« Sommation/Formule du binôme » : différence entre les versions
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== Puissances impaires et carrés ==
Pour <math>n=2m+1</math> , les termes peuvent se regrouper et étonnamment faire apparaître des carrés
{{lemme
| titre = Formules des puissances impaires <math> n=2m+1 </math>
| contenu =
<math> (x-y)^n=x f(x,y)^2-y f(y,x)^2, ~~~~~f(x,y) =\sum_{k=0}^m {n \choose 2k} x^{m-k} y^k </math>
}}Exemples dans l'anneau <math>\mathbb{Z}</math>:<math display="block">\begin{array}{lll}
17^3&= (5+12)^3 = 5\times 31^2 &+ 12\times 3^2\\
17^5&= (5+12)^5 = 5\times 145^2 &+ 12\times 331^2\\
17^7&= (5+12)^7 = 5\times 6929^2&+ 12\times 3767^2\\
17^9&=(5+12)^9 = 5\times 138911^2&+ 12\times 42921^2
\end{array}
</math>{{démonstration|contenu=En séparant les termes pairs et impairs dans la formule du binôme :
<math display="block">(x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k
= \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m+1-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k+1}</math>
<math display="block">(x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k}</math>
Par symétrie du [[coefficient binomial#Combinatoire et statistique|coefficient binomial]] :
<math display="block">(x-y)^n=x f(x^2,y^2)-y f(y^2,x^2), f(x,y)=\sum_{k=0}^{m} {n \choose 2k} x^{m-k} y^{k}</math>
qu'on peut également écrire en prenant <math> -y </math>
<math display="block">(x+y)^n=x f(x^2,y^2)+y f(y^2,x^2) </math>
En multipliant les deux dernières expressions, on obtient :
<math display="block">(x^2-y^2)^n=x^2f(x^2,y^2)^2-y^2 f(y^2,x^2)^2 </math>
D'où la formule en substituant <math> (x,y) </math> à <math> (x^2,y^2) </math> .}}
Comme on peut le remarquer dans l'exemple, on a en plus le résultat général suivant:<math display="block">x \wedge 2y=1 \Rightarrow f(x,2y) \wedge f(2y,x)=1</math>{{démonstration|contenu=Soient <math>(x,y) </math> deux entiers de parité différentes.
Dans ce cas, <math>f(x,y) </math> et <math>f(y,x) </math> sont impairs. Considérons <math>p </math> un diviseur premier impair commun. On a donc <math>f(x,y) \equiv f(y,x) \equiv 0 ~[p] </math> . La formule des carrés implique alors <math>x \equiv y ~[p] </math>
En réinjectant dans la définition de <math>f</math>, on obtient:
<math>f(x,y) \equiv \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{m-k} x^{k} \equiv x^m \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} \equiv x^m 2^{m-1}~[p] </math>
Par conséquent <math>f(x,y) \equiv 0 \Rightarrow x \equiv 0 ~[p] </math>. Même résultat pour <math>y </math>
Ainsi tout diviseur premier commun à <math>f(x,y) </math> et <math>f(y,x) </math> divise aussi <math>x </math> et <math>y </math>.}}
Enfin, on peut aussi donner une condition de coprimalité entre <math>x</math> et <math>f(x,y)</math>:<math display="block">x \wedge ny=1 \Rightarrow x \wedge f(x,y)=1</math>{{démonstration|contenu=En reprenant la définition, <math>f(x,y) </math> s'écrit sous la forme <math>f(x,y)=ny^m +xP(x,y) </math> . Si <math> x \wedge ny^m =1 </math>, alors <math> x \wedge f(x,y)=1 </math>, le pgcd étant conservé par ajout de multiples de <math>x</math>}}
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