« Axiomes de Peano » : différence entre les versions
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imported>Tibault m Changement N -> \mathbb{N} |
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Ligne 4 :
==Les Axiomes de Peano==
Leur ensemble est l'ensemble <math>\mathbb{N}</math> et est défini par les axiomes de Peano:
#L'ensemble possède un plus petit élément que l'on note 0 et est infini.
#Chaque élément n possède un successeur que l'on notera S(n) ou n+ et 0 n'est le successeur d'aucun élément.
#Si deux éléments ont le même successeur, ils sont égaux.
#Tout sous-ensemble de <math>\mathbb{N}</math> contenant 0 et tous les successeurs de ses propres éléments est confondu avec <math>\mathbb{N}</math>. (Axiome de récurrence)
==Quelques conséquences==
Ligne 15 :
* Nous pouvons définir 1 comme le successeur de 0.
* Nous pouvons définir l''''addition''' par les deux axiomes suivants :
:# <math>\forall (a,b) \in \mathbb{N}^2 : a + S(b) = S(a + b).</math>
:# <math>\forall a \in \mathbb{N} : a + 0 = a.</math>
:# on montre : <math>\forall a \in \mathbb{N} : a + 1 = S(a).</math>
* Nous pouvons définir la '''multiplication''' par les deux axiomes suivants :
:# <math>\forall (a,b) \in \mathbb{N}^2 : a . S(b) = a + a . b</math>
:# <math>\forall a \in \mathbb{N} : a . 0 = 0.</math>
==Conclusion==
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