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« Fonction logarithme/Étude de la fonction logarithme népérien » : différence entre les versions

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m +Tableaux de variations et de signes
Ligne 1 :
{{Chapitre|titre=Étude de la fonction logarithme népérien|idfaculté=mathématiques|leçon=[[Fonction logarithme]]|numero=2|niveau=12|précédent=[[Fonction logarithme/Propriétés algébriques du logarithme|Propriétés algébriques du logarithme]]|suivant=[[Fonction logarithme/Croissances comparées|Croissances comparées]]}}
{{Chapitre|titre=Propriétés algébriques du logarithme
|idfaculté=mathématiques
|leçon=[[Fonction logarithme]]
|numero=2
|niveau=12
|précédent=[[Fonction logarithme/Propriétés algébriques du logarithme|Propriétés algébriques du logarithme]]▼
|suivant=[[Fonction logarithme/Croissances comparées|Croissances comparées]]
}}
 
==Étude des variations==
 
{{Théorème|contenu=La fonction logarithme népérien est définie sur l’intervalle <math>\left]0;+\infty\right[</math>, sur lequel elle est strictement croissante.▼
{{Théorème|contenu=
 
<math>\begin{array}{c|ccc|}
▲La fonction logarithme népérien est définie sur l’intervalle<math>
\left] {x&0; &&+ \infty } \right]\
\hline
</math>▼
\textrm{Variations~de}~f&&\nearrow&\\
sur lequel elle est strictement croissante.▼
\end{array}
}}
</math>}}
 
</br>
 
{| border="1" width="250"
|width="20"|'''x'''
|width="200"|
|-----
| width="20"|'''''ln'''''
|width="200"|
|}
 
{{boîte déroulante|titre = Démonstration|contenu = ▼
Démonstration : Si x > 0 alors (ln(x))’=1/x >0 donc ln est strictement croissante.
 
▲{{boîte déroulante|titre = Démonstration|contenu =
}}
*Si x > 0 alors <math>\ln'(x)=\frac1x>0</math>
▲sur*Donc lequel elleln est strictement croissante.}}
 
==Courbe représentative==
Ligne 39 ⟶ 23 :
==Étude du signe==
 
<math>\begin{array}{c|ccccc|}
{| border="1" width="250"
x&0&&1&&+\infty\\
|width="20"|'''x'''
\hline
|width="200"|
\textrm{Signe~de}~\ln(x)&&-&0&+&\\
|-----
\end{array}
| width="20"|'''''ln'''''
▲</math>
|width="200"|
 
|}
 
{{boîte déroulante|titre = Démonstration|contenu =
On déduit du tableau de variations
le signe de ln(x) quand x > 0.
Ligne 53 ⟶ 37 :
croissante donc :
*Si 0 < x < 1 alors ln(x) < 0.
*Si x > 1 alors ln(x) > 0.}}
}}
 
==Étude des limites==
Ligne 62 ⟶ 45 :
Comme on sait que ''ln'' est croissante, il suffit de regarder l’évolution de ''ln'' sur une suite de valeurs tendant vers <math>+\infty</math>, par exemple la suite géométrique de raison 2 composée des puissances de 2 .
 
<math>\ln(2n2^n)=\ldotscdots</math> tend vers <math>\ldotscdots</math>. quand ''n'' tend vers <math>+\infty</math>.
 
En conclusion :
 
<math>\lim_{x \to +\infty}\ln(x)=......\cdots</math>
 
===Limite en <math>0^+</math>===
 
Comme on sait que ''ln'' est croissante, il suffit de regarder l’évolution de ''ln'' sur une suite de valeurs tendant vers <math>0^+</math>, par exemple la suite géométrique de raison <math>\frac{1}{2}frac12</math> composée des puissances de <math>\frac{1}{2}frac12</math> .
 
<math>\ln\left(\frac1{2n2^n}\right) = \ldots</math> tend vers <math>\ldots</math> quand ''n'' tend vers <math>0^+</math>.
 
En conclusion :
 
<math>\lim_{x \to +\infty}\ln(x)=......\cdots</math>
 
Compléter le tableau de variations avec ces deux limites.
 
{{boîte déroulante|titre=Tableau de variations complet de la fonction ln|contenu=
===Le nombre e et l’équation ln(x) = 1===▼
<math>\begin{array}{c|ccc|}
x&0&&+\infty\\
\hline
\textrm{Signe~de}~\ln'(x)&&+&\\
\hline
&&&+\infty\\
\textrm{Variations~de}~f&&\nearrow&\\
&-\infty&&
\end{array}
</math>}}
 
▲===Le nombre e et l’équation ln(x) = 1===
D’après le tableau de variations, le nombre ln(x) prend toutes les valeurs réelles quand x varie sur : <math>\left] {0; + \infty } \right]</math>, chacune exactement 1 fois. On dit que ''ln'' est une bijection de <math>\left] {0; + \infty } \right]</math> sur <math>\R</math>.▼
 
▲D’après le tableau de variations, le nombre ln(x) prend toutes les valeurs réelles quand x varie sur : <math>\left] {0; + \infty } \right][</math>, chacune exactement 1 fois. On dit que ''ln'' est une bijection de <math>\left] {[0; + \infty } \right][</math> sur <math>\R</math>.
 
En particulier :
 
{{Théorème|contenu=Il existe un unique nombre, noté ''e'' (nombre de Néper) tel que <math>\ln(e)=1</math>.}}
 
On peut démontrer que ''e'' est irrationnel, de valeur approchée 2,718.}}▼
 
▲On peut démontrer que {{propriété|contenu=''e'' est irrationnel, de valeur approchée 2,718.}}
 
{{Bas de page|idfaculté=mathématiques
|leçon=[[Fonction logarithme]]
|précédent=[[Fonction logarithme/Propriétés algébriques du logarithme|Propriétés algébriques du logarithme]]
|suivant=[[Fonction logarithme/Croissances comparées|Croissances comparées]]}}
 
▲{{Bas de page|idfaculté=mathématiques|leçon=[[Fonction logarithme]]|précédent=[[Fonction logarithme/Propriétés algébriques du logarithme|Propriétés algébriques du logarithme]]|suivant=[[Fonction logarithme/Croissances comparées|Croissances comparées]]}}
[[Catégorie:Fonction logarithme]]
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