« Fondements des mathématiques/Preuve formelle de la cohérence de l'arithmétique formelle » : différence entre les versions
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Ligne 1 :
La théorie
Il faut montrer que l’ensemble des axiomes de ''AF'' est inclus dans l’ensemble ''VAF'' des vérités du modèle
== Pourquoi prouver des évidences ? ==
Les 13 axiomes de AF qui traduisent les 13 règles de production de VAF0 sont évidemment vrais de VAF0. Les moyens de preuve de Finitaire 1 sont suffisants pour établir cette évidence. Quand on écrit une telle preuve formelle, on ne cherche qu’en apparence à prouver l’évidence. Mais ce qu’on fait en vérité c’est éprouver l’efficacité de la formalisation. Si les règles permettent de prouver des évidences, c’est un bon signe. Si elles ne le pouvaient pas, elles seraient très insuffisantes. En prouvant formellement des évidences on cherche à prouver la qualité de la formalisation mais pas les évidences que l’on prouve cependant.▼
▲Les 13 axiomes de ''AF'' qui traduisent les 13 règles de production de
== La vérité de AF1 ==▼
La preuve suivante de la vérité de l’axiome AF1 qui traduit la règle R1 de VAF0 a une valeur générale. N’importe quel axiome qui traduit une règle de production d’un modèle est vrai pour ce modèle, et la preuve de ceci peut être formalisée dans Finitaire1.▼
AF1 (pour tout x)(pour tout y)(si x=y alors sx=sy)▼
▲La preuve suivante de la vérité de l’axiome ''AF1'' qui traduit la règle
AF1 est représenté par▼
a(rttx)asss(rttx)a(rnon)a(ret)b(a(r=)b(rx)sss(rx))a(rnon)a(r=)b(a(rs)(rx))a(rs)sss(rx)▼
▲:<code>a(rttx)asss(rttx)a(rnon)a(ret)b(a(r=)b(rx)sss(rx))a(rnon)a(r=)b(a(rs)(rx))a(rs)sss(rx)</code>
Il faut prouver que AF1 est dans VAF. Montrons qu’il est dans VAF5.▼
▲Il faut prouver que
:''VAF<sub>5</sub>'' <math>\overset{\overset{def}{=}}{\,}</math> Union(non-V-Prod(''AAF<sub>4</sub>'', ''VAF<sub>4</sub>'', ''FAF<sub>4</sub>''), et-V-Prod(''AAF<sub>4</sub>'', ''VAF<sub>4</sub>'', ''FAF<sub>4</sub>''), ou-V-Prod(''AAF<sub>4</sub>'', ''VAF<sub>4</sub>'', ''FAF<sub>4</sub>''), ex-V-Prod(''AAF<sub>4</sub>'', ''VAF<sub>4</sub>'', ''FAF<sub>4</sub>''), tt-V-Prod(''AAF<sub>4</sub>'', ''VAF<sub>4</sub>'', ''FAF<sub>4</sub>'') )
Montrons que ''AF<sub>1</sub>'' est dans tt-V-Prod(''AAF<sub>4</sub>'', ''VAF<sub>4</sub>'', ''FAF<sub>4</sub>'')
tt-V-Prod(AAF4, VAF4, FAF4) =def Extension de (Il existe Z’, Z’’, Z’’’, Z’’’’ tels que Z’ Dans Var Et Z’’ Dans AAF4 Et Z’’’ Dans PAF Et Z’’’’ Dans N Et Z Dans PAF Et Z Egale assZ’Z’’’ Et CZ’’CZ’’’’CZZ’’’ Dans Sub) Moins tt-F-Prod(FAF4)▼
:tt-
▲
AF1 = ass(rx)asss(rttx)a(rnon)a(ret)b(a(r=)b(rx)sss(rx))a(rnon)a(r=)b(a(rs)(rx))a(rs)sss(rx)▼
:''AF<sub>1</sub>'' = <code>ass(rx)asss(rttx)a(rnon)a(ret)b(a(r=)b(rx)sss(rx))a(rnon)a(r=)b(a(rs)(rx))a(rs)sss(rx)</code>
Il suffit de choisir ▼
▲Il suffit de choisir :
Z’ = rx ▼
▲:Z’ = <code>rx </code>
▲Z’’ = asss(rttx)a(rnon)a(ret)b(a(r=)bosss(rx))a(rnon)a(r=)b(a(rs)oa(rs)sss(rx)
▲
Z’’’’ = o▼
▲:Z’’’’ = <code>o</code>
Il reste à montrer que AF1 n’est pas dans tt-F-Prod(FAF4).▼
Prouvons (i)▼
▲Prouvons (''i'') :
:(''i'') Pour tout z’, z’’, z’’’, z’’’’, si z’ est dans Var, z’’ est dans
On peut prouver facilement si z ≠ rx alors
▲On peut prouver facilement si z ≠ rx alors AF1 ≠ assz’z’’’, il reste à montrer que AF1 ≠ ass(rx)z’’’.
▲Supposons AF1 = ass(rx)z’’’ (hyp).
Alors
:z’’’ = <code>asss(rttx)a(rnon)a(ret)b(a(r=)b(rx)sss(rx))a(rnon)a(r=)b(a(rs)(rx))a(rs)sss(rx)</code>
:z’’= <code>asss(rttx)a(rnon)a(ret)b(a(r=)bz’’’sss(rx))a(rnon)a(r=)b(a(rs)z’’’a(rs)sss(rx)</code>
On veut déduire une contradiction à partir de ''hyp''. Il suffit de prouver que z’ n’est pas dans
Montrons que z’ n’est pas dans tt-F-Prod(
Le même raisonnement que ci-dessus peut être répété et on est conduit à vouloir prouver que :
:non-F-Prod(
:non-P-Prod =def Fonction a(rnon)X
On veut alors montrer que <code>a(ret)b(a(r=)bxy)a(rnon)a(r=)b(a(rs)x)a(rs)y</code> n’est pas dans
La définition de
La définition de
:Prod =def Fonction Prod1(X) Union (Prod2(X) Union (Prod3(X) Union ... Prod13(X) ))
Supposons que <code>a(r=)bxy</code> soit dans
Il y a un w tel que <code>a(r=)bxy</code> est dans w et w est dans Ensemble induit par Singleton de Prod à partir de Singleton de Singleton de a(r=)boo
Im par Prod de w est aussi dans Ensemble induit par Singleton de Prod à partir de Singleton de Singleton de a(r=)boo
Ligne 95 ⟶ 92 :
Im par Prod1 de w est donc inclus dans Im par Prod de w
:Prod1 =def Fonction Extension de (Il existe un Z’ tel que Z’ Dans X Et CZ’Z Dans Inst-R1)
:Inst-R1 =def Ensemble-image par Rep-R1 de Produit cartésien de Tconst et Tconst
:Rep-R1 =def Fonction C(a(r=)bXX’)(a(r=)b(a(rs)X)a(rs)X’)
<code>C(a(r=)bxy)a(r=)b(a(rs)x)a(rs)y</code> est dans Inst-R1 puisque x et y sont dans N et que N est inclus dans Tconst.
On en conclut que <code>a(r=)b(a(rs)x)a(rs)y</code> est dans Im par Prod1 de w et donc dans
Cela termine cette preuve de la vérité de
== La vérité de AF14 ==
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