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Ligne 142 :
:<math>N(x+y)=\sum_{i=0}^k \lambda_i N_i(x+y) \leq\sum_{i=0}^k \lambda_i (N_i(x)+N_i(y))=N(x)+N(y)</math>.
:Ceci termine la preuve.
}}
== Exercice 1-6 : Topologie sur <math>\R</math> ==
Déterminer, pour tous les sous-ensemble de <math>\R</math> suivants, si ce sont des ouverts, des fermés, ou ni l'un ni l'autre. Donner également leurs intérieurs, adhérences et frontières.
#<math>\{x\}</math> où <math>x\in\R</math>.
#<math>]0;1]</math>.
#<math>]0;1]\cup \{2\}</math>.
#<math>]0;1[\cup]3;7[</math>
#<math>\R^{+*}</math>
#<math>\Q</math>
On rappelle que sur <math>\R</math> la norme à considérer est la valeur absolue.
{{Solution|contenu=
#<math>\{x\}</math> est un fermé car son complémentaire <math>]-\infty;x[\cup]x;+\infty[</math> est un ouvert comme union d'intervalles ouverts. Son intérieur est vide, son adhérence est lui-même car c'est un fermé, sa frontière est également lui même.
#<math>]0;1]</math> n'est pas ouvert car le ce n'est pas un voisinage du point <math>1</math> car aucune boule ouverte centrée en <math>1</math> n'est incluse dans <math>]0;1]</math>. Pour des raisons similaires son complémentaire n'est pas ouvert. Ce sous ensemble n'est donc ni ouvert ni fermé. Son intérieur est <math>]0;1[</math> car le seul point qui n'est pas intérieur est <math>1</math>, son adhérence est <math>[0;1]</math> qui est le plus petit fermé contenant <math>]0;1]</math>, et sa frontière est donc <math>\{0;1\}</math>.
#De façon similaire, <math>]0;1]\cup \{2\}</math> n'est ni ouvert ni fermé. Son intérieur est <math>]0;1[</math>, son adhérence est <math>[0;1]\cup \{2\}</math> et sa frontière est donc <math>\{0;1;3\}</math>.
#<math>]0;1[\cup]3;7[</math> est une union d'ouverts, c'est donc un ouvert. Son intérieur est don lui même, son adhérence est <math>[0;1]\cup[3;7]</math>, et sa frontière est <math>\{0;1;3;7\}</math>.
#<math>\R^{+*}=]0;+\infty[</math> est un ouvert une union d'intervalles ouverts <math>\underset{n\in \N}\cup ]0;n[</math>. Son intérieur est donc lui-même, son adhérence est <math>\R^+</math>, et sa frontière est <math>\{0\}</math>.
#<math>\Q</math> n'est ni ouvert ni fermé. En effet, chaque intervalle non vide de <math>\R</math> rencontre à la fois <math>\Q</math> et son somplémentaire. Son adhérence esr <math>\R</math> car <math>\Q</math> est dense dans <math>\R</math>, son intérieur est vide d'après la remarque que nous venons de faire, donc sa frontière est <math>\R</math>.
}}
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