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« Triangle rectangle » : différence entre les versions

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{{CoursMathsCollège}}
 
= Vocabulaire dans le triangle rectangle =
 
 
{|
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{{Début cadre|vert}}
'''Définition :''' Dans un triangle rectangle, le plus grand côté
(celui qui est opposé à l'angle droit)
est appelé ''hypoténuse''.
 
 
Si un des angles non droits se note <math> \scriptstyle \widehat {A} </math>,
alors, le côté de l'angle <math> \scriptstyle \widehat {A} </math>
qui n'est pas l'hypoténuse est appelé ''côté adjacent''
à l'angle <math> \scriptstyle \widehat A </math>
 
 
Le troisième côté est alors le ''côté opposé'' à l'angle <math> \scriptstyle \widehat A </math>
{{Fin cadre}}
|
[[Image:Vocabulairetrianglerectangle3.jpg]]
|}
 
= Théorème de Pythagore =
 
== Le théorème ==
{{Début cadre|violet}}
 
'''Théorème :''' Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
 
{{Fin cadre}}
 
Par exemple, dans le triangle de la figure précédente, on a l'égalité : <math> AB^2 = AC^2 + BC^2 </math>
 
=== Si vous n'avez jamais entendu parler du carré d'un nombre (par exemple à propos de l'aire d'un disque en cinquième) : une petite mise au point s'impose ===
 
== Applications ==
 
Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d'un côté d'un triangle lorsque l'on connaît les longueurs des deux autres côtés.
 
=== 1er exemple : on connait les longueurs des deux côtés de l'angle droit ===
 
Soit GZK un triangle rectangle en Z et tel que GZ = 6 et ZK = 8.
Le théorème de Pythagore va permettre de calculer GK.
 
 
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[[Image:Exercicepythagore.JPG|300px]]
|
D'après le théorème de Pythagore : <BR>
<math> GK^2 = GZ^2 + ZK^2 </math> <BR>
<math> GK^2 = 6^2 + 8^2 </math> <BR>
<math> GK^2 = 36 + 64 </math> <BR>
<math> GK^2 = 100 </math> <BR>
 
GK est donc un nombre positif (c'est une longueur) dont le carré est égal à 100 : <BR>
<math> GK = 10 </math> <BR>
|}
 
=== 2ème exemple : on connait les longueurs d'un côté de l'angle droit et de l'hypoténuse ===
 
Soit LDS un triangle rectangle en S et tel que LD = 13 et DS = 12.
Le théorème de Pythagore va permettre de calculer LS.
 
 
{|
|
[[Image:Exercicepythagore2.JPG|350px]]
|
D'après le théorème de Pythagore : <BR>
<math> DS^2 + LS^2 = LD^2 </math> <BR>
<math> LS^2 = LD^2 - DS^2 </math> <BR>
<math> LS^2 = 13^2 - 12^2 </math> <BR>
<math> LS^2 = 169 - 144 </math> <BR>
<math> LS^2 = 25 </math> <BR>
 
LS est donc un nombre positif (c'est une longueur) dont le carré est égal à 25 : <BR>
<math> LS = 5 </math> <BR>
|}
 
== Racine carrée ==
 
{{Début cadre|vert}} '''Définition :''' Le nombre positif dont le carré vaut <math> a </math> est appelé racine carré de <math> a </math> et est noté <math> \scriptstyle \sqrt{a} </math>
{{Fin cadre}}
 
=== Exemple ===
 
<math>\sqrt{9} = 3\ car \ 3^2= 9</math>
 
=== Faites des [[CMC/4ème/Triangle rectangle/exercices|exercices]] de calcul de racines carrées à la calculatrice ===
 
En général, il n'est pas simple de calculer la racine carrée d'un nombre. Pour en obtenir une valeur (souvent approchée), on utilise la touche <math> \scriptstyle \sqrt{\quad} </math> de la calculatrice.
 
== Montrer qu'un triangle n'est pas rectangle ==
 
Le théorème de Pythagore peut être utile pour démontrer qu'un triangle dont on connait les longueurs des trois côtés n'est pas un triangle rectangle.
 
Par exemple, considérons le triangle JML tel que JM = 4, ML = 6 et JL = 7.
 
 
{|
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[[Image:Exercicepythagore3.JPG]]
|
Si ce triangle était rectangle, l'hypoténuse serait le côté [JL] puisqu'il a la plus grande longueur.
<math> JL^2 = 49 </math> <BR>
<math> JM^2 + ML^2 = 16 + 36 = 52 </math> <BR>
 
Si le triangle était rectangle, d'après le théorème de Pythagore, les deux nombres ci-dessus devraient être égaux. Comme il ne le sont pas, le triangle JML n'est pas rectangle.
|}
 
=== On peut expliquer cette technique en énonçant la [[CMC/4ème/Triangle rectangle/approfondissements|contraposée]] du théorème de Pythagore ===
 
== Liens utiles ==
 
* sur le site des [http://perso.orange.fr/therese.eveilleau/ Mathématiques Magiques] :
 
Des animations, des trucs : [http://perso.orange.fr/therese.eveilleau/pages/truc_mat/pythagor/textes/vasques.htm les vasques] ; [http://perso.orange.fr/therese.eveilleau/pages/truc_mat/textes/corde.htm la corde égyptienne].<BR>
Des puzzles illustrant le théorème de Pythagore : Puzzle [http://perso.orange.fr/therese.eveilleau/pages/jeux_mat/puzzles/puzzle-perigal.htm de Périgal] ; puzzle [http://perso.orange.fr/therese.eveilleau/pages/jeux_mat/puzzles/puzzle-bhaskara.htm de Bhaskara] ; puzzle [http://perso.orange.fr/therese.eveilleau/pages/jeux_mat/puzzles/puzzle-qurra.htm de Qurra] ; puzzle [http://perso.orange.fr/therese.eveilleau/pages/jeux_mat/puzzles/puzzle-4-pythagore.htm à quatre pièces].
 
 
* Des activités et exercices sur le théorème de Pythagore :
[http://mathenpoche.sesamath.net/4eme/pages/geometrie/chap1/serie3/index.html MathenPoche].
 
= Réciproque du théorème de Pythagore =
 
== La réciproque ==
Le théorème de Pythagore nous affirme que si un triangle est rectangle, une relation est vérifiée.
On peut se poser la question suivante : "Est ce que tous les triangles qui vérifient cette relation sont des triangles rectangles ?". La réponse est oui et cette propriété est appelée "réciproque du théorème de Pythagore".
 
{{Début cadre|violet}}'''Théorème :'''Si un triangle ABC vérifie la relation : <math> AB^2 = AC^2 + BC^2 </math> alors, c'est un triangle rectangle en C.
{{Fin cadre}}
 
== Application ==
 
La réciproque du théorème de Pythagore est utile pour démontrer qu'un triangle est rectangle.
 
Par exemple, considérons un triangle DEF tel que DE = 17, EF = 15 et DF = 8.
 
 
{|
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[[Image:Exercicerecpythagore.JPG|350px]]
|
Si le triangle est rectangle, son hypoténuse est le côté [DE] puisque c'est le plus grand.
 
<math> DE^2 = 17^2 = 289 </math> <BR>
<math> EF^2 + DF^2 = 225 + 64 = 289 </math> <BR>
 
Les deux expressions sont égales, donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DEF est rectangle en F.
|}
 
= Cercle circonscrit d'un triangle rectangle =
 
== Le théorème ==
 
 
{|
| {{Début cadre|violet}} '''Théorème :''' Le centre du cercle circonscrit d'un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse
{{Fin cadre}}
 
Dans la pratique, quand le triangle est rectangle, il n'est donc pas nécessaire de tracer deux médiatrices pour localiser le centre du cercle circonscrit.
| [[Image:Cerclecirconscritrectangle.JPG|300px]]
|}
 
== Conséquence sur la médiane ==
 
 
{|
| {{Début cadre|violet}} '''Propriété :''' Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane issue de l'angle droit est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.
{{Fin cadre}}
|
[[Image:Medianetrianglerectangle.JPG]]
|}
 
= Triangle inscrit dans un cercle de diamètre l'un de ses côtés =
 
 
{|
| {{Début cadre|violet}}'''Théorème :'''Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un des côtés de ce triangle est le diamêtre de ce cercle, alors le triangle est rectangle
{{Fin cadre}}
 
Ce théorème peut également être formulé ainsi :
 
{{Début cadre|violet}}
'''Propriété :'''Si on joint à la règle un point d'un cercle aux extrémités d'un diamètre de ce cercle
alors le triangle ainsi formé est un triangle rectangle en ce point.
{{Fin cadre}}
|
[[Image:Cerclecirconscritrectangle.JPG|300px]]
|}
 
[[Catégorie:Mathématiques]]
[[Catégorie:Cours de mathématiques niveau quatrième (France)|Triangles rectangles]]
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