« Fonction logarithme/Croissances comparées » : différence entre les versions

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Solutions
Ligne 44 :
Déterminer les limites suivantes :
 
*<math>\lim_{x \to + \infty } \frac{ x}{{\ln (x)}} =</math>
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=Comme <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}x=0^+</math>, on a <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{\ln(x)}=+\infty</math>}}
 
*<math>\lim_{x \to + \infty } \frac{{\ln (x)}}{{\sqrt x }^2} =</math>
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = Votre solution est bienvenue}}
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=
*<math>\lim_{x \to + \infty } \frac{x}{{\ln (x^2 )}} x= 0</math>
*<math>\lim_{x \to + \infty } (\ln (x) - x) frac1x= 0</math>
*Donc <math>\lim_{x \to + \infty } \frac{{x^2 + 3x + 1}}{{\ln (x)}{x^2} = 0\times0=0</math>}}
 
*<math>\lim_{x \to + \infty } \frac{{\ln (x)}}{{\sqrt x^2 }} = </math>
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu =On Votrepose solution est<math>X=\sqrt bienvenue}}x</math>.
 
*<math>\lim_{x \to + \infty } \frac{{\ln (x)}}{{\sqrt x }} =</math>
Soit <math>x\in\R</math>:
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = Votre solution est bienvenue}}
:<math>\begin{align}
*<math>\lim_{x \to + \infty } \frac{x}{{\ln (x^2 )}} = </math>
\frac{\ln(x)}{\sqrt x}&=\frac{\ln(X^2)}X\\
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = Votre solution est bienvenue}}
&=\frac{2\ln(X)}X\\
*<math>\lim_{x \to + \infty } \frac{{x^2 + 3x + 1}}{{\ln (x)}} = </math>
\end{align}</math>
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = Votre solution est bienvenue}}
 
*<math>\lim_{x \to + \infty } (\ln (x) - x) = </math>
Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt x}=\lim_{X\to+\infty}\frac{2\ln(X)}X=0^+</math>}}
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = Votre solution est bienvenue}}
 
*<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\ln(x^2)}</math>
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu =On Votrepose solution est bienvenue}}<math>X=x^2\,</math>.
 
Pour tout <math>x\in\R,~\frac x{\ln(x^2)}=\frac{\sqrt X}{\ln(X)}</math>
 
Comme <math>\lim_{X\to+\infty}\frac{\ln(X)}{\sqrt X}=0^+</math>, on a <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\ln(x^2)}=\lim_{X\to+\infty}\frac{\sqrt X}{\ln(X)}=+\infty</math>}}
 
*<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+3x+1}{\ln(x)}</math>
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = Votre solution est bienvenue}}
*<math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{\ln(x)}=+\infty</math> donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac {x^2}{\ln(x)}=+\infty</math>
*<math>\lim_{x\to+\infty}{\ln(x)}=+\infty</math> donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac 1{\ln(x)}=0</math>
*Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{\ln(x)}+3\frac x{\ln(x)}+\frac1{\ln(x)}=+\infty</math>}}
 
*<math>\lim_{x\to+\infty}(\ln(x)-x)</math>
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=Pour tout <math>x\in\R,~\ln(x)-x=\ln(x)\left(1-\frac x{\ln(x)}\right)</math>
*<math>\lim_{x\to+\infty}-\frac x{\ln(x)}=-\infty</math> donc <math>\lim_{x\to+\infty}1-\frac x{\ln(x)}=-\infty</math>
*<math>\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty</math>
 
Donc <math>\lim_{x\to+\infty}(\ln(x)-x)=-\infty</math>}}
 
===Remarque===