« Nombre entier relatif » : différence entre les versions

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{{Entête de leçon
|idfaculté=maths
}}
{{cadre|couleur fond=#ffffff}}
== Introduction ==
{{Liste de chapitres
|idfaculté=maths
|1=[[/représentation]]
|2=[[/addition]]
|3=[[/multiplication]]
|annexe1=[[...]]
|exo1=[[...]]
}}
<div style="margin:2em 0; font-size: 140%; font-family:Times, Serif; font-style: italic;">
<blockquote>
Les nombres relatifs sont étudiés en raison de l'intérêt de pouvoir considérer comme "négatives" des quantités qui manquent, et de les intégrer ainsi dans les mêmes calculs que les quantités positives.
</blockquote>
</div>
 
====Niveau et prérequis conseillés====
[[Catégorie:Page importée depuis Wikibooks]]
Ce cours est du niveau '''Simple'''
 
Prérequis conseillés : '''[[Introduction aux mathématiques élémentaires]]'''
{{CoursMathsCollège}}
 
====Référents====
Il peut être utile, avant d'aborder ce chapitre, de revoir le chapitre sur les relatifs de [[CMC/5ème/Relatifs|cinquième]].
Ces contributeurs sont prêts à vous aider concernant ce cours :
:
[[Utilisateur:Nicostella|Nicostella]] (Prof de maths et développeur de ce cours)
{{clr}}
{{fin}}
 
[[Catégorie:Cours de mathématique niveau simple]]
= Produit de nombres relatifs =
[[Catégorie:Mathématiques]]
 
[[Catégorie:Page importée depuis Wikibooks]]
== Cas du produit de deux nombres ==
 
=== Règle des signes ===
 
 
{|
|
{{Début cadre|violet}}
'''Propriété :'''
* Le produit de deux nombres de même signe est un nombre positif.
* Le produit de deux nombres de signe contraire est un nombre négatif.
{{Fin cadre}}
|
Cette règle peut être résumée par le tableau suivant
{| border="1"
|-----
| rowspan="2" colspan="2" |
| colspan="2" | Signe du premier facteur
|-----
| align="center" | + || align="center" | -
|-----
| rowspan="2" | Signe du deuxième facteur
| align="center" width="50" | + || align="center" | +
| align="center" | -
|-----
| align="center" | - || align="center" | -
| align="center" | +
|}
|}
=== Exemples ===
 
{|
|-----
| width="150" | <math> 3 \times 5 = 15 </math>
| Le résultat est positif car les deux facteurs sont tous les deux positifs.
|-----
| width="150" | <math> (-6) \times (-3) = 18 </math>
| Le résultat est positif car les deux facteurs sont tous les deux négatifs.
|-----
| width="150" | <math> (-4) \times 7 = -28 </math>
| Le résultat est négatif car les deux facteurs sont de signes différents.
|-----
| width="150" | <math> 8 \times (-2) = -16 </math>
| Le résultat est négatif car les deux facteurs sont de signes différents.
|}
 
=== Produits particuliers ===
 
Pour tout nombre relatif a
 
{|
| width = "220" | <math> 1 \times a = a \times 1 = a </math>
| width = "300" | <math> (-1) \times a = a \times (-1) = -a </math>
| width = "300" | <math> 0 \times a = a \times 0 = 0 </math>
|}
 
<math> a^2 = a \times a </math> est toujours positif
 
== Cas général ==
 
{{Début cadre|violet}}
'''Propriété :'''
* Un produit de nombre relatifs est positif s'il y a un nombre pair de facteurs négatifs
* Un produit de nombre relatifs est négatif s'il y a un nombre impair de facteurs négatifs
{{Fin cadre}}
 
'''Exemples'''
 
<math> (-1) \times (-7) \times 2 \times 3 = 42 </math> <BR>
Le résultat est positif car il y a deux facteurs négatifs et deux est un nombre pair.
<math> (-3) \times (-2) \times 2 \times (-5) \times (-1) \times (-3) \times 8 = -1440 </math> <BR>
Le résultat est négatif car il y a cinq facteurs négatifs et cinq est un nombre impair.
 
== Liens utiles ==
 
Pour travailler sur le produit de nombres relatifs, des exercices interactifs et des animations :
 
[http://mathenpoche.sesamath.net/4eme/pages/numerique/chap1/serie2/index.html MathenPoche] ; [http://matoumatheux.info/num/operationsrelatifs/4/multiplication.htm le Matou Matheux] ; [http://www.ac-amiens.fr/pedagogie/maths/123maths/4/relatifs/exo_multi/doc.htm 123math].
 
= Inverse d'un nombre relatif =
 
== Définition de l'inverse ==
{{Début cadre|vert}}
Deux nombres sont inverses l'un de l'autre si leur produit vaut 1
{{Fin cadre}}
 
Calcul de l'inverse :
L'inverse d'un nombre correspond au résultat de la division de 1 par ce nombre.
 
Exemples:
L'inverse de 2 est 0.5 car 1/2=0.5.
L'inverse de 10 est 0.1 car 1/10=0.1.
L'inverse de 1 est 1 car 1/1=1.
L'inverse de 5 est 0.2 car 1/5=0.2.
 
'''Attention''':
Il ne faut pas confondre « inverse » et « opposé ».
L’opposé de 2 est -2. L'inverse de 2 est 0,5.
 
{{Début cadre|violet}}
'''Théorème''' : Un nombre relatif et son inverse ont même signe.
{{Fin cadre}}
 
'''Exemples'''
 
L'inverse de -2 est -0,5, ils sont tous deux négatifs.
 
L'inverse de 10 est 0,1, ils sont tous deux positifs.
 
L'inverse de -0,25 est -4, ils sont tous deux négatifs.
 
== Inverse et division ==
 
Calculons :
 
<math>5 \times 0,5 = 2,5\,</math>
 
<math>5 \div 2= 2,5\,</math>
 
Donc multiplier par 0,5 revient à diviser par 2, car 2 est l’inverse de 0,5.
 
{{Début cadre|violet}}
'''Théorème''' : Diviser par un nombre relatif revient à multiplier par son inverse.
{{Fin cadre}}
 
'''Exemples''' : Transformer en multiplications les calculs ci-dessous :
 
<math>10 \div 4 = 10 \times 0,25</math>
 
<math>-15 : 5 = .................\,</math>
 
<math>222 : (-10) = ................\,</math>
 
<math>-25 : (-2) = .................\,</math>
 
<math>-24 : 100 = ..................\,</math>
 
Comme un nombre et son inverse ont même signe, la règle des signes pour la division sera la même que celle de la multiplication.
 
= Quotient de deux nombres relatifs =
 
== Règle des signes ==
 
La règle des signe est la même que pour le produit.
{{Début cadre|violet}}
'''Propriété :'''
* Le quotient de deux nombres de même signe est un nombre positif.
* Le quotient de deux nombres de signe contraire est un nombre négatif.
 
{{Fin cadre}}
 
== Exemples ==
 
 
{|
|-----
| width="150" | <math> {7 \over 2} = 3,5 </math>
| Le résultat est positif car le numérateur et le dénominateur sont tous les deux positifs.
|-----
| width="150" | <math> {(-6) \over (-3)} = 2 </math>
| Le résultat est positif car le numérateur et le dénominateur sont tous les deux négatifs.
|-----
| width="150" | <math> {(-1) \over 8} = -0,125 </math>
| Le résultat est négatif car le numérateur et le dénominateur sont de signes différents.
|-----
| width="150" | <math> {5 \over (-3)} \simeq - 1,6667 </math>
| Le résultat est négatif car le numérateur et le dénominateur sont de signes différents.
|}
 
== Quotients particuliers ==
Pour tout nombre relatif <math>a \,</math> ; <math> {a \over 1} = a </math>
 
Pour tout nombre relatif non nul <math>a\, </math> ; <math> {a \over a} = 1 </math> et <math> {0 \over a} = 0 </math>
 
Remarque : Diviser par 0 est impossible, ainsi <math> {a \over 0} </math> n'existe pas.
 
== Liens utiles ==
 
Pour travailler sur le quotient de nombres relatifs, des exercices interactifs et des animations :
 
[http://mathenpoche.sesamath.net/4eme/pages/numerique/chap1/serie3/index.html MathenPoche] ; [http://matoumatheux.info/num/operationsrelatifs/4/quotient.htm#4 le Matou Matheux] ; [http://www.ac-amiens.fr/pedagogie/maths/123maths/4/relatifs/exo_division/doc.htm 123math].
 
[[Catégorie:Cours de mathématiques niveau quatrième (France)|Relatifs]]
[[Catégorie:Mathématiques]]