Utilisateur:Crocblanc77/CoursPhysique/MomentCinétique

Moment d'une force

Une force est caractérisée par :

• Le vecteur force :
  • sa direction
  • son sens
  • sa norme

• Son point d'application M

Moment par rapport à un point

Définition

Le moment de ${\overrightarrow {F}}$ caractérise l'aptitude de cette force à faire tourner le point M autour d'un point où d'un axe.

Il est donc défini relativement à un point O, centre de cette rotation.

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{O}^{\vec {F}}}}(M)={\overrightarrow {OM}}\wedge {\overrightarrow {F}}$

Ceci est le moment de ${\overrightarrow {F}}$ en M, par rapport à O.

Conséquences directes

• Si la direction de F est selon ${\overrightarrow {OM}}$, alors :

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{O}^{\vec {F}}}}(M)=0$

• Si M=O, alors de même :

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{O}^{\vec {F}}}}(M)=0$

• Soit $d\,$ la distance de O à M et $\theta \,$ l'angle $({\overrightarrow {OM}};{\overrightarrow {F}})$

Dans ce cas: $||{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{O}^{\vec {F}}}}(M)||=d\times ||{\overrightarrow {F}}||\times \sin {\theta }$

Ce moment est maximal quand ${\overrightarrow {F}}\bot {\overrightarrow {OM}}$

Moment par rapport à un axe

Définition

Soit $\Delta \,$ un axe dirigé par un vecteur unitaire ${\overrightarrow {\Delta }}$.

Par définition, le moment de ${\overrightarrow {F}}$ en M par rapport à $\Delta \,$ vaut :

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{\Delta }^{\vec {F}}}}(M)={\overrightarrow {\Delta }}.({\overrightarrow {HM}}\wedge {\overrightarrow {F}})$

où H est le projeté de M sur $\Delta \,$

Conséquences directes

• Si ${\overrightarrow {F}}$ et ${\overrightarrow {\Delta }}$ sont colinéaires :

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{\Delta }^{\vec {F}}}}(M)=0$

• Si M est sur $\Delta \,$ :

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{\Delta }^{\vec {F}}}}(M)=0$

• Si la direction de ${\overrightarrow {F}}$ coupe l'axe $\Delta$ :

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{\Delta }^{\vec {F}}}}(M)=0$

En coordonnées cylindriques

En effectuant l'étude en coordonnées cylindriques, le repère étant défini par $({\overrightarrow {e_{\rho }}},{\overrightarrow {e_{\phi }}},{\overrightarrow {e_{z}}})$, on a:

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{\Delta }^{\vec {F}}}}(M)={\overrightarrow {e_{z}}}.({\overrightarrow {HM}}\bot {\overrightarrow {F}})={\overrightarrow {e_{z}}}.(\rho {\overrightarrow {e_{\rho }}}\wedge (F_{\rho }{\overrightarrow {e_{\rho }}}+F_{\phi }{\overrightarrow {e_{\phi }}}+F_{z}{\overrightarrow {e_{z}}}))$

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{\Delta }^{\vec {F}}}}(M)={\overrightarrow {e_{z}}}.(\rho F_{\phi }{\overrightarrow {e_{z}}}-\rho F_{z}{\overrightarrow {e_{\phi }}})$

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{\Delta }^{\vec {F}}}}(M)=\rho F_{\phi }$