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« Fonctions d'une variable complexe/Le logarithme complexe » : différence entre les versions

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→‎Le logarithme complexe : re-rédac (coup d'état ?)
Ligne 66 :
{{Définition|titre=Définition du logarithme complexe|contenu=
 
SoitOn définit sur <math>\Omega=\mathbb{C} \backslash \; ]-\infty,0]</math>. Le logarithme complexe est défini comme l'application :
la fonction <math>Log</math>, qu'on appellera '''détermination principale du logarithme complexe''' par :
 
:<math>\mathrm{Ln}Log : \Omega \rightarrow \mathbb{C}</math>
:<math>\mathrm{Ln}\leftLog(z\right)= \ln(|z|)+i \, \mathrm{Arg} \left(z\right) \;</math>▼
 
où <math>ln</math> désigne le logarithme népérien réel usuel.
Avec :
 
▲:<math>\mathrm{Ln}\left(z\right)= \ln(|z|)+i \, \mathrm{Arg} \left(z\right) \;</math>
}}
 
Alors, <math>Log</math> est holomorphe sur <math>\Omega = \mathbb{C} \backslash \; ]-\infty,0]</math>.
 
{{Propriété |titre=Propriétés|contenu=
 
SoitPour <math>\mathrm{Ln}</math> de classetout <math>C_z\infty(in\Omega)</math>, alorson a :
# <math>\mathrm D( Log)\mathrm{Ln},'(z))=\frac{1}{z}</math>,▼
 
# <math>\mathrme^{LnLog(z)}=z</math> est holomorphe sur <math>\Omega</math> ;,
#<math>\mathrm{Ln}Log(e^z)=\in z+2ik2i\pi \;\; \forall \; zmathbb{Z}</math> telspour peu que <math>e^z \in \Omega</math>.▼
▲# <math>\mathrm D( \mathrm{Ln}(z))=\frac{1}{z}</math>
# <math>\exp(\mathrm{Ln}(z))=e^{\mathrm{Ln}(z)}=z \;\; \forall\; z\in\Omega</math>
 
▲#<math>\mathrm{Ln}(e^z)=z+2ik\pi \;\; \forall \; z</math> tels que <math>e^z \in \Omega</math>
}}
==== Dérivées partielles du logarithme complexe ====
 
SoitOn note <math>z=x+yi</math>, pour <math>z \in \mathbb{C}</math>, on a :
 
: <math>\mathrm D_x(\mathrm{Ln}Log(z))=\mathrm D_x(\ln(\sqrt{x^2+y^2})+i \mathrm D_x(\mathrm{Arg}(x+yi))=\frac{x}{x^2+y^2}+i \frac{-y}{x^2+y^2}=\frac{x-yi}{x^2+y^2}</math>
 
:<math>\mathrm D_y(\mathrm{Ln}Log(z))=\mathrm D_y(\ln(\sqrt{x^2+y^2})+i \mathrm D_y(\mathrm{Arg}(x+yi))=\frac{y}{x^2+y^2}+i \frac{x}{x^2+y^2}=\frac{y+xi}{x^2+y^2}</math>
 
Ainsi on<math>Log</math> démontreest facilementholomorphe, la propriété 1 puisque :
 
:<math>\mathrm D_x(\mathrm{Ln}Log(z))+i \mathrm D_y(\mathrm{Ln}Log(z))=\frac{x-yi}{x^2+y^2}+i\frac{y+xi}{x^2+y^2}=0</math>.
 
La propriétédérivée 2de <math>Log</math> se démontrecalcule en appliquant la règle de dérivation des fonctions composées : pour <math>z=x+yi</math> on a :
 
:<math>\mathrm D_x(\mathrm{Ln}Log(z))= \mathrm D_z(\mathrm{Ln}Log(z))\mathrm D_x(z)\,</math>.
 
Ce qui donne : <math>\mathrm D_z(\mathrm{Ln}Log(z))=\frac{\mathrm D_x(\mathrm{Ln}Log(z))}{\mathrm D_x(z)}=\frac{x-yi}{x^2+y^2}=\frac{\bar z}{\bar z z}=\frac{1}{z}</math>.
 
===Puissance généralisée===
 
{{Définition|titre= Puissance généralisée (<math>z^\alpha</math>)|contenu=
Soit <math>\alpha \in \mathbb{C}</math> et <math>z \in \mathbb{C}\backslash \mathbb{R}^{-}</math>, on appelle '''puissance généralisée''' (ou '''détermination/branche principale''') de <math>z^\alpha</math> la fonction définie par : <math>z^\alpha=\exp(\alpha\, LnLog(z))</math>
}}
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