« Axiomes de Peano » : différence entre les versions
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==Introduction==
Un nombre entien naturel est un nombre positif (supérieur ou égal à 0) et sans virgule (qui se forme par addition d'unités) par exemple 1, 12 ou 65536.
==Les Axiomes de Peano==
Leur ensemble est l'ensemble N et est défini par les axiomes de Peano:
#L'ensemble possède un plus petit élémént que l'on note 0 et est infini.
#Chaque élément n possède un successeur que l'on notera S(n) ou n+ et 0 n'est le successeur d'aucun élément.
#Si deux éléments ont le même sucesseur, ils sont égaux.
#Tous sous-ensemble de N contenant 0 et tous les successeurs de ses propres éléments est confondu avec N . ( Axiome de récurrence )
==Quelques conséquences==
* A partir de ces axiomes, nous pouvons démontrer le théorême de récurrence.
* Nous pouvons définir 1 comme le successeur de 0.
:# on montre : <math>\forall a \in N : a + 1 = S(a).</math>
* Nous pouvons définir l''''addition''' par les deux axiomes suivants :
:# <math>\forall (a,b) \in N^2 : a + S(b) = S(a + b).</math>
:# <math>\forall a \in N : a + 0 = a.</math>
* Nous pouvons définir la '''multiplication''' par les deux axiomes suivants :
:# <math>\forall (a,b) \in N^2 : a . S(b) = a + a . b</math>
:# <math>\forall a \in N : a . 0 = 0.</math>
==Conclusion==
C'est axiomes permettent de ''démontrer'', et non plus d'''admettre'', toutes les propriétés des deux opérations de base.
Ainsi il est très facile, voire amusant, de démontrer par des récurrences pour :
*l''''addition''':
**La commutativité
**L'associativité.
*la '''multiplication''':
**La commutativité
**L'associativité
**La distributivité
**La neutralité de 1
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