« Fonctions d'une variable complexe/Formule intégrale de Cauchy » : différence entre les versions
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+Représentation intégrale de f et de ses dérivées |
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Par conséquent, du fait de l'invariance par homotopie de l'intégrale curviligne, si <math>\gamma</math> est un chemin qui "entoure" (il est possible de donner un sens précis à ce terme) le point <math>z_0</math> dans <math>\Omega</math>, <math>\,\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma} \frac{f(u)}{u-z_0} \mathrm du</math> donne la valeur de la fonction <math>f</math> en <math>z_0</math>.
==Représentation intégrale d'une fonction et des ses dérivées==
Le théorème suivant donne des informations sur f et sur ses dérivées, la formule établie peut être intuitivement perçue comme une dérivation sous le signe intégrale de l'expression de f(z) obtenue avec la formule de Cauchy : <math>\,D(f(z))=\frac{1}{2i\pi}D{\int_{\gamma} \frac{f(u)}{u-z} \mathrm du} =\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma} D{\frac{f(u)}{u-z}} \mathrm du</math>.On peut montrer rigoureusement que dans notre cas la dérivation sous le signe intégrale est possible.
{{Théorème|titre=Représentation intégrale de f et de ses dérivées|contenu=
Soit ''ƒ'' une fonction holomorphe sur <math>\Omega</math> et soit <math>z_0 \in \Omega</math>.
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