>.
Et on a :
<math>{\forall i \in \N_N, \,\, \exists ! \widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}}_{|{{\cal P}olytope}(\R^N)} = {\cal L}_{i,N}}</math>, encore notée <math>{\cal L}_{i,N}</math>,
c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{\cal L}_{i,N}} \,\, : \,\, {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{\cal L}_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment,
et
<math>{\forall i \in \N_N, \,\, \exists ! \widetilde{c_{i,N}} : \,\, {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}}_{|{{\cal P}olytope}(\R^N)} = c_{i,N}}</math>, encore notée <math>c_{i,N}</math>,
c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{c_{i,N}} \,\, : \,\, {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \R \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{c_{i,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{c_{i,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment.
et
<math>\exists ! \widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}_{|{{\cal P}olytope}(\R^N)} = {card}_{Q,N}}</math>
et telle que <math>\forall {{\cal R}_N}' \,\, rep\grave{e}re \,\, orthonorm\acute{e} \,\, de \,\, \mathbb{R}^N, \,\, {{card}_{Q,{{\cal R}_N}'}}_{\Big|{\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N)} = \widetilde{{card}_{Q,N}}</math>
notée, encore, <math>{card}_{Q,N}</math>
et telle que
<math>\displaystyle{\forall A_N \in {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N)},</math>
<math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)= {card}_{Q,N}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n})= \lim_{n \rightarrow +\infty} \widetilde{{card}_{Q,N}}(P_{N,n}) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(P_{N,n})\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>
<math>\displaystyle{ = \sum_{i \in \N_N} \lim_{n \rightarrow +\infty} c_{i,N}(P_{N,n}) \,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(\lim_{n \rightarrow +\infty} P_{N,n}) \,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(A_N)\,\, \widetilde{{card}_{Q,1}}^i([0,1[)}</math>,
c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_{Q,N}} \,\, : \,\, {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^N) \,\, \longrightarrow \,\, F \,\, : \,\, A_N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)}</math>, où <math>\widetilde{{card}_{Q,N}}(A_N)</math> a été défini, précédemment,
et on a : <math>{\cal L}_{0,N}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(A_N) = {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>
et <math>c_{0,N}(A_N) = 1</math>
'''Remarque''' : On peut aussi poser <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : \bigcup_{i \in \N_N^*} {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^i) \longrightarrow F}</math>, telle que <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}_{\Big|\displaystyle{\bigcup_{i \in \N_N^*}{{\cal P}olytope}(\R^i)}} = {card_Q}}</math>
et telle que <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\,{\widetilde{{card}_Q}}_{\Big|{\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^i)} = \widetilde{{card}_{Q,i}}}</math>
et telle que <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, A^{N}_i \in {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^i),\,\, A^N = \bigcup_{i \in \N_N^*} A^N_i, \,\, \widetilde{{card}_Q}(A^N)
et notée, encore, <math>{card}_{Q}</math>,
c'est l'application <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q} : \bigcup_{i \in \N_N^*} {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^i) \longrightarrow F \,\, : \,\, A^N \,\, \longmapsto \,\, \widetilde{{card}_Q}(A^N)}</math>,
où <math>\displaystyle{A^N = \bigcup_{i \in \N_N^*} A^{N}_i}</math> et où <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, A^{N}_i \in {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R}^i)</math> et où <math>\displaystyle{\widetilde{{card}_Q}(A^N) = \widetilde{{card}_Q}(\bigcup_{i \in \N_N^*} A^{N}_i) = \sum_{i \in \N_N^*} \widetilde{{card}_Q}(A^{N}_i)}</math> et où <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N^*, \,\, \widetilde{{card}_Q}(A^{N}_i)}</math> a été défini, précédemment.
La saga du "cardinal" version 4, Formule de Steiner-Minkowski, Volume mixte, Théorème de Hadwiger {{supra|Liens}}
'''Remarque :'''
Ligne 2 082 ⟶ 1 912 :
===Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif===
====Exemples 1====
'''NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.'''
'''[Citation de "Matheux philosophe"]'''
'''[Citation de "bolza"]'''
"L'infini" de l'intervalle <math>[0,1]</math> est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle <math>[0,10]</math> ?
Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui".
Ligne 2 145 ⟶ 1 969 :
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit <math>n \in \N^*</math>.
'''NB : Le cas d'une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, c-à-d de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de <math>\mathbb{R}^n</math>, de classe <math>C^1</math> par morceaux, a été traité, entièrement, par Michel Coste, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.'''
Ligne 2 151 ⟶ 1 974 :
'''NB : Cf. aussi page 2 de cette discussion, message du 10 août 2015 17:36, en étant logué, ainsi que les quelques messages qui lui succèdent, sur certaines précautions à prendre, étant donné que <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel sur <math>\mathbb{R}^n</math>, en cherchant à définir la notion de partition acceptable ou admissible ou éligible pour pouvoir mener à bien, les calculs avec le cardinal quantitatif, sans obtenir de contradiction.'''
Soit <math>\forall i \in \N_n^*,\,\,{\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>.
Ligne 2 164 ⟶ 1 986 :
<math>\displaystyle{{card}_E([0,10[) = {card}_E(\bigcup_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_E( [i-1,i[) = \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} {card}_E([0,1[) = {card}_E([0,1[) \,\, \sum_{i \in {\mathbb{N}}^*_{10}} 1 = 10 \,\, {card}_E([0,1[) = {card}_E([0,1[)}</math>
'''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math>, est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]), et si <math>{(A_i)}_{i \in I}\subset {\cal P}(E)</math>, est une famille de parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]) et si <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = A}</math>, on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>.'''
'''De plus, il semble qu'on ait :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }</math>.
'''On considère le plafonnement carré, à l'infini de <math>\R^2</math>, autour de l'origine <math>O_2</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> : <math>\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]</math>.'''
'''Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et <math>{card}_Q</math> n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :'''
'''Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :'''
'''"2 calculs du cardinal quantitatif de <math>\R^2</math> aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements à l'infini, {associés à|de} <math>\R^2</math>, différents, autour de l'origine <math>O_2(0,0)</math> d'un même repère orthonormé direct <math>{\cal R}_2</math> de <math>\R^2</math>."'''
On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>
On peut retrouver cette formule de la façon suivante :
Comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 = \bigcup_{x \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]} \bigg \{(x,y) \in {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]}^2 \bigg|y \in \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N} \Big]\bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe,
c-à-d, en posant <math>\displaystyle{R = \Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{R^2 = {\Big[\R, {({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2}</math>,
comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = R^2 = \bigcup_{x \in R} \{(x,y) \in R^2 |y \in R\}}</math> et que la réunion est disjointe,
on a :
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2,{({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) }</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]}^2\bigg) }</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(R^2)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigcup_{x \in R} \{(x,y) \in R^2|y \in R\}\Big)}</math>
<math>\displaystyle{= \int_{R} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(x,y) \in R^2|y \in R\}\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math>
<math>\displaystyle{= \int_{R} {card}_{Q,{\cal R}_1}(R) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R) \,\,\int_{R} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(R) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(R)}</math>
<math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(R)\Big)}^2}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(R)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>
<math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{({[-r,r]})}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>
alors qu'on a : <math>\displaystyle{{card}_E({\mathbb{R}}^2) = {\Big({card}_E(\mathbb{R})\Big)}^2 = {card}_E(\mathbb{R})}</math>
(Remarque : On aurait pu remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>[0,1]</math> et <math>{\mathbb{R}}^2</math> par <math>{[0,1]}^2</math>.)
'''ou plus simple :'''
On a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg) = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)\Bigg)}^2 > {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math>
On peut retrouver cette formule de la façon suivante :
Comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2= \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \Bigg\{(n,m) \in {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2 \Bigg|m \in \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg] \Bigg\}}</math> et que la réunion est disjointe
Ligne 2 255 ⟶ 2 049 :
c-à-d en posant : <math>\displaystyle{N = \bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}</math> et <math>\displaystyle{N^2 = {\bigg[\N,{{(\N \bigcap [0,p])}}_{p \in \N}\bigg]}^2}</math>
comme <math>\displaystyle{\bigg[\N^2,{{(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg] = N^2 = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \{(n,m) \in N^2 |m \in N\}}</math> et que la réunion est disjointe,
on a :
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg({\bigg[\N^2, {(\N \bigcap [0,p])}^2}_{p \in \N}\bigg]\Bigg)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg({\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]}^2\bigg)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}(N^2)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\bigcup_{n \in N} \{(n,m) \in N^2 |m \in N\}\Big)}</math>
<math>\displaystyle{= \sum_{n \in N} {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(n,m) \in N^2 |m \in N\} \Big)}</math>
<math>\displaystyle{= \sum_{n \in N} {card}_{Q,{\cal R}_1}(N)}</math>
<math>\displaystyle{={card}_{Q,{\cal R}_1}(N) \,\,\sum_{n \in N} 1}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}(N) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(N)}</math>
<math>\displaystyle{= {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}(N)\Big)}^2 }</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2(N)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg) }</math>
<math>\displaystyle{> {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\N,{(\N \bigcap [0,p])}_{p \in \N}\Big]\bigg)}</math>
alors qu'on a <math>\displaystyle{{card}_E({\mathbb{N}}^2) = {\Big( {card}_E(\mathbb{N})\Big)}^2 = {card}_E(\mathbb{N})}</math>
et plus généralement :
Soit <math>E' \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math>.
Si <math>\forall x \in E', \,\, A_x \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>\displaystyle{\forall x,y \in E', \,\, x \neq y, \,\, A_x \bigcap A_y = \emptyset}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigcup_{x \in E'} A_x}</math>
Ligne 2 316 ⟶ 2 091 :
<math>\displaystyle{(*) \,\, {card}_E(A) = {card}_E\Big(\bigcup_{x \in E'} A_x\Big) = \int_{E'} {card}_E(A_x) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_n}(x)}</math>
Remarque : <math>\displaystyle{\exists E'' \in {\cal P} (E') \,\, : \,\, E''=\{x \in E', \,\, A_x \neq \emptyset\}}</math> et <math>\displaystyle{A = \bigcup_{x \in E''} A_x}</math>
'''Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités <math>(*)</math> impliquant à la fois le cardinal quantitatif et le cardinal équipotentiel] :'''
'''Une égalité n'impliquant que des cardinaux quantitatifs ou que des cardinaux équipotentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal équipotentiel et le cardinal quantitatif.'''
Comme d'une part, on a : <math>\displaystyle{{card}_E(\R^2) = {card}_E(\R)}</math>
et d'autre part, on a :
<math>{card}_E({\mathbb{R}}^2) = {card}_E( \bigcup_{x \in \mathbb{R}} \{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) = \int_{\mathbb{R}} {card}_E(\{(x,y) \in {\mathbb{R}}^2 |y \in \mathbb{R}\}) \,\, d \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = \int_{\mathbb{R}} {card}_E(\mathbb{R}) \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x)</math>.
<math>\displaystyle{= {card}_E(\mathbb{R}) \,\,\int_{\mathbb{R}} \,\, d \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}(x) = {card}_E(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math>
On obtient la formule :
<math>\displaystyle{{card}_E(\mathbb{R}) = {card}_E(\mathbb{R}) \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}(\mathbb{R})}</math>
'''[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]'''
Ligne 2 349 ⟶ 2 115 :
====Exemples 2 ("Suite 1 Cardinal quantitatif de parties de <math>\mathbb{R}^n</math>(26)" )====
Soit <math>N \in \N^*</math>.
Soit <math>\forall i \in \N_N^*, \,\, {\cal R}_i</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^i</math>, d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>.
On désigne par <math>\forall i \in \N_N^*, \,\,{card}_{Q,i} = {card}_{Q,{\cal R}_i}</math>, le cardinal quantitatif relatif au repère <math>{\cal R}_i</math> et <math>{card}_Q = {card}_{Q,{\cal R}}</math>.
'''Remarque :''' La notion de cardinal quantitatif est une notion plus fine que celle de cardinal équipotentiel (ou de Cantor) : Elle l'affine.
Mais, on ne sait, pour le moment, la définir que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, contrairement au cardinal équipotentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^n</math>.
=====Remarque préliminaire 1=====
Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>
Ligne 2 371 ⟶ 2 132 :
et <math>{epi}(f) = \Big\{(x,y) \in A \times \mathbb{R}\Big|y \geq f(x)\Big\}</math>, l'épigraphe de <math>f</math> :
1) Alors si <math>f(A)</math> est fini dénombrable :
<math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,{card}_{Q,1}\Big((a.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math>
2) <math>{card}_{Q,1}\Big((0.f)(A)\Big) = {card}_{Q,1}(\{0\}) = 1 \neq 0 \,\, {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big) = 0</math>
3) <math>{card}_{Q,1}\Big(-f(A)\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(A)\Big)</math>
4) Soient <math>f,g \,\, : A \,\, \longrightarrow \mathbb{R}</math>.
a) <math>f \leq g \Longrightarrow {epi}(f) \supset {epi}(g) \Longrightarrow {card}_{Q,1}\Big({epi}(f)\Big) \geq {card}_{Q,1}\Big({epi}(g)\Big)</math>
b) Soit <math>B \subset A</math> :
Ligne 2 395 ⟶ 2 150 :
=====Proposition 2=====
Soit <math>N \in \N^*</math>.
Soit <math>A_N \in {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\R^N)</math>.
On pose <math>\forall i \in \N_N, \,\, \beta(i) = {vol}^i\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^i}(O_i,1)}\Big)</math>
où <math>\forall i \in \N_N, \,\, O_i</math> est l'origine du repère orthonormé <math>{\cal R}_i</math> de <math>\mathbb{R}^i</math> et <math>{\cal R} = {\cal R}_N</math>.
Soit <math>{\Big({\cal L}_{i,N}(A_N)\Big)}_{i \in \N_N}</math> suite de coefficients définie dans le corollaire {{supra|Corollaire}}.
On pose <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, W_{i,N}(A_N) = \frac{{\cal L}_{i,N}(A_N)}{C_{N}^{i}}}</math>.
On pose <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(A_N) = \frac{{\cal L}_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math>.
Alors on a :
<math>\displaystyle{{card}_{Q,N}(A_N) = \sum_{i \in \N_N} c_{i,N}(A_N) \,\, {card}_{Q,1}^i([0,1[)}</math>
et <math>\displaystyle{\forall i \in \N_N, \,\, c_{i,N}(A_N) = \frac{C_{N}^{i} \,\, W_{N-i,N}(A_N)}{\beta(N-i)}}</math>
et on a <math>{\cal L}_{0,N}(A_N) = {vol}^N(A_N)</math>, <math>{\cal L}_{1,N}(A_N) = {vol}^{N-1}(\partial A_N)</math> et <math>{\cal L}_{N,N}(A_N)= {vol}^N\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^N}(O_N,1)}\Big)</math>
et <math>c_{0,N}(A_N) = 1</math>
La saga du "cardinal" version 4 {{supra|Liens}}
=====Proposition 3=====
Soit <math>I</math> un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>
Ligne 2 441 ⟶ 2 182 :
<math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}\Big(f(I)\Big)}</math>
De plus, si <math>f</math> est (peut-être bornée) (peut-être aussi convexe) :
<math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}\Big(f(I)\Big) = \int_{I} d \,\, {card}_{Q,1} \Big(f(x')\Big) = \int_{I} f'(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>
'''Cette proposition est fausse, nous allons la corriger.'''
Ligne 2 455 ⟶ 2 194 :
<math>et \,\, (vraisemblablement \,\, telle \,\, que \,\, dim({A_N}') = N) \}</math>.
Soit <math>A \in {\cal P}_{B,C,(C),C^1}(\R)</math>, alors <math>\overline{A} \in {\cal P}_{C,C,(C),C^1}(\mathbb{R})</math>.
Alors <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(\overline{A}) = c_{1,1}(\overline{A}) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}(\overline{A})}</math>
Soit <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_Q-mesurable</math>.
Alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>.
Soit <math>B \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>.
Si <math>f \,\, : \,\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \,\, {card}_{Q,1}-mesurable</math>, <math>g = f \,\, \mathbb{I}_B</math>
alors <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} g(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>,
c-à-d <math>\displaystyle{\int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_{\mathbb{R}} (f \,\, \mathbb{I}_B)(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>
c-à-d <math>\displaystyle{\int_B f(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) + \int_B f(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}</math>
Soit <math>f \in C^1-diff\acute{e}ormorphisme(\overline{A},\mathbb{R}), \,\, {card}_{Q,1}-mesurable</math>,
On pose <math>\displaystyle{J = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x)}_{J_1} + \underbrace{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)}_{J_2}}</math>
<math>\displaystyle{c_{i,N}(\overline{A}) =\frac{{\cal L}_{N-i,N}(\overline{A})}{\beta(N-i)}}</math>
Ici <math>N = 1</math>,
<math>\displaystyle{c_{0,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{1,1}(\overline{A})}{\beta(1)} = \frac{vol^{0}(\partial \overline{A})}{2} = \frac{vol^{0}(\partial A)}{2}}</math>
<math>\displaystyle{c_{1,1}(\overline{A}) = \frac{{\cal L}_{0,1}(\overline{A})}{\beta(0)} = {vol}^1(\overline{A})}</math>
<math>\displaystyle{J_1 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{1,1}(x) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {vol}^1(x) = \int_{\overline{A}} d \,\, {vol}^1\Big(f(x)\Big) = \int_{f(\overline{A})} d \,\, {vol}^1(x) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>
<math>= c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)</math>
<math>\displaystyle{J_2 = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\, \frac{vol^{0}(x)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} f'(x) \,\, d \,\,vol^{0}(x)}</math>
or <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math> et <math>f'</math> continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>{f'}_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\exists a_1, a_2 \in \overline{A}, \,\, \partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f'(\partial A) = \{f'(a_1), f'(a_2)\}</math>
donc <math>\displaystyle{J_2 = \frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2}}</math>
or <math>\displaystyle{c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{f(\overline{A})} \,\, d \,\, c_{0,1}(x) = \int_{\overline{A}} \,\, d \,\, c_{0,1}\Big(f(x)\Big) = \int_{\partial A} d \,\, \frac{vol^{0}\Big(f(x)\Big)}{2} = \frac{1}{2} \,\, \int_{\partial A} d \,\, vol^{0}\Big(f(x)\Big)}</math>
<math>\displaystyle{= \frac{1}{2} \,\, \int_{f(\partial A)} d \,\, vol^{0}(x) = \frac{1}{2} \,\, vol^{0}\Big(f(\partial A)\Big) = 1}</math>
car <math>\overline{A}</math> compact, connexe de <math>\mathbb{R}</math>, et <math>f \,\, C^1</math> sur <math>\overline{A}</math> donc continue sur <math>\overline{A}</math> donc <math>f_{|\overline{A}}</math> est bornée et atteint ses bornes, en particulier comme <math>\partial A = \{a_1,a_2\}</math>, <math>f(\partial A) = \{f(a_1), f(a_2)\}</math>
donc <math>\displaystyle{J_2 \neq c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>
donc <math>\displaystyle{J = {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2 \neq {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>
donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \neq \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math>
mais on a <math>\displaystyle{J_2 = \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>
donc <math>\displaystyle{\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math>
<math>= J</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, J_1 + J_2}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big)+ \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x)\Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>
<math>\displaystyle{= \bigg({card}_{Q,1}([0,1[) \,\, c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)\bigg) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) + \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>
c-à-d <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, c_{0,1}(x) - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>
c-à-d <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = \int_{\overline{A}} f'(x) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) - \Big(\frac{f'(a_1) + f'(a_2)}{2} - 1 \Big) \,\, c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>
Vérification de la formule : <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>
On a : <math>\displaystyle{\frac{{card}_Q\Big(f(\overline{A})\Big) - 1}{{card}_{Q,1}([0,1]) - 1} = \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])}}</math>
Ligne 2 570 ⟶ 2 272 :
<math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>
<math>\displaystyle{=\frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - \frac{{vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big)}{{vol}^1([0,1])} + 1}</math>
<math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math>
<math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) + 1}</math>
<math>\displaystyle{= {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math>
donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = {vol}^1\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math>
c-à-d <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}\Big(f(\overline{A})\Big) = c_{1,1}\Big(f(\overline{A})\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + c_{0,1}\Big(f(\overline{A})\Big)}</math>
'''Sous réserve : Attention, si <math>\overline{A} = [0,a_2]</math>, comme <math>\displaystyle{\lim_{a_2 \rightarrow \pm \infty} a_2} = \pm \infty</math> :'''
'''Généralement on n'a pas :''' <math>\displaystyle{\lim_{a_2 \rightarrow \pm \infty}{card}_{Q,1}([0,a_2]) = {card}_{Q,1}([0, \lim_{a_2 \rightarrow \pm \infty} a_2])}</math>
=====Remarque importante 4=====
Si <math>f'(I) = \{0\}</math> alors <math>f = C_f \in \mathbb{R}</math> et <math>\displaystyle{{card}_{Q,1}(G_f)= {card}_{Q,1}(I)}</math>
Ligne 2 604 ⟶ 2 297 :
=====Proposition 5=====
Soit <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> : <math>\exists{(I_i)}_{i \in \mathbb{Z}}</math> partition de <math>A</math>, telle que <math>\forall i \in \mathbb{Z}</math> <math>I_i</math> est soit un intervalle de <math>\mathbb{R}</math>, soit un singleton de <math>\mathbb{R}</math>, soit <math>\emptyset</math>.
Ligne 2 613 ⟶ 2 304 :
=====Cas des parties non bornées de <math>\mathbb{R}^n</math> (Il y a une condition d'éligibilité ou d'admissibilité, à prendre en compte, concernant les partitions de <math>\mathbb{R}</math>, éligibles ou admissibles, pour établir des calculs avec le cardinal quantitatif)=====
Soit <math>f \in {\cal C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})</math>
Ligne 2 622 ⟶ 2 312 :
<math>{card}_{Q,2}(A_f)</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \leq f(x)\}\Big)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Big( \bigcup_{x' \in \mathbb{R}} \Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big)}</math>
<math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,2} \Big(\Big](x',-\infty),\Big(x',f(x')\Big)\Big]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>
<math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big(]-\infty,f(x')]\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>
<math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \Big([- f(x'),+\infty[\Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>
<math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} \Big({card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + f(x') \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \Big) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, \int_{\mathbb{R}} d \,\, {card}_{Q,1}(x') + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, {card}_{Q,1}(\N) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>
<math>\displaystyle{= \underbrace{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, {card}_{Q,1}(\mathbb{R})}_{={card}_{Q,2}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+)} + \frac{{card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+)}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,1}(\mathbb{R}_+) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math>
<math>\displaystyle{= \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + 1 \Big) \,\, \Big({card}_{Q,1}(\mathbb{R}) + \frac{1}{{card}_{Q,1}(\N)} \,\, \int_{\mathbb{R}} f(x') \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')\Big)}</math>
Soit <math>f,g \in C^0(\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}})</math>
Ligne 2 666 ⟶ 2 344 :
<math>{card}_Q(A_{f,g})</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,2}\Big(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x) \leq_{f(x)} y \leq_{g(x)} g(x)\}\Big)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg( \bigcup_{x' \in \mathbb{R}} \bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)} \Bigg)}</math>
<math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,2} \Bigg(\bigg(_{\Big(x',f(x')\Big)}\Big(x',f(x')\Big),\Big(x',g(x')\Big)\bigg)_{\Big(x',g(x')\Big)}\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>
<math>\displaystyle{= \int_{\mathbb{R}} {card}_{Q,1} \bigg(\Big(_{f(x')} f(x'),g(x')\Big)_{g(x')}\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x')}</math>
Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer le cardinal quantitatif de n'importe quelle partie de <math>\mathbb{R}^n</math>.
=====Revenons aux parties bornées de <math>\mathbb{R}^n</math>, en particulier aux parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\mathbb{R}^n</math>, avec <math>n = 2</math>=====
<math>{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big)</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,2} \Bigg(\bigcup_{x \in [-1,1]} \bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg)}</math>
<math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,2} \Bigg(\bigg[\Big(x,-\sqrt{1-x^2}\Big),\Big(x,\sqrt{1-x^2}\Big)\bigg]\Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math>
<math>\displaystyle{= \int_{[-1,1]} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)}</math>
<math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} {card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big]\bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x)+ 2 \,\, {card}_{Q,1}(\{0\})}</math>
<math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({card}_{Q,1} \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math>
<math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg({vol}^1 \bigg(\Big[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2}\Big[\bigg) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math>
<math>\displaystyle{= \int_{]-1,1[} \Bigg(2 \sqrt{1-x^2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 \Bigg) \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math>
<math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + \int_{]-1,1[} d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2}</math>
<math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}(]-1,1[) + 2}</math>
<math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {card}_{Q,1}([-1,1[) - 1 + 2}</math>
<math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + {vol}^1([-1,1[) \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math>
<math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1}</math>
<math>\displaystyle{= 2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1}</math>
Or d'après l'un des PDF de Michel Coste :
<math>\displaystyle{{card}_{Q,2}\Big(\overline{B_{\mathbb{R}^2} (0,1)}\Big) = \pi \,\, {card}_{Q,1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math>
donc <math>\displaystyle{2 \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) + 1 = \pi \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) + 1}</math>
c-à-d <math>\displaystyle{2 \,\, \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) + 1 \Big) = \pi \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big)}</math>
c-à-d <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, \Big({card}_{Q,1}([0,1[) + 1\Big) - 1 = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math>
c-à-d <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \Big(\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {vol}^1(x)\Big) \,\, {card}_{Q,1}([0,1]) - 1}</math>
c-à-d <math>\displaystyle{\int_{]-1,1[} \sqrt{1-x^2} \,\, d \,\, {card}_{Q,1}(x) = \frac{\pi}{2} \,\, {card}_{Q,1}([0,1[) + \frac{\pi}{2} - 1}</math>
Ligne 2 760 ⟶ 2 411 :
et si <math>n \in \N_N^*</math>, <math>\forall i \in \N_n^*</math>, on définit <math>A_{n-i} = {''\partial^i(A_n)''} =_{def} {''\partial^1\Big({''\partial^{i-1}(A_n)''}\Big)''}</math>, en supposant que <math>A_{n-i}</math> est une réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes de <math>\mathbb{R}^n</math>, non vides, de dimension <math>n-i</math>, dont, sauf concernant <math>A_0</math>, le "bord" est non vide et de classe "non <math>C^0</math>".
On a :
Ligne 2 778 ⟶ 2 428 :
Soit <math>n \in \N^*</math> et soit <math>\forall i \in \N_n^*, \,\, {\cal R}_i</math> est un repère orthonormé de <math>\R^i</math> d'origine <math>O_i{(0)}_{j \in \N_i^*}</math>.
'''Remarque :''' J'hésite, ici, à utiliser la notation <math>+\infty_{\R}</math>, plutôt que la notation usuelle <math>+\infty</math> :
Ligne 2 787 ⟶ 2 436 :
et dans ma théorie, <math>\displaystyle{\R = \bigcap_{c_+ \in \R_+} ]-\infty_{\R} + c_+, + \infty_{\R} - c_+[ \subsetneq ]-\infty_{\R},+\infty_{\R}[ = \widetilde{\R} \subsetneq [-\infty_{\R},+\infty_{\R}] = \overline{\widetilde{\R}}}</math>.
'''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math>, est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]), et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\R^n)</math>, est une famille de parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]) et si <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = A}</math>, on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>.'''
'''De plus, il semble qu'on ait :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_i) }</math>.
'''1) Suivant un plafonnement carré, à l'infini, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés <math>(O_2x)</math> et <math>(O_2y)</math> noté <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math> :'''
'''Ici, on considère que :''' <math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} [-r,r]}</math>
'''et que :''' <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N} \Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} [-r,r]^2 = {\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} [-r,r]\Big)}^2 = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]}^2}</math>.
On remarque :
D'une part, que
<math>\forall r \in \N, \,\, [-r,r]</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R</math> et boule particulière de <math>\R</math>
et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} [-r,r] = \Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>
et d'autre part, que
<math>\forall r \in \N, \,\, {[-r,r]}^2</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule particulière de <math>\R^2</math>
et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} {[-r,r]}^2 = \Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]}</math>
donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} {[-r,r]}^2\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big({[-r,r]}^2\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}{\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([-r,r])\Big)}^2}</math>
<math>\displaystyle{= {\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([-r,r])\Big)}^2 = {\bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}[-r,r]\Big)\bigg)}^2 = {\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)\Bigg)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N} \Big]\bigg)}</math>
'''2) Suivant un plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine, noté <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math> :'''
'''Ici, on considère que :''' <math>\displaystyle{\bigg[\R^2, {\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} {'' = B_{\R^2}(O_2,+\infty)''}}</math>.
On remarque que :
<math>\forall r \in \N, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}</math> partie compacte, convexe, (connexe), de <math>\R^2</math> et boule euclidienne de <math>\R^2</math>
et <math>\displaystyle{\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]}</math>
donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math>
<math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = ?</math>
Comme on sait que <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) + \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) + 1 </math>
et que
<math>{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1[) = {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1</math>
<math>{card}_{Q,{\cal R}_2}({[0,1[}^2) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1[) = {\Big({card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) - 1\Big)}^2 = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1</math>,
on a <math>{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,1)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,1]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,1]) + 1 </math>
Je crois que <math>\forall r \in \N, \,\, {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) = \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1 </math>, mais je n'en suis pas certain.
Partant de là :
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math>
<math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math>
<math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}\Big(\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1\Big)}</math>
<math>\displaystyle{= \pi \,\,\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}^2([0,r]) - \pi \,\, \lim_{r \in \R_+, r \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}_1}([0,r]) + 1}</math>
<math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}[0,r]\Big) - \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}\Big(\lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty}[0,r]\Big) + 1}</math>
<math>\displaystyle{= \pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \pi \,\, {card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R_+,{([0,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1}</math>
<math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{\Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)+1\Bigg)}^2 - \frac{1}{2}\pi \,\, \Bigg({card}_{Q,{\cal R}_1}\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) + 1\Bigg) + 1}</math>
<math>\displaystyle{= \frac{1}{4}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg) - \frac{1}{4}\pi + 1}</math>
<math>\displaystyle{\neq {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R,{([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>
'''En quelque sorte, comme :'''
<math>\displaystyle{B_{\R^2}(O_2,0) = [-0,0]^2 = \{(0,0)\} = \{O_2\}}</math>
et donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(B_{\R^2}(O_2,0)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_2}([-0,0]^2) = {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(\{(0,0)\}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_2}(\{O_2\})}</math>
et comme <math>\forall r \in \N^*, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} \subsetneq {[-r,r]}^2</math>
donc <math>\displaystyle{\forall r \in \N^*, \,\,{card}_{Q,{\cal R}_2}([-r,r]^2) - {card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(B_{\R^2}(O_2,r)\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}\Big({[-r,r]}^2 \setminus \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) > 0}</math>,
et comme <math>{\bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big({[-r,r]}^2 \setminus \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)\bigg)}_{r \in \N^*}</math> strictement croissante,
et comme <math>\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \lim_{r \in \N^*, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} = \bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N^*}\bigg]}</math>
et comme <math>\displaystyle{\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = \lim_{r \in \N, r \rightarrow +\infty} {[-r,r]}^2 = \lim_{r \in \N^*, r \rightarrow +\infty} {[-r,r]}^2 = \Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N^*}\Big]}</math>,
on a :
<math>''\displaystyle{B_{\R^2}(O_2,+\infty) \subsetneq \R \times \R}''</math>
c-à-d
<math>''\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N^*}\bigg] \subsetneq \Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N^*}\Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N^*}\Big]}^2}''</math>
donc <math>''\displaystyle{\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg] \subsetneq \Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big] = {\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}^2}''</math>
(et on peut peut-être supprimer les guillemets concernant la ligne ci-dessus),
et donc <math>\displaystyle{''{card}_{Q,{\cal R}_2}\Big(B_{\R^2}(O_2,+\infty)\Big) < {card}_{Q,{\cal R}_2}(\R \times \R)''}</math>
c-à-d <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_2}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg) < {card}_{Q,{\cal R}_2}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_1}^2\bigg(\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]\bigg)}</math>
car <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N}\Big]\bigg) - {card}_{Q,{\cal R}}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N}\bigg]\Bigg)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}\bigg(\Big[\R^2, {({[-r,r]}^2)}_{r \in \N^*}\Big]\bigg) - {card}_{Q,{\cal R}}\Bigg(\bigg[\R^2,{\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}_{r \in \N^*}\bigg]\Bigg)}</math>
<math>\displaystyle{= {card}_{Q,{\cal R}}(\lim_{r \in \N^*, r \rightarrow + \infty}{[-r,r]}^2) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\lim_{r \in \N^*, r \rightarrow + \infty}\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math>
<math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N^*, r \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}({[-r,r]}^2) - \lim_{r \in \N^*, r \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)}</math>
<math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N^*, r \rightarrow + \infty}\bigg({card}_{Q,{\cal R}}({[-r,r]}^2) - {card}_{Q,{\cal R}}\Big(\overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)\bigg)}</math>
<math>\displaystyle{= \lim_{r \in \N^*, r \rightarrow + \infty}{card}_{Q,{\cal R}}\Big({[-r,r]}^2 \setminus \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) > 0}</math>
car <math>\forall r \in \N^*, \,\, \overline{B_{\R^2}(O_2,r)} \subsetneq {[-r,r]}^2</math> donc <math>\displaystyle{\forall r \in \N^*, \,\,{card}_{Q,{\cal R}}\Big({[-r,r]}^2 \setminus \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big) > 0}</math>
et <math>{\bigg({card}_{Q,{\cal R}}\Big({[-r,r]}^2 \setminus \overline{B_{\R^2}(O_2,r)}\Big)\bigg)}_{r \in \N^*}</math> strictement croissante.
'''Remarque :'''
'''Dans ce qui suit, il y a vraisemblablement quelques mises au point à faire.'''
'''(*) Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math>, est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]), et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\R^n)</math>, sont des familles de parties compactes, convexes, (connexes), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]) et si <math>{(A_i)}_{i \in I} \neq {(B_i)}_{i \in I}</math> et si <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = A}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = A}</math>, on préfère les notations plus précises et dépendantes des familles <math>{(A_i)}_{i \in I}</math> et <math>{(B_i)}_{i \in I}</math> : <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>.'''
'''De fait, on peut avoir : <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>.'''
'''De plus, il semble qu'on ait :''' <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R_n}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}_n}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_i) }</math>.
'''(1) Si de plus par rapport à (*), <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \subsetneq B_i}</math> et <math>\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i \setminus A_i \neq \emptyset</math>, alors on a <math>''\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \subsetneq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}''</math>'''
'''(2) Si de plus par rapport à (*), <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i \setminus A_i = \emptyset}</math>, alors on a <math>''\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] = \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}''</math>'''
'''(et on peut peut-être supprimer les guillemets concernant les 2 lignes ci-dessus).'''
'''(3) Si de plus par rapport à (*), <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)}\Big({card}_{Q,{\cal R}_n}(B_i) - {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_i)\Big) > 0}</math>,'''
'''alors on a <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}\bigg(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\bigg(\Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\bigg)}</math> et <math>\displaystyle{\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big] \neq \Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]}</math>,'''
'''(4) Si de plus par rapport à (*), <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)}\Big({card}_{Q,{\cal R}_n}(B_i) - {card}_{Q,{\cal R}_n}(A_i)\Big) = 0}</math>, alors on a <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}\bigg(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) = {card}_{Q,{\cal R}_n}\bigg(\Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\bigg)}</math>,'''
'''donc, en particulier, si de plus par rapport à (*), <math>\displaystyle{\forall i \in I, \,\, A_i \subsetneq B_i}</math> et <math>\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} B_i \setminus A_i \neq \emptyset</math>,'''
'''alors on a <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}\bigg(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) < {card}_{Q,{\cal R}_n}\bigg(\Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\bigg)}</math>'''
'''De fait, contrairement avec la notation de limite usuelle, le fait d'avoir <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}_n}\bigg(\Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) \neq {card}_{Q,{\cal R}_n}\bigg(\Big[A,{(B_i)}_{i \in I}\Big]\bigg) }</math> ne pose pas de problème et n'entraîne aucune contradiction.'''
Ligne 3 033 ⟶ 2 595 :
N'oubliez pas de consulter : philo-et-societe-2-0.com {{supra|Liens}}
'''Remarque importante préliminaire :'''
On prolonge <math>\mathbb{R}_+</math> , par une infinité continue de nombres infinis positifs.
Ligne 3 045 ⟶ 2 605 :
On pourra alors, mesurer et distinguer, lorsque tel est le cas, les longueurs de 2 courbes infinies, les aires de 2 surfaces infinies, les volumes de 2 espaces tridimensionnels infinis, etc, <math>\cdots</math>.
A) '''Définition :'''
1) a) <math>\displaystyle{\forall a \in \mathbb{R} \bigcup \{+\infty_{\R}\}}</math>, soit <math>\displaystyle{f\,\, : \,\, ]-\infty_{\R},a[ \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}}</math>, continue, strictement croissante telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x < a, \,\, x \rightarrow a} f(x) = +\infty_{\R}}</math>
et pour
Ce qui se note <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x < a, \,\, x \rightarrow a}^{\sim} f(x) = +\infty_{\lim,f, a}}</math>
ou
b) Soit <math>f\,\, : \,\, \mathbb{R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}</math>,
et pour laquelle <math>\not \exists g,h \,\, : \,\, \mathbb{R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}</math>, telles que <math>f = g + h</math>,
avec <math>g</math> continue, strictement croissante, telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} g(x) = +\infty_{\R}}</math>, et <math>h</math> continue, oscillante.
Ce qui se
ou
c) Soit <math>a \in \mathbb{R}</math> et <math>f\,\, :
et pour laquelle <math>\not \exists g,h \,\, : \,\, (a,+\infty_{\R}[ \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}</math>, telles que <math>f = g + h</math>,
avec <math>g</math> continue, strictement croissante, telle
Ce qui se
ou bien <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \geq \,\, \mbox{ou} \,\, > a, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}^{\sim} f(x) = +\infty_f}</math>, s'il n' y a aucune confusion possible.
B)
1)'''Axiome :'''
'''On pose <math>+\infty_f = f(+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>'''
(en remplaçant, algèbriquement, dans
'''si <math>f</math> a une expression élémentaire au voisinage de <math>+\infty_{\R}</math>, dans <math>\mathbb{R}</math>,'''
où <math>{id}_{\mathbb{R}}\,\, : \,\, \mathbb{R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R} \,\, : \,\, x \mapsto x</math>.
b) <math>\forall a \in \R \bigcup \{+\infty_{\R}\}</math>,
<math>\displaystyle{{\cal F}(]-\infty_{\R},a[) = \{f \,\, : \,\, ]-\infty_{\R},a[ \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}|\,\,f \,\,\mbox{continue, strictement croissante et} \,\,\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x < a, \,\, x \rightarrow a} f(x) = +\infty_{\R}}</math>
avec <math>g</math> continue, strictement croissante, telle
c) <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{+\infty_f | f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}</math>
d) <math>\forall a \in \mathbb{R} \bigcup \{+\infty_{\R}\}</math>
3) '''Définition ou axiome (l'un ou l'autre) (relation d'équivalence et relation d'ordre totale):'''
Ma relation d'équivalence entre 2 fonctions réelles est définie par :
Soient <math>\displaystyle{f,g \,\, : \,\, \mathbb{R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R} \,\, \mbox{continues, strictement croissantes telles que}}</math>
<math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}^{\sim} f(x) = +\infty_f \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}^{\sim} g(x) = +\infty_g}</math>
<math>\displaystyle{f=_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} g \,\, \Longleftrightarrow \,\, \lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}(f-g)(x) = 0}</math>
et dans ce cas, on identifie les nombres infinis positifs <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_g</math> resp. aux fonctions <math>f</math> et <math>g</math>,
et on leur impose de vérifier la relation <math>+\infty_f = + \infty_g</math>
et on peut même définir une relation d'ordre, totale, pour laquelle la relation d'ordre stricte est définie par :
et on leur impose de vérifier la relation <math>+\infty_f < + \infty_g</math>
C) '''Remarque importante :'''
J'ai besoin de fonctions <math>f</math>, à minima continues, strictement croissantes, tendant vers <math>+\infty_{\R}</math>, quand leurs variables tendent vers <math>+\infty_{\R}</math>,
définies sur des intervalles du type <math>(a, +\infty_{\R}[</math>,
(resp.
pour lesquelles il n'existe pas de fonctions <math>g</math> et <math>h</math>, telles que <math>f = g + h</math>,
avec <math>g</math> continue,
(Remarque : J'ai un peu de mal à me dépatouiller dans le paragraphe suivant)
En effet, par exemple, si <math>g</math> et <math>h</math> sont définies sur <math>(0, +\infty_{\R}[</math>, par <math>g(x) = x^2</math> et <math>h(x) = \cos(x)</math>,
on aurait alors dans ce cas :
<math>\{+ \infty_f | f \,\, d\acute{e}finie \,\, pr\acute{e}c\acute{e}demment\}</math>
<math>= +
(car <math>\cos(\mathbb{R}) = [-1,1]</math>
qui est un
(et <math>+ \infty_f</math> serait, en quelque sorte, un infini positif "oscillant" qui serait fonction des valeurs de <math>x</math>, quand <math>x \rightarrow + \infty_{\mathbb{R}}</math>),
qui est, ici, borné par une constante infinie positive : <math>(+ \infty_g) + 1 = + \infty_{g+1}</math>,
mais qui ne se réduit pas à un singleton, comme je le voudrais.
D)
Ligne 3 205 ⟶ 2 746 :
'''Remarque :'''
On a <math>\displaystyle{\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigcup \{\inf (\mathbb{R}), \sup (\mathbb{R})\} = \mathbb{R} \bigcup \{-\infty_{\R}, +\infty_{\R}\}}</math>.
'''Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement à l'infini de <math>\R</math> autour de l'origine <math>O(0)</math> du repère orthonormé <math>{\cal R}</math> de <math>\R</math>) : '''
On pose
'''Définitions :'''
'''Cf. aussi : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_3|Série de remarques 3]] de la Discussion associée.'''
<math>\mathbb{R}'' = -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} \bigcup \mathbb{R}' \bigcup +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, réunion non disjointe,
où <math>\displaystyle{\forall f,g \in {\cal F}(\mathbb{R}), \,\, \forall a,b \in \mathbb{R}, \,\, a \leq b, \,\, \forall c_+ \in \R_+^*,}</math>
<math>\displaystyle{\Big(-\infty_{\R''} < -\infty_f < - \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < 2(-\infty_{\R})< - \infty_{\R} - c_+ < - \infty_{\R} < - \infty_{\R} + c_+ < a \leq b < +\infty_{\R} - c_+ < +\infty_{\R} < +\infty_{\R} + c_+}</math>
<math>\displaystyle{< 2 (+\infty_{\R}) < \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) < +\infty_g < +\infty_{\R''} \Big)}</math>
et <math>\displaystyle{\widetilde{]a,b[} \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \widetilde{\R} \subsetneq \widetilde{]-\infty_f,+\infty_g[} \subsetneq \R''}</math>.
'''Dans cette conception :'''
et par analogie <math>\
<math>= ]-\sup(\N''), \sup(\N'')[ = ]-\infty_{\N''},+\infty_{\N''}[ = ]-{card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*),{card}_{Q,{\cal R}}({\N''}^*)[</math>
où <math>\displaystyle{{vol}^1(\R_+) = \sup(\widetilde{\R}) = \sup(\R) = +\infty_{\R} = \sup(\widetilde{\N}) = \sup(\N) = +\infty_{\N} = {card}_{Q,{\cal R}}(\N^*)\not \in \R_+ \bigcup +\infty_{{\cal F}(\R)}}</math>
et on a <math>\inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) \not \in \R_+ \bigcup +\infty_{{\cal F}(\R)}</math>
Remarque :
Le fait que : <math>2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) > \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})</math> semble poser problème :
En effet, il semble que : <math>\displaystyle{2 \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)}) = 2 \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} 2(+\infty_f) = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_{2f} = \inf_{f \in 2{\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf_{f \in {\cal F}(\R)} +\infty_f = \inf(+\infty_{{\cal F}(\R)})}</math>.
Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble <math>{\cal F}(\N)</math> qui est l'ensemble <math>{\cal F}(\R)</math>, en remplaçant <math>\R</math>, par <math>\N</math>, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.
En effet, dans
'''Remarque :'''
<math>\displaystyle{\exists a,c \in -\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\,\exists b,d \in +\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}, \,\, a\neq c, \,\, b \neq d, \,\, a<b, \,\, c<d, \,\, \widetilde{]a,b[} \subsetneq \mathbb{R}' \subsetneq \widetilde{]c,d[}}</math>
'''Remarque :'''
Dans le cas borné, à l'aide des mesures de Lebesgue généralisées ou de Haussdorf, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut '''construire''' et comparer les cardinaux quantitatifs d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.
Cf. La saga du "cardinal" version 4 {{supra|Liens}}
Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de Lebesgue, en remplaçant le point usuel <math>+ \infty_{\R}</math> par un ensemble infini de nombres infinis positifs <math>+ \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>
(ici, je pense '''[vraisemblablement dans le cas où <math>n=1</math>]'''
'''Remarques et notations :'''
Si on considère <math>id_{\mathbb{R}} \,\, : \,\, \mathbb{R} \,\, \rightarrow \,\, \mathbb{R} \,\, : \,\, x \,\, \mapsto \,\, x</math>, la fonction identité définie sur <math>\mathbb{R}</math>
<math>\displaystyle{\mathbb{R}' = \widetilde{]-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[} \,\, \mbox{et} \,\, \mathbb{R}_+^{'} = \widetilde{[0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}}</math>
Peut-être qu'une grande partie de ce qui est entre parenthèses dans le paragraphe suivant est inutile dans ma théorie :
[Il faudra, auparavant, faire correspondre <math>+ \infty_{id_{\mathbb{R}}}</math>, qui correspond à la longueur de l'intervalle <math>{\mathbb{R}'}_+ = \widetilde{[0,+ \infty_{id_{\mathbb{R}}}[}</math>,
qui est strictement inclus dans <math>\mathbb{R}' = \widetilde{]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, + \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}</math>,
qui est strictement inclus dans <math>\mathbb{R}''</math>,
Mais, si on fait ça, alors, le cardinal quantitatif de <math>\mathbb{R}_+</math> et tous les cardinaux quantitatifs des parties non bornées équipotentes à <math>\mathbb{R}</math>, vaudront tous :
<math>\displaystyle{+ \infty_{x = 0} =_{d\acute{e}f} \sup_{n \in \N^*} + \infty_{n \,\, id_{\mathbb{R}}}}</math> :
On réservera donc la valeur <math>
au cardinal quantitatif d'une partie d'un 1er niveau concernant les parties bornées de <math>\mathbb{R}</math>
et on réservera une autre valeur au cardinal d'une partie d'un 2nd niveau concernant les parties non bornées, pour laquelle on pourra distinguer les cardinaux quantitatifs ou une partie des cardinaux quantitatifs de ses parties.
Peut-être même qu'il y
Il faudra tenir compte aussi des et commencer par les parties dénombrables de <math>\mathbb{R}</math>.
Remarque : Le contenu de ce qui est, dans la parenthèse qui suit, est peut-être faux :
Un ensemble fini ne peut contenir par exemple <math>1,5</math> éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :
Le cardinal quantitatif d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier" (ou transfini), contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)]
{{ancre|Définitions de diam, diam ~, + ∞ d i a m ~,C, + ∞ diam ~ ^,C et + ∞ diam ~ ^}}
Ligne 3 355 ⟶ 2 871 :
'''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{(a,b)}</math> ou <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'''
Soit <math>n \in \N^*</math>
'''Définition :'''
a) Soit <math>\displaystyle{{diam} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{\mathbb{R}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, {diam} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y)}</math>
Ligne 3 368 ⟶ 2 881 :
c-à-d <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}}^n}\,\, : \,\, {\mathbb{R}}^n \times {\mathbb{R}}^n\,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math>
b) Soit <math>\displaystyle{\widetilde{{diam}} \,\, : \,\, {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow \,\, \overline{{\mathbb{R}''}_+} \,\, : \,\, A \,\, \mapsto \,\, \widetilde{{diam}} (A) = \sup_{(x,y) \in A \times A} d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y)}</math>
Ligne 3 375 ⟶ 2 887 :
c-à-d <math>\displaystyle{d_{{\mathbb{R}''}^n} \,\, : \,\, {\mathbb{R}''}^n \times {\mathbb{R}''}^n \,\, \rightarrow \,\, {\mathbb{R}''}_+ \,\, : \,\, (x,y) = \Big({(x_i)}_{i \in\N_n^*},{(y_i)}_{i \in\N_n^*}\Big) \mapsto \,\,d_{{\mathbb{R}''}^n} (x,y) = {\Big(\sum_{i \in\N_n^*} {|x_i - y_i|}^2\Big)}^{\frac{1}{2}}}</math>
'''Dans la suite, on se restreint aux parties bornées de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'''
'''Proposition :'''
<math>\forall {\cal C}</math> chaîne exhaustive de parties de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> pour l'inclusion, allant de <math>\emptyset</math> à <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, <math>{\widetilde{{diam}}}_{|{\cal C}}</math> est strictement croissante pour l'inclusion.
<math>\{\widetilde{diam}(A)| A \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, A \,\, \text{non bornée dans} \,\, {\R''}^n\}</math>.
<math>\{\widetilde{diam}(A)| A \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, {diam}(A) \in \R'' \,\, \text{et} \,\, {diam}(A) \not \in \R\} = \R''\setminus \R</math>.
Si <math>C \in {\cal C}</math>, partie non bornée de <math>{\R''}^n</math> et <math>\widetilde{{diam}}(C)</math> appartient à un de ces 2 premiers ensembles, on a pour la première égalité et on pose pour la seconde égalité :
<math>\displaystyle{\widetilde{{diam}}(C) = \lim_{A \rightarrow C,\,\, A \in {\cal C}} \widetilde{{diam}}(A) = + \infty_{{diam},C, {\cal C}}}</math>
Si <math>C \in {\cal C}</math>, partie bornée de <math>{\R''}^n</math>,
alors <math>\widetilde{{diam}}(C) \in \{\widetilde{diam}(A)| A \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, A \,\, \text{bornée dans} \,\, {\R''}^n\} = \{\widetilde{diam}(A)| A \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, diam(A) \in \R''\} = \R''</math>
Par ailleurs, on remarque que :
Ligne 3 407 ⟶ 2 911 :
<math>\subsetneq \{\widetilde{diam}(A)| A \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, A \,\, \text{bornée dans} \,\, {\R''}^n\} = \{\widetilde{diam}(A)| A \in {\cal P}({\R''}^n), \,\, diam(A) \in \R''\} = \R''</math>
'''Définition :'''
<math>\displaystyle{+ \infty_{\widehat{\widetilde{{diam}}}, {\cal C}} = \{+ \infty_{\widetilde{{diam}}, C,{\cal C}}|C \in {\cal C} \,\, \mbox{et} \,\, {\cal C} \,\, \mbox{chaine exhaustive de parties de} \,\, {\mathbb{R}''}^n\,\, \mbox{pour l'inclusion, allant de} \,\, \emptyset \,\, \mbox{a} \,\, {\mathbb{R}''}^n\}}</math>
Ligne 3 432 ⟶ 2 933 :
==Définition des "mesures" de Hausdorff sur <math>\R''</math>==
'''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{(a,b)}</math> ou <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'''
Tout ce qui a été dit concernant <math>A \in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, {diam}(A) \in \R</math>, est aussi valable
Ligne 3 442 ⟶ 2 941 :
c-à-d les parties <math>\widetilde{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}''), \,\, \text{telles que} \,\, \widetilde{diam}(\widetilde{A}) \leq \widetilde{diam}(\R)</math> ou <math>\widetilde{diam}(\widetilde{A}) \in + \infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>
'''<math>\Big(</math>'''
'''Sous réserve :''' c-à-d comme <math>\widetilde{diam}(\R) = {vol}^1(\R) = 2 \,\, {vol}^1(\R_+) = 2(+\infty_{\R})</math>,
si <math>\R</math> admet le plafonnement sphérique, à l'infini, autour de l'origine <math>O</math> du repère orthonormé direct <math>{\cal R}</math> :
<math>\displaystyle{\Big[\R, {([-r,r])}_{r \in \N}\Big]}</math>,
'''<math>\Big)</math>'''.
<math>\widetilde{diam}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}') = \widetilde{{vol}^1}(\widetilde{]- \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[}) = d_{\mathbb{R}''}(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}},-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}) = \Big|+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}} - \Big(-\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}\Big)\Big| = 2(+ \infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>,
Ligne 3 463 ⟶ 2 960 :
on pourra généraliser la notion de cardinal quantitatif, aux ensembles non bornés(') de <math>{\mathbb{R}''}^n</math> , et même à tous les ensembles de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.
'''Définition :'''
Ligne 3 472 ⟶ 2 968 :
'''est définie de manière analogue à la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension <math>1</math>, <math>{{vol}}^1</math>, sur <math>\mathbb{R}</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>.'''
'''Remarque :'''
1) On peut avoir : <math>\displaystyle{\widetilde{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}'') \,\, \text{et} \,\, \widetilde{{diam}}(\widetilde{A}) \in \R \subset \R''}</math>
Ligne 3 483 ⟶ 2 977 :
par exemple la partie <math>\widetilde{[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]}</math> car <math> \widetilde{{diam}}(\widetilde{[+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}, +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} + 1]}) = 1 \in \R \subset \R''</math>.
2) <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_-)= +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}}</math>
'''Définition :'''
La "mesure" de Lebesgue généralisée ou "de Hausdorff", de dimension <math>0</math>, sur <math>{\R''}^n</math> est la "mesure" de comptage définie par :
Ligne 3 495 ⟶ 2 986 :
'''est définie de manière analogue à la mesure de comptage <math>{{vol}}^{0,n}</math> sur <math>{\mathbb{R}}^n</math>, à la différence qu'il faut remplacer <math>\mathbb{R}</math> par <math>{\mathbb{R}''}</math>'''
'''Si <math>\widetilde{A} \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n), \,\, \widetilde{{diam}}(\widetilde{A}) \in \R \subset \R''</math> (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de <math>{\mathbb{R}''}^n</math>.'''
==Utilisation des "mesures" de Hausdorff sur <math>\mathbb{R}''</math>, de <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>==
'''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{(a,b)}</math> ou <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'''
'''On se place dans <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé de <math>\mathbb{R}''</math>.'''
'''Proposition :'''
Ligne 3 514 ⟶ 3 001 :
<math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}\Big(\bigcup_{i \in \widetilde{I}} \widetilde{A_i}\Big) = \sum_{i \in \widetilde{I}} \widetilde{{vol}^1}(\widetilde{A_i})}</math>
'''Remarque :'''
Soit <math>\widetilde{A} \in {\cal P}(\mathbb{R}'')</math>, alors :
Ligne 3 523 ⟶ 3 008 :
1) a) '''Dans ma théorie''', on peut avoir <math>\widetilde{A} \subsetneq \mathbb{R}'</math>, et dans ce cas on a <math>\widetilde{{vol}^1}(\widetilde{A}) \leq \widetilde{{vol}^1}(\mathbb{R}')</math> et on peut avoir <math>\widetilde{{vol}^1}(\widetilde{A}) < \widetilde{{vol}}^1(\mathbb{R}')</math>
2) Soit <math>\widetilde{I} \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>
a) En particulier, en posant <math>\widetilde{I} = {\N'}^{*}</math> et <math>\forall i \in \widetilde{I}, \,\, \widetilde{A_i} = \widetilde{[i-1,i[}</math>, intervalle donc partie connexe de <math>\mathbb{R}''</math>
et <math>\forall i,j \in \widetilde{I}, \,\, i
'''Remarque importante :''' Dans ma théorie , on définit <math>\displaystyle{\bigcup_{i \in {\N'}^*} \widetilde{A_i} =_{d\acute{e}f} \lim_{n \in {\N''}^*, \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n^*} \widetilde{A_i}}</math>.)
<math>\displaystyle{= \widetilde{[0, \lim_{n \in {\N''}^*,\,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} n[} = \widetilde{[0,+\infty_{{id}_{\N}}[} = \widetilde{[0,+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}[} = {\mathbb{R}'}_+}</math>
[Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in
<math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigcup_{i \in \widetilde{I}} \widetilde{A_i}\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigcup_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{A_i}\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigcup_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{[i-1,i[}\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}(\widetilde{[i-1,i[})= \sum_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{{vol}^1}(\widetilde{[0,1[})}</math>
et
<math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}({\mathbb{R}'}_+) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigcup_{i \in \widetilde{I}} \widetilde{A_i}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigcup_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{A_i}\Big) = {card}_{Q,{\cal R}} \Big(\bigcup_{i \in {\N'}^{*}} \widetilde{[i-1,i[}\Big) = \sum_{i \in {\N'}^{*}} {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[i-1,i[})}</math>
<math>= \widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+)\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[})</math>
b) Si on
'''Dans ma théorie à construire''', <math>{(\widetilde{A_i})}_{i \in \widetilde{I}}</math> est une partition de <math>\widetilde{A} \in {\cal P}({\mathbb{R}''}_+)</math>
donc <math>\displaystyle{\widetilde{A} = \bigcup_{i \in \widetilde{I}} \widetilde{A_i} = \bigcup_{i \in \N'} \widetilde{A_i} = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} \widetilde{A_i} = \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} \widetilde{[0,n+1[}}</math>
<math>\displaystyle{= \widetilde{[0, \lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\N}}} (n+1)[} = \widetilde{[0,+\infty_{{id}_{\N}} + 1[} (= \widetilde{[0,({id}_{\N} + 1)(+\infty_{{id}_{\N}})[} = \widetilde{[0,+\infty_{{id}_{\N} + 1}[})}</math>
[Définition de <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N'', \,\, n \rightarrow +\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}} \bigcup_{i \in {\N''}_n} \widetilde{A_i}}</math>, de manière analogue à <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow m} \bigcup_{i \in {\N}_n} A_i}</math> avec <math>m \in \N</math> et <math>+\infty \not \in \N</math>, <math>I = \N</math>, <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\mathbb{R})</math>]
donc <math>\displaystyle{\widetilde{{vol}^1}({\mathbb{R}'}_+) < \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigcup_{i \in \widetilde{I}} \widetilde{A_i}\Big) = \widetilde{{vol}^1}\Big(\bigcup_{i \in \N'} \widetilde{A_i}\Big) = \widetilde{{vol}^1} \Big(\bigcup_{i \in \N'} \widetilde{[i,i+1[}\Big) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}(\widetilde{[i,i+1[}) = \sum_{i \in \N'} \widetilde{{vol}^1}(\widetilde{[0,1[})}</math>
et
<math>\displaystyle{= \sum_{i \in \N'} {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[})\sum_{i \in \N'} 1 = {card}_{Q,{\cal R}}(\N')\,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[}) = \Big({card}_{Q,{\cal R}}({\N'}^{*}) + 1\Big) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\widetilde{[0,1[})}</math>
Dans <math>\mathbb{R}''</math>, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de <math>\mathbb{R}''</math>, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.
3) Les ensembles non bornés de <math>\mathbb{R}_+</math> ont tous le même plafonnement à l'infini qui est le point <math>+\infty_{\R}</math> et il est précédé de nombres réels, alors que les ensembles bornés ou non, de <math>{\mathbb{R}''}_+</math>, de diamètre infini ont des plafonnement à l'infini, chacun constitué d'un point à l'infini <math>+\infty_f</math> où <math>f \in {\cal F}(\mathbb{R})</math> ou <math>+\infty_{\R''}</math>, qui lui est précédé d'un ensemble de points à l'infini.
'''Remarque :'''
Comme <math>\displaystyle{\lim_{i \in {\N''}^*, \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = \lim_{i \in \N'', \,\, i \rightarrow + \infty_{{id}_{\N}}} {id}_{\N''}(i) = {id}_{\N''}(+ \infty_{{id}_{\N}}) = + \infty_{{id}_{\N}}}</math>
Ligne 3 620 ⟶ 3 089 :
<math>= {(\mathbb{R}_{{id}_{\mathbb{R}}})}_+ = {(\mathbb{R}')}_+ \supsetneq \mathbb{R}_+</math>
'''Attention :'''
<math>\mathbb{R}'</math> n'est pas ici l'ensemble usuel que nous connaissons :
Ligne 3 660 ⟶ 3 127 :
<math>\mathbb{R}''</math> étant le nouvel espace-univers.
'''Attention : Dans ma théorie :''' <math>\N ' + 1 \neq {\N '}^{*}</math>, en fait on considère que <math>\N ' + 1</math> va au delà de <math>\N'</math>, à droite, ce qui n'est pas le cas de <math>{\N '}^{*}</math>.
Par ailleurs : On a <math>{card}_{Q,{\cal R}}(\N ' + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ')</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}({\N '}^{*}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\N ') - 1</math>
Mais <math>\N + 1 = \N^*</math>
Ligne 3 672 ⟶ 3 137 :
==Compléments==
'''Remarque : J'hésite à omettre la notation "<math>\widetilde{}</math>" concernant les objets suivants : <math>\widetilde{(a,b)}</math> ou <math>\widetilde{{vol}^1}</math> ou <math>\widetilde{{diam}}</math>.'''
Soit <math>n \in \N^*</math>.
Dans ce qui suit, on peut remplacer <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\N''</math>, par <math>\mathbb{R}</math> et <math>\N</math>.
L'ensemble <math>\mathbb{R}''</math> que j'ai déjà "défini" ou "construit" ou du moins dont j'ai déjà parlé,
est une sorte de prolongement continu de <math>\mathbb{R}</math>, par une infinité de nombres infinis, dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté <math>+\infty_{\mathbb{R}''}</math>,
et sert, d'abord, à construire '''les "mesures" de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff,''' de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>, sur <math>{\mathbb{R}''}^n</math>, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans '''"Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"'''
(Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),
<math>\widetilde{{vol}^i} \,\, : \,\, {\cal B}({\mathbb{R}''}^n)\subsetneq {\cal P}({\mathbb{R}''}^n) \,\, \rightarrow\,\,\overline{{\mathbb{R}''}_+} = {\mathbb{R}''}_+ \bigcup \{+\infty_{\R''}\}</math>,
'''<math>\Big(</math>Compléments :'''
'''Mesures de Hausdorff [de dimension <math>i</math> <math>(0 \leq i \leq n)</math>], généralisant celle de Lebesgue (de dimension <math>n</math>), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"
(Le cas <math>i=0</math> étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document)
[On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension <math>i</math>)] : '''
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demange/integration/2013/poly_integration_mai2013.pdf
Ligne 3 730 ⟶ 3 183 :
Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées
'''NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.<math>\Big)</math>'''
Ligne 3 751 ⟶ 3 203 :
avec <math>c_{0,n,{\cal R}}(A_n) = card_Q(N_n)</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n)</math> et <math>{card}_E(N_n) \leq {card}_E(\N'')</math>
ou peut-être, mais, si cela est possible, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i\in \N_n} c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}^i (I)}</math>,
Ligne 3 760 ⟶ 3 211 :
avec <math>c_{0,n,{\cal R}}(A_n) = card_Q(N_n)</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n)</math> et <math>{card}_E(N_n) \leq {card}_E(\N'')</math>
ou peut-être, mais, si cela est possible, pour tout <math>A_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, \mbox{non bornée}</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i\in \N_n} c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}^i (I)}</math>,
Ligne 3 770 ⟶ 3 219 :
avec <math>c_{0,n,{\cal R}}(A_n) = card_Q(N_n)</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n)</math> et <math>{card}_E(N_n) \leq {card}_E(\N)</math>
ou peut-être, mais, si cela est possible, pour tout <math>A_n \in {\cal P}({\mathbb{R}}^n), \,\, \mbox{non bornée}</math>, en utilisant une formule du type <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n) = \sum_{i\in \N_n} c_{i,n,{\cal R}}(A_n) \,\, {card}_{Q,{\cal R}}^i (I)}</math>,
Ligne 3 779 ⟶ 3 227 :
avec <math>c_{0,n,{\cal R}}(A_n) = card_Q(N_n)</math>, avec <math>N_n \in {\cal P}({\mathbb{R}''}^n)</math> et <math>{card}_E(N_n) \leq {card}_E(\N'')</math>
'''Compléments :'''
'''Rappel :''' Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) <math>\Omega</math> de <math>\mathbb{R}^n</math> est dite ou est dit de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>C^k</math> pour un <math>k \in \N</math>), si son bord <math>\partial \Omega</math> est de classe ou de régularité <math>X</math> (par exemple de classe ou de régularité <math>C^k</math> pour le même <math>k \in \N</math> précédent).
'''Rappel :'''
Ligne 3 793 ⟶ 3 237 :
Le "bord" d'une partie <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math> est défini par <math>''\partial A'' = A \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>.
'''Attention :'''
Ligne 3 812 ⟶ 3 255 :
c-à-d celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.
Selon ma définition :
Ligne 3 835 ⟶ 3 277 :
==Tentatives de généralisation du cardinal quantitatif sur <math>\mathbb{R}^n</math>==
===Partie 1===
Soit <math>n \in \N^*</math>.
Ligne 3 854 ⟶ 3 294 :
'''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'''
Et plus généralement, soit <math>{\cal R}</math> un repère orthonormé direct de <math>\mathbb{R}^n</math>, d'origine <math>O{(0)}_{i \in \mathbb{N}_n^*}</math>.
Ligne 3 877 ⟶ 3 316 :
'''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'''
''Remarque :''
Ligne 3 895 ⟶ 3 332 :
<math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} = \frac{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}}{\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R})}}} = \frac{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(A)}{d_{Q,{\cal R},\mathbb{R}}(B)}}</math>.
''Remarque :'' Un singleton de <math>\mathbb{R}</math> est une partie compacte, convexe, (connexe) de <math>\mathbb{R}</math>.
'''Si <math>I</math> est un ensemble totalement ordonné et si <math>A \in {\cal P}(\R^n)</math>, est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]), et <math>{(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\R^n)</math>, est une famille de parties compactes (donc fermées bornées), convexes, (connexes), de <math>\R^n</math> (éventuellement, de classe [<math>C^0</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux]) et <math>\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = A}</math>, on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille <math>{(A_i)}_{i \in I}</math>, <math> \displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}</math>.'''
''Remarque :''
Ligne 3 918 ⟶ 3 352 :
Soit <math>I \in {\cal P}(B)</math> (ou telle que <math>I \in {\cal P}(\mathbb{R})</math> et <math>{card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B) </math>).
Si <math>\forall i \in I, \,\, A_i,B_i \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>, réunions finies de parties <math>\Big(</math>Option classique : compactes, convexes, (connexes), disjointes, de <math>\mathbb{R}</math> (éventuellement, des sous-variétés de classe [<math>(C^0)</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux])<math>\Big)</math> ou <math>\Big(</math>Option spéculative : bornées, convexes, (connexes), disjointes, de <math>\mathbb{R}</math><math>\Big)</math>,
Ligne 3 933 ⟶ 3 366 :
'''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'''
Je pense que le cas d'une partie <math>A</math> bornée, convexe, (connexe), de <math>\mathbb{R}</math>, peut se ramener au cas de la sous-variété <math>\overline{A}</math> compacte, convexe, (connexe) de <math>\mathbb{R}</math>,
Ligne 3 940 ⟶ 3 372 :
sachant que <math>\overline{A} \setminus A \in {\cal P}(\partial A)</math>, avec <math>\partial A = \overline{A} \setminus \stackrel{\circ}{A}</math>.
Donc, comme <math>2\mathbb{Z}^*, \,\, \mathbb{Z}^* \in {\cal P}(\mathbb{R})</math>, réunions (dénombrables infinies, non bornées) de sous-variétés compactes, convexes, (connexes), disjointes, de <math>\mathbb{R}</math> (éventuellement, de classe [<math>(C^0)</math>] et [<math>C^1</math> par morceaux])
Ligne 3 957 ⟶ 3 388 :
(c-à-d <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow A_n = [2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]}</math> et <math>\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow +\infty} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [\mathbb{Z}^*, {(B_n)}_{n \in \N}]}</math>),
on a bien : <math>\displaystyle{ d_{Q,{\cal R},\mathbb{Z}^*}(2\mathbb{Z}^*) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}^* )}{{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([2\mathbb{Z}^*, {(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([\mathbb{Z}^*,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow +\infty} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \N^*, \,\, n \rightarrow +\infty} B_n})} = \frac{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}^*, \,\, n \rightarrow +\infty}\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}}</math>
Ligne 3 966 ⟶ 3 396 :
'''(Voir aussi la page de discussion associée : [[Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#Série_de_remarques_1|Série de remarques 1]])'''
donc <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*) + 1 = \frac{1}{2}\Big({card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - 1\Big) + 1 = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}}</math>
Ligne 3 973 ⟶ 3 402 :
on a : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z} + 1) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - {card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{Z}) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \Big(\frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) + \frac{1}{2}\Big) = \frac{1}{2}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}) - \frac{1}{2}}</math>
et plus généralement,
Ligne 3 980 ⟶ 3 408 :
et <math>\forall a \in \mathbb{R}_+^*,\,\,\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(a\mathbb{Z}^*) = \frac{1}{a}{card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{Z}^*)}</math>.
L'ensemble <math>\mathbb{Z}^*</math> est non borné, mais est dénombrable.
Si <math>A,B\in {\cal P}(\mathbb{R}), \,\, A \in {\cal P}(B)</math>,
Ligne 3 996 ⟶ 3 422 :
et <math>\displaystyle{d_{Q,{\cal R},B}(A) = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)} < 1}</math>.
Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = 2 \,\, {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>, mais comme <math>2 \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*</math>, on est obligé d'imposer que <math>\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(2\mathbb{R}^*) = {card}_{Q,{\cal R}}(\mathbb{R}^*)}</math>,
Ligne 4 004 ⟶ 3 429 :
ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.
L'ensemble <math>\mathbb{R}^*</math> qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même.
Ligne 4 012 ⟶ 3 436 :
===Partie 2 ("Suite 2 Cardinal quantitatif de parties de <math>\mathbb{R}^N</math> (10)")===
'''Hypothèses, axiomes ou conjectures sur le cardinal quantitatif d'une partie dénombrable infinie de <math>\mathbb{R}</math>'''
Ligne 4 022 ⟶ 3 445 :
<math>{card}_E</math> est le cardinal classique ou le cardinal de Cantor noté habituellement <math>card</math>, que je nomme aussi cardinal équipotentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif <math>{card}_Q</math>, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de <math>\mathbb{R}^N</math>, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de <math>\mathbb{R}^N</math> ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de <math>\mathbb{R}^N</math> de classe <math>C^1</math> par morceaux.
Soient <math>A</math> et <math>B</math> des ensembles.
Ligne 4 033 ⟶ 3 455 :
La notion de cardinal quantitatif se veut une notion qui affine celle de cardinal équipotentiel et qui se veut la notion optimale de quantité d'éléments.
'''Dans la suite, on suppose <math>N=1</math>.'''
Soient <math>R,S \subset \mathbb{R} \colon {card}_E(R) = {card}_E(S) = \aleph_0</math> telles que :
Ligne 4 043 ⟶ 3 463 :
et <math>\forall i \in \mathbb{Z}, \,\, r_{i+1} > r_i \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, s_{i+1} > s_i</math>.
Il sera peut-être nécessaire de supposer <math>r_0 = s_0 = 0</math>.
Soit <math>n \in \mathbb{Z}</math>.
On appelle <math>r_n</math> est le <math>n</math>ème terme de <math>R</math>
On pose <math>\displaystyle{{(\Delta R)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n \,\, \mbox{si} \,\, n \in \N \,\, \mbox{et} \,\, {(\Delta R)}_{n-1} = r_n - r_{n-1} \,\, \mbox{si} \,\, n \in -\N}</math>
Ligne 4 058 ⟶ 3 475 :
Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de <math>R</math> et <math>S</math>.
On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_R^+, n_S^+ \in \N \,\, \colon \,\, {\Big({(\Delta R)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_R^+}, \,\, {\Big({(\Delta S)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_S^+} \nearrow}</math> (resp. <math>\searrow</math>)
Ligne 4 067 ⟶ 3 483 :
et <math>\exists n_R^-, n_S^- \in -\N \,\, {\Big({(\Delta R)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_R^-}, \,\, {\Big({(\Delta S)}_{n-1}\Big)}_{n \leq n_S^-} \searrow </math> (resp. <math>\nearrow</math>).
On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}} {(\Delta R)}_{i+1} + \sum_{i \in -\N_n} {(\Delta R)}_{i-1}}}{2n + 2} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_{n}}(r_{i+1} - r_i) + \sum_{i \in -\N_n}(r_i - r_{i-1})}}{2n + 2}}</math>
C'est la moyenne des pas de <math>R</math> compris entre le <math>(n+1)</math>ème et le <math>-(n+1)</math>ème terme.
'''Remarque :''' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :
Ligne 4 079 ⟶ 3 493 :
On remarque que cette quantité ne dépend que des 2 derniers termes et du nombre de points de <math>R</math> compris entre ces 2 termes inclus.
On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\mathbb{R}_+}</math>.
C'est la limite de la moyenne des pas de <math>R</math> compris entre son <math>(n-1)</math>ème et son <math>-(n-1)</math>ème terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>R</math> sur <math>\mathbb{R}</math>.
'''Conjecture :'''
Ligne 4 093 ⟶ 3 505 :
Cela signifie que si <math>R</math> est strictement plus dense quantitativement que <math>S</math>, à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, alors <math>{card}_Q(R) > {card}_Q(S)</math>
Si <math>\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} {(\Delta R)}_{n+1} > 1 \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{n \rightarrow -\infty} {(\Delta R)}_{n-1} > 1, \,\, \mbox{comme} \,\, \forall n \in \Z^* \,\, {(\Delta \Z)}_n = 1}</math>
alors <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n}}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z})</math>
En particulier si <math>\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {(\Delta R)}_{n+1} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow -\infty} {(\Delta R)}_{n-1} = +\infty}</math>,
et <math>\displaystyle{\exists n_0 \in \N, \,\, \forall n \geq n_0 \,\, \colon \,\, a_{R,n} > 1 = a_{\Z,n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(R) < {card}_Q(\mathbb{Z}) \,\, \mbox{et} \,\, a_R = +\infty}</math>,
'''Remarque :''' La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir
<math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{R,n} = + \infty = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow + \infty} a_{S,n} = a_S}</math> et <math>{card}_Q(R) < {card}_Q(S)</math>.
Que pensez, par exemple, du cas où <math>\displaystyle{\exists a \in \mathbb{R}_+^*, \,\, \exists b \in \mathbb{R}_+, \,\, \exists c \in \mathbb{R} \,\, \colon \,\, R = a\mathbb{Z}^{\bullet 2} + b\mathbb{Z} + c}</math> ?
Ligne 4 119 ⟶ 3 527 :
Plus, généralement <math>\displaystyle{\forall n,m \in \N^* \,\, \colon \,\, n > m,\,\, a_n,b_m \neq 0, \,\, {card}_Q\Big(\sum_{i \in \N_n} a_i \mathbb{Z}^{\bullet i}\Big) < {card}_Q\Big(\sum_{j \in \N_m} b_j \mathbb{Z}^{\bullet j}\Big)}</math>
Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement :
Ligne 4 126 ⟶ 3 533 :
alors <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{m\mathbb{Z},n} = m \leq a_{R,n} \leq M = a_{M\mathbb{Z},n} \,\, \mbox{et} \,\, {card}_Q(m\mathbb{Z}) \geq {card}_Q(R) \geq {card}_Q(M\mathbb{Z})}</math>
Avec les mêmes hypothèses sur <math>R</math>, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période <math>m \in \N^*</math>
alors <math>{card}_Q(R) = {card}_Q(a_{R,m-1} \mathbb{Z})</math>
'''Remarque :'''
Ligne 4 140 ⟶ 3 545 :
<math>T = \{t_i \in \R | i \in \mathbb{Z} \,\, \mbox{et} \,\, \forall i \in \mathbb{Z}, \,\, t_{i+1} > t_i\}</math>
Soient <math>R,S \subset \mathbb{R}_+ \,\, : \,\, {card}_E(R) = {card}_E(S) = \aleph_0</math> telles que :
Ligne 4 151 ⟶ 3 555 :
On appelle <math>r_n</math> est le <math>n</math>ème terme de <math>R</math>
On pose <math>\displaystyle{{(\Delta R)}_{n+1} = r_{n+1} - r_n}</math>
Ligne 4 160 ⟶ 3 563 :
On suppose de plus que <math>\displaystyle{\exists n_R^+, n_S^+ \in \N \colon {\Big({(\Delta R)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_R^+}, \,\, {\Big({(\Delta S)}_{n+1}\Big)}_{n \geq n_S^+} \nearrow}</math> (resp. <math>\searrow</math>)
On définit <math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n} {(\Delta R)}_{i+1}}}{n + 1} = \frac{\displaystyle{\sum_{i \in \N_n}(r_{i+1} - r_i)}}{n + 1}}</math>
C'est la moyenne des pas de <math>R</math> compris entre le <math>0</math>ème et le <math>(n+1)</math>ème terme.
'''Remarque :''' Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :
Ligne 4 172 ⟶ 3 573 :
On remarque que cette quantité ne dépend que des 2 derniers termes et du nombre de points de $R$ compris entre ces 2 termes inclus.
On pose <math>\displaystyle{a_R = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} a_{R,n}}</math> si cette limite existe dans <math>\overline{\R_+}</math>.
C'est la limite de la moyenne des pas de <math>R</math> compris entre son <math>0</math>ème et son <math>(n+1)</math>ème terme, quand <math>n \rightarrow +\infty</math>, donc c'est la moyenne de tous les pas de <math>R</math> sur <math>\mathbb{Z}_+</math>.
'''Conjecture :'''
Ligne 4 190 ⟶ 3 589 :
<math>\displaystyle{\forall n \in \N, \,\, a_{R,n} = a_{S,n} \,\, \mbox{et} \,\, \min R < \min S \Longrightarrow {card}_Q(R) > {card}_Q(S)}</math>
en particulier (sous réserve) : <math>\forall a \in \mathbb{N}^*, \,\, \forall b_1,b_2 \in \mathbb{N} \,\, \colon \,\, b_1 < b_2, \,\, {card}_Q(a\N + b_1) > {card}_Q(a\N + b_2)</math>
et on a <math>\displaystyle{\bigcup_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \N \,\, \mbox{et} \,\, \bigcap_{i \in \N_{m-1}} (m\N + i) = \emptyset}</math>,
on a <math>\displaystyle{\sum_{i \in \N_{m-1}}{card}_Q(m\N + i) = {card}_Q(\N)}</math>
===Idée pour généraliser la notion de cardinal quantitatif aux parties non convexes de <math>\R^n</math>, donc aux parties quelconques de <math>\R^n</math>===
====Conjecture====
Ligne 4 261 ⟶ 3 656 :
et
Alors on définit la relation suivante :
Ligne 4 270 ⟶ 3 664 :
<math>\Longleftrightarrow_{def}</math>
(1)
Ligne 4 281 ⟶ 3 674 :
<math>\forall x {\in}_{{\Omega}_{\varepsilon_j}} A_{\varepsilon_j},\,\, x {\in}_{{\Omega}_{\varepsilon_j}} {\Omega}_{\varepsilon_j}</math>
(2) <math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_i} {\subset}_{{\Omega}_{\varepsilon_j}} A_{\varepsilon_i} {\subset}_{{\Omega}_{\varepsilon_j}} {\emptyset}}</math>
Ligne 4 290 ⟶ 3 682 :
<math>\displaystyle{{\Omega}_{\varepsilon_i} {\supset}_{{\Omega}_{\varepsilon_i}} A_{\varepsilon_i} {\supset}_{{\Omega}_{\varepsilon_i}} {\emptyset}}</math>
De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :
| |||