« Fonction logarithme/Croissances comparées » : différence entre les versions
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Solutions |
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Ligne 44 :
Déterminer les limites suivantes :
*<math>\lim_{x
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=Comme <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}x=0^+</math>, on a <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{\ln(x)}=+\infty</math>}}
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = Votre solution est bienvenue}}▼
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=
*<math>\lim_{x
{{boîte déroulante|titre
▲*<math>\lim_{x \to + \infty } \frac{{\ln (x)}}{{\sqrt x }} =</math>
Soit <math>x\in\R</math>:
▲{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = Votre solution est bienvenue}}
:<math>\begin{align}
▲*<math>\lim_{x \to + \infty } \frac{x}{{\ln (x^2 )}} = </math>
\frac{\ln(x)}{\sqrt x}&=\frac{\ln(X^2)}X\\
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = Votre solution est bienvenue}}▼
&=\frac{2\ln(X)}X\\
▲*<math>\lim_{x \to + \infty } \frac{{x^2 + 3x + 1}}{{\ln (x)}} = </math>
\end{align}</math>
▲*<math>\lim_{x \to + \infty } (\ln (x) - x) = </math>
Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt x}=\lim_{X\to+\infty}\frac{2\ln(X)}X=0^+</math>}}
*<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\ln(x^2)}</math>
▲{{boîte déroulante|titre
Pour tout <math>x\in\R,~\frac x{\ln(x^2)}=\frac{\sqrt X}{\ln(X)}</math>
Comme <math>\lim_{X\to+\infty}\frac{\ln(X)}{\sqrt X}=0^+</math>, on a <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\ln(x^2)}=\lim_{X\to+\infty}\frac{\sqrt X}{\ln(X)}=+\infty</math>}}
*<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+3x+1}{\ln(x)}</math>
*<math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{\ln(x)}=+\infty</math> donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac {x^2}{\ln(x)}=+\infty</math>
*<math>\lim_{x\to+\infty}{\ln(x)}=+\infty</math> donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac 1{\ln(x)}=0</math>
*Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{\ln(x)}+3\frac x{\ln(x)}+\frac1{\ln(x)}=+\infty</math>}}
*<math>\lim_{x\to+\infty}(\ln(x)-x)</math>
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=Pour tout <math>x\in\R,~\ln(x)-x=\ln(x)\left(1-\frac x{\ln(x)}\right)</math>
*<math>\lim_{x\to+\infty}-\frac x{\ln(x)}=-\infty</math> donc <math>\lim_{x\to+\infty}1-\frac x{\ln(x)}=-\infty</math>
*<math>\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty</math>
Donc <math>\lim_{x\to+\infty}(\ln(x)-x)=-\infty</math>}}
===Remarque===
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