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« Fonctions d'une variable complexe/Formule intégrale de Cauchy » : différence entre les versions

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}}
== La formule intégrale de Cauchy ==
Cette formule est très importante en analyse complexe.
Cette formule est très importante en analyse complexe : elle exprime le fait que la valeur prise par une fonction <math>f</math>, holomorphe sur un ouvert <math>\Omega</math>, en un point <math>z</math> de cet ouvert est entièrement déterminée par le chemin (inclus dans l'ouvert) autour de ce point.
Elle reflète de façon assez fidèle la rigidité du comportement d'une fonction holomorphe.
Celui-ci est entièrement déterminé par les valeurs que prend la fonction sur un seul chemin (à l'image du principe des zéros isolés).
 
 
{{Théorème|titre=Formule intégrale de Cauchy |contenu=
 
Soit ''ƒ'' une fonction holomorphe danssur <math>\Omega</math> et soit <math>z_0 \in \Omega</math>.
 
Soit <math>r>0<r</math> tel que le chemin <math>\operatornamegamma_r=e^{distit}(+z_0\;, t \complement_in [0,2\Omega)pi]</math> etsoit leà cheminvaleurs dans <math>\gamma_rOmega</math> tels(il suffit par exemple, que <math>\gamma_rr</math> \subsetsoit strictement inférieur à la distance qui sépare <math>z_0</math> du bord de l'ouvert <math>\Omega</math>.), alors:
 
<math>\gamma_r(t)=e^{it}+z_0\;, t \in [0,2\pi]</math>, alors:
 
<math>
\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma_r} \frac{f(u)}{z-u-z_0} \mathrm du =\begin{cases}
f(zz_0) & \mbox{si } |z-Z_0z_0|<r \\
0 & \mbox{si } |z-z_0|>r \end{cases}</math>
 
}}
 
Par conséquent, du fait de l'invariance par homotopie de l'intégrale curviligne, si <math>\gamma</math> est un chemin qui "entoure" (il est possible de donner un sens précis à ce terme) le point <math>z_0</math> dans <math>\Omega</math>, <math>\,\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma_r} \frac{f(u)}{u-z_0} \mathrm du</math> donne la valeur de la fonction <math>f</math> en <math>z_0</math>.
 
[[Catégorie:Fonctions d'une variable complexe]]
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