« Fonction logarithme/Utilisation du logarithme pour la recherche de primitives » : différence entre les versions

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Ligne 19 :
:<math>f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}</math>}}
 
Cette formule permet de déterminer certaines primitives, en mettant la fonction de départ sous la forme ''u’/u'',

quitte à « compenser » par une constante multiplicative.
 
===Inverse d’un fonction affine===
Ligne 27 ⟶ 29 :
*<math>f(x) = \frac{4}{{4x - 3}}</math>
 
:<math>u(x) = ..............................\,</math> ; <math>u '(x) = ...................\,</math>
u(x) = ……………… ; u’(x) = ………………..
 
donc F(x) = ………………………….
donc <math>F(x) = ...........................\,</math>
 
*<math>f(x) = \frac{1}{{2x + 1}}</math>
 
:<math>u(x) = ..............................\,</math> ; <math>u '(x) = ...................\,</math>
u(x) = ……………… ; u’(x) = ………………..
 
donc <math>F(x) = ...........................\,</math>
 
donc F(x) = ………………………….
 
*<math>f(x) = \frac{{ - 3}}{{4x - 3}}</math>
 
:<math>u(x) = ..............................\,</math> ; <math>u '(x) = ...................\,</math>
u(x) = ……………… ; u’(x) = ………………..
 
donc F(x) = ………………………….
 
donc <math>F(x) = ...........................\,</math>
 
''Remarque :'' La fonction logarithme est indispensable au calcul de ces primitives.
Ligne 49 ⟶ 52 :
*<math>f(x) = \frac{{2x + 4}}{{x^2 + 4x - 3}}</math>
 
:<math>u(x) = ..............................\,</math> ; <math>u '(x) = ...................\,</math>
u(x) = ……………… ; u’(x) = ………………..
 
donc <math>F(x) = ...........................\,</math>
 
donc F(x) = ………………………….
 
*<math>f(x) = \frac{{x - 2}}{{x^2 - 4x + 1}}</math>
 
:<math>u(x) = ..............................\,</math> ; <math>u '(x) = ...................\,</math>
u(x) = ……………… ; u’(x) = ………………..
 
donc <math>F(x) = ...........................\,</math>
 
donc F(x) = ………………………….
 
===Primitive prenant une valeur fixée===
 
''Rappel'' : Deux nombres réels ''a'' et ''b'' étant fixés, il existe une unique primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(a) = b''. Autrement dit, fixer une valeur suffit à fixer la primitive.
{{Propriété|contenu=
 
''Rappel'' : Deux nombres réels ''a'' et ''b'' étant fixés, il existe une unique primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(a) = b''. Autrement dit, fixer une valeur suffit à fixer la primitive.}}
 
''Problématique :'' On désire trouver la primitive ''F'' telle que ''F(a) = b'' en fixant correctement la constante ''K''.
 
*<math>f(x) = \frac{{x^2 }}{{x^3 + 1}}\,</math>
 
Déterminer la primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''<math>F(2) = -3''\,</math>.
 
avec <math>u(x) = ................</math> donc <math>F(x) = ................. + K\,</math>
Déterminer la primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(2) = -3''.
avec u(x) = ……………….. donc F(x) = ………………….. + K
 
<math>F(2) = ................... = ...............\,</math> donc <math>K =...................\,</math>
F(2) = ………………………….. = ……………………… donc K = ………………….
 
Donc <math>F(x) = ...............................\,</math>
Donc F(x) = …………………………..
 
*<math>f(x) = \frac{{ - x}}{{x^2 + 5}}\,</math>
 
Déterminer la primitive ''<math>F''\,</math> de ''<math>f''\,</math> telle que ''<math>F(-1) = 3''\,</math>.
 
avec <math>u(x) = ……………….....................\,</math> donc <math>F(x) = …………………...................... + K\,</math>
 
<math>F(2) = ................... = ....................\,</math> donc <math>K =..................\,</math>
F(2) = ………………………….. = ……………………… donc K = ………………….
 
donc <math>F(x) = ............................\,</math>
donc F(x) = …………………………..
 
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