« Fonction logarithme/Exercices/Étude d'une fonction comprenant un logarithme » : différence entre les versions
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Achèvement |
Tableau de Variations + Réorg exo |
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Ligne 11 :
On admet que le tableau de variation de g est le suivant :
<math>\begin{array}{c|ccccc|}
x&-\infty&&\sqrt2&&+\infty\\
\hline
\textrm{Signe~de}~g'(x)&&-&0&+&\\
\hline
\textrm{Variations~de}~g&&\searrow&&\nearrow&\\
\end{array}
</math>
#En déduire que g est une fonction positive sur l'intervalle I.
{{boîte déroulante|titre=Solution question 1|contenu=<math>\begin{align}
g(\sqrt 2)&=(\sqrt 2)^2+6-4~\ln(\sqrt 2)\\
&=2+6-4~\frac12\ln(2)\\
Ligne 63 ⟶ 31 :
{{cadre simple|contenu=Donc <math>g(\sqrt 2)=8-2\ln(2)</math>}}}}
{{boîte déroulante|titre=Solution question 2|contenu=
*''g'' est décroissante sur <math>]0,\sqrt 2]</math> donc pour tout <math>x \in ]0,\sqrt2[,~g(x) \geq g(\sqrt2)</math>
*''g'' est croissante sur <math>[\sqrt 2,+\infty[</math> donc pour tout <math>x \in [\sqrt2,+\infty[,~g(\sqrt2) \leq g(x)</math>
Ligne 77 ⟶ 43 :
Soit f la fonction définie par pour tout <math>x\in I,~f(x)=\frac x4 -\frac 1{2x}+ \frac{\ln(x)}x</math>
#On note f' la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle I, et <math>\mathcal C</math> la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal d'unité graphique 4 cm.
##Étudier la limite de f en <math>+\infty</math>.
##Étudier la limite de f en 0 et en déduire l'existence d'une asymptote à la courbe C.
##Montrer que pour tout réel x de l'intervalle I, <math>f'(x)=\frac{g(x)}{4x^2}</math>
##Déduire de la partie A le signe de <math>f'(x)</math> pour tout <math>x\in I</math> puis le sens de variation de f sur l'intervalle I.
##Faire le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle I.
#Soit <math>\mathcal D</math> la droite d'équation <math>y = \frac x4</math>
##Montrer que la droite <math>\mathcal D</math> est asymptote à la courbe <math>\mathcal C</math>.
##Montrer que le point d'intersection de <math>\mathcal C</math> et de <math>\mathcal D</math> a pour coordonnées <math>\left(\sqrt{e},\frac{\sqrt{e}}4\right)</math>.
##Sur l'intervalle I, déterminer la position de la courbe <math>\mathcal C</math> par rapport à la droite <math>\mathcal D</math>.
#En utilisant les résultats précédents, tracer avec soin la droite <math>\mathcal D</math> et la courbe <math>\mathcal C</math>.
#On considère la fonction h définie sur l'intervalle I par pour tout <math>x\in I,~h(x)=-\frac1{2x}+\frac{\ln(x)}{x}</math>
##En remarquant que <math>\frac{\ln(x)}x</math> est de la forme <math>u'(x)~u(x)</math>, déterminer une primitive de la fonction h, que l'on notera H.
##Calculer en <math>cm^2</math> l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe <math>\mathcal C</math>, la droite <math>\mathcal D</math> et les droites d'équations <math>x=\sqrt{e}</math> et <math>x=e\,</math>.
{{boîte déroulante|titre=Solution 1.1|contenu=*<math>\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\ln(x)}x =0</math>
*<math>\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac x4 =+\infty</math>
*<math>\lim_{x \rightarrow +\infty} -\frac 1{2x} =0</math>
{{cadre simple|contenu=En additionnant les limites (ce qui est possible dans ce cas), on obtient <math>\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=+\infty</math>}}}}
{{boîte déroulante|titre=Solution 1.2|contenu=*<math>\begin{cases}
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+} \ln(x) =-\infty}\\
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac1x} =+\infty
Ligne 100 ⟶ 76 :
{{cadre simple|contenu=<math>\mathcal C</math> admet pour asymptote au voisinage de 0 la droite d'équation x=0}}}}
{{boîte déroulante|titre=Solution 1.3|contenu=On pose deux fonctions u et v définies par :
*pour tout <math>x\in I,~u(x)=\ln(x)</math>
*pour tout <math>x\in I,~v(x)=x</math>
Ligne 112 ⟶ 86 :
<math>\begin{align}
f'(x)&=\frac14-\frac12
&=\frac14+\frac1{2x^2}+ \frac{\frac1x x-\ln(x)}{x^2}\\
&=\frac{x^2}{4x^2}+\frac2{4x^2}+ \frac{4-4\ln(x)}{4x^2}\\
Ligne 119 ⟶ 93 :
{{cadre simple|contenu=Donc pour tout <math>x\in I,~f'(x)=\frac{g(x)}{4x^2}</math>}}}}
{{boîte déroulante|titre=Solution 1.4|contenu=
*pour tout <math>x \in I,~g(x)>0</math> d'après la partie A
*pour tout <math>x\in I,~4x^2>0</math>
{{cadre simple|contenu=Donc pour tout <math>x\in I, f'(x)>0</math>, donc f est strictement croissante sur I}}}}
{{boîte déroulante|titre=Solution 1.5|contenu=
<math>\begin{array}{c|ccc|}
x&0&&+\infty\\
Ligne 138 ⟶ 111 :
</math>}}
{{boîte déroulante|titre=Solution 2.1|contenu=
*Pour tout <math>x\in I,~f(x)-\frac x4=-\frac 1{2x}+ \frac{\ln(x)}x</math>
<math>\begin{cases}\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\ln(x)}x =0}\\
Ligne 150 ⟶ 119 :
{{cadre simple|contenu=Donc la droite <math>\mathcal D</math> est asymptote à <math>\mathcal C</math> au voisinage de <math>+\infty</math>}}}}
{{boîte déroulante|titre=Solution 2.2|contenu=
*On résout l'équation <math>(E)~:~f(x)=\frac x4</math> d'inconnue <math>x\in I</math> pour trouver l'abscisse du point d'intersection
<math>\begin{align}
(E) &\Leftrightarrow
&\Leftrightarrow -\frac 12+
&\Leftrightarrow \ln(x)=\frac12\\
&\Leftrightarrow x=\sqrt e\\
Ligne 166 ⟶ 133 :
{{cadre simple|contenu=Donc le point d'intersection de <math>\mathcal C</math> et de <math>\mathcal D</math> a pour coordonnées <math>\left (\sqrt{e},\frac{\sqrt{e}}4 \right )</math>.}}}}
Soit <math>x \in I</math>:
Ligne 182 ⟶ 147 :
*sur l'intervalle <math>[\sqrt e,+\infty[</math>,<math>\mathcal C</math> est au-dessus de <math>\mathcal D</math>}}}}
{{boîte déroulante|titre=Solution 3|contenu=[[Image:WV-ExoMaths00002.gif]]}}
{{boîte déroulante|titre=Solution 4.1|contenu=
Séparons la fonction à intégrer en deux parties :
:<math>h
Avec :
:<math>h_1
:<math>h_2
Comme une primitive sur I de <math>x \mapsto \frac 1x</math> est <math>x \mapsto \ln(x)</math>, on trouve une primitive <math>H_1\,</math> de <math>h_1\,</math> sur I :
<math>H_1
Pour la seconde, nous allons utiliser l'indication. Quelles sont les fonctions dont la dérivée est de la forme ''u'.u'' ? Si on ne s'en souvient pas, il est possible de repartir de la dérivée du produit ''uv'' :
Ligne 204 ⟶ 164 :
Lorsque ''u = v'', cela donne en particulier :
:<math>\left(u^2 \right)'
Par conséquent, à un facteur 2 près, une primitive de ''u'.u'' est ''u²''.
Ligne 221 ⟶ 181 :
{{cadre simple|contenu=Finalement, une primitive de h est <math>H:x \mapsto \frac12\ln(x)^2-\frac12 \ln(x)=\frac{\ln(x)}2(\ln(x)-1)</math>}}}}
{{boîte déroulante|titre=Solution 4.2|contenu=
[[Image:WV-ExoMaths00003.gif]]
Ligne 235 ⟶ 194 :
&=\int_{\sqrt e}^e \frac t4-\frac 1{2t}+\frac{\ln(t)}t~\mathrm dt - \int_{\sqrt e}^e \frac t4~\mathrm dt\\
&=\int_{\sqrt e}^e h(t)~\mathrm dt\\
&=\left
&=\frac{\ln(e)}2(\ln(e)-1)-\frac{\ln(\sqrt e)}2(\ln(\sqrt e)-1)\\
&=-\frac{\ln(e)}4 \left (\frac12 \ln(e)-1 \right )\\
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