« Fonction logarithme/Exercices/Étude d'une fonction comprenant un logarithme » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté
Achèvement
Tableau de Variations + Réorg exo
Ligne 11 :
On admet que le tableau de variation de g est le suivant :
 
<math>\begin{array}{c|ccccc|}
{| border="1" width="250"
x&-\infty&&\sqrt2&&+\infty\\
|'''x'''
\hline
|
\textrm{Signe~de}~g'(x)&&-&0&+&\\
{| border="0"
\hline
| width="50"|<math>0\,</math>
\textrm{Variations~de}~g&&\searrow&&\nearrow&\\
| width="50" align="center"|
\end{array}
| align="center" width="50"|<math>\sqrt{2}\,</math>
</math>
| width="50" align="center"|
| align="right" width="50"|<math>+\infty\,</math>
|}
|-----
| '''''Signe de g'(x)'''''
|
{| border="0"
| width="50"|
| align="center" width="50"| <math>-\,</math>
| align="center" width="50"|<math>0\,</math>
| align="center" width="50"| <math>+\,</math>
| width="50" align="right"|
|}
|-----
| '''''Variations de g'''''
|
{| border="0"
|width="50"|
|width="50" align="center"|
|width="50" align="center"|
|width="50" align="center"|
|width="50" align="right"|
|-----
| width="50"|
| width="50" align="center"|<math>\searrow </math>
| width="50" align="center"|
| width="50" align="center"|<math>\nearrow </math>
| width="50" align="right"|
|-----
| width="50"|
| width="50" align="center"|
| width="50" align="center"|
| width="50" align="center"|
| width="50" align="right"|
|}
|}
 
1. #Calculer <math>g(\sqrt 2)</math>.
#En déduire que g est une fonction positive sur l'intervalle I.
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=<math>\begin{align}
 
 
{{boîte déroulante|titre=Solution question 1|contenu=<math>\begin{align}
g(\sqrt 2)&=(\sqrt 2)^2+6-4~\ln(\sqrt 2)\\
&=2+6-4~\frac12\ln(2)\\
Ligne 63 ⟶ 31 :
 
{{cadre simple|contenu=Donc <math>g(\sqrt 2)=8-2\ln(2)</math>}}}}
{{boîte déroulante|titre=Solution question 2|contenu=
 
2. En déduire que g est une fonction positive sur l'intervalle I.
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=
*''g'' est décroissante sur <math>]0,\sqrt 2]</math> donc pour tout <math>x \in ]0,\sqrt2[,~g(x) \geq g(\sqrt2)</math>
*''g'' est croissante sur <math>[\sqrt 2,+\infty[</math> donc pour tout <math>x \in [\sqrt2,+\infty[,~g(\sqrt2) \leq g(x)</math>
Ligne 77 ⟶ 43 :
Soit f la fonction définie par pour tout <math>x\in I,~f(x)=\frac x4 -\frac 1{2x}+ \frac{\ln(x)}x</math>
 
#On note f' la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle I, et <math>\mathcal C</math> la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal d'unité graphique 4 cm.
##Étudier la limite de f en <math>+\infty</math>.
##Étudier la limite de f en 0 et en déduire l'existence d'une asymptote à la courbe C.
##Montrer que pour tout réel x de l'intervalle I, <math>f'(x)=\frac{g(x)}{4x^2}</math>
##Déduire de la partie A le signe de <math>f'(x)</math> pour tout <math>x\in I</math> puis le sens de variation de f sur l'intervalle I.
##Faire le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle I.
#Soit <math>\mathcal D</math> la droite d'équation <math>y = \frac x4</math>
##Montrer que la droite <math>\mathcal D</math> est asymptote à la courbe <math>\mathcal C</math>.
##Montrer que le point d'intersection de <math>\mathcal C</math> et de <math>\mathcal D</math> a pour coordonnées <math>\left(\sqrt{e},\frac{\sqrt{e}}4\right)</math>.
##Sur l'intervalle I, déterminer la position de la courbe <math>\mathcal C</math> par rapport à la droite <math>\mathcal D</math>.
#En utilisant les résultats précédents, tracer avec soin la droite <math>\mathcal D</math> et la courbe <math>\mathcal C</math>.
#On considère la fonction h définie sur l'intervalle I par pour tout <math>x\in I,~h(x)=-\frac1{2x}+\frac{\ln(x)}{x}</math>
##En remarquant que <math>\frac{\ln(x)}x</math> est de la forme <math>u'(x)~u(x)</math>, déterminer une primitive de la fonction h, que l'on notera H.
##Calculer en <math>cm^2</math> l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe <math>\mathcal C</math>, la droite <math>\mathcal D</math> et les droites d'équations <math>x=\sqrt{e}</math> et <math>x=e\,</math>.
 
1.a. Étudier la limite de f en <math>+\infty</math>.
 
{{boîte déroulante|titre=Solution 1.1|contenu=*<math>\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\ln(x)}x =0</math>
*<math>\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac x4 =+\infty</math>
*<math>\lim_{x \rightarrow +\infty} -\frac 1{2x} =0</math>
 
{{cadre simple|contenu=En additionnant les limites (ce qui est possible dans ce cas), on obtient <math>\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=+\infty</math>}}}}
{{boîte déroulante|titre=Solution 1.2|contenu=*<math>\begin{cases}
 
b. Étudier la limite de f en 0 et en déduire l'existence d'une asymptote à la courbe C.
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=*<math>\begin{cases}
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+} \ln(x) =-\infty}\\
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac1x} =+\infty
Ligne 100 ⟶ 76 :
{{cadre simple|contenu=<math>\mathcal C</math> admet pour asymptote au voisinage de 0 la droite d'équation x=0}}}}
 
{{boîte déroulante|titre=Solution 1.3|contenu=On pose deux fonctions u et v définies par :
c. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle I, <math>f'(x)=\frac{g(x)}{4x^2}</math>
 
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=On pose deux fonctions u et v définies par :
*pour tout <math>x\in I,~u(x)=\ln(x)</math>
*pour tout <math>x\in I,~v(x)=x</math>
Ligne 112 ⟶ 86 :
 
<math>\begin{align}
f'(x)&=\frac14-\frac12 \left ( -\frac1{x^2} \right ) + \frac{u'(x) v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}\\
&=\frac14+\frac1{2x^2}+ \frac{\frac1x x-\ln(x)}{x^2}\\
&=\frac{x^2}{4x^2}+\frac2{4x^2}+ \frac{4-4\ln(x)}{4x^2}\\
Ligne 119 ⟶ 93 :
{{cadre simple|contenu=Donc pour tout <math>x\in I,~f'(x)=\frac{g(x)}{4x^2}</math>}}}}
 
{{boîte déroulante|titre=Solution 1.4|contenu=
d. Déduire de la partie A le signe de <math>f'(x)</math> pour tout <math>x \in I</math> puis le sens de variation de f sur l'intervalle I.
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=
*pour tout <math>x \in I,~g(x)>0</math> d'après la partie A
*pour tout <math>x\in I,~4x^2>0</math>
 
{{cadre simple|contenu=Donc pour tout <math>x\in I, f'(x)>0</math>, donc f est strictement croissante sur I}}}}
 
e. Faire le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle I.
{{boîte déroulante|titre=Solution 1.5|contenu=
<math>\begin{array}{c|ccc|}
x&0&&+\infty\\
Ligne 138 ⟶ 111 :
</math>}}
 
{{boîte déroulante|titre=Solution 2.1|contenu=
2. Soit <math>\mathcal D</math> la droite d'équation <math>y = \frac x4</math>
 
a. Montrer que la droite <math>\mathcal D</math> est asymptote à la courbe <math>\mathcal C</math>.
 
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=
*Pour tout <math>x\in I,~f(x)-\frac x4=-\frac 1{2x}+ \frac{\ln(x)}x</math>
<math>\begin{cases}\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\ln(x)}x =0}\\
Ligne 150 ⟶ 119 :
{{cadre simple|contenu=Donc la droite <math>\mathcal D</math> est asymptote à <math>\mathcal C</math> au voisinage de <math>+\infty</math>}}}}
 
{{boîte déroulante|titre=Solution 2.2|contenu=
b. Montrer que le point d'intersection de <math>\mathcal C</math> et de <math>\mathcal D</math> a pour coordonnées <math>\left (\sqrt{e},\frac{\sqrt{e}}4 \right )</math>.
 
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=
*On résout l'équation <math>(E)~:~f(x)=\frac x4</math> d'inconnue <math>x\in I</math> pour trouver l'abscisse du point d'intersection
 
<math>\begin{align}
(E) &\Leftrightarrow -\frac 1frac1{2x}+ \frac{\ln(x)}x=0\\
&\Leftrightarrow -\frac 12+ \ln(x)=0\\
&\Leftrightarrow \ln(x)=\frac12\\
&\Leftrightarrow x=\sqrt e\\
Ligne 166 ⟶ 133 :
{{cadre simple|contenu=Donc le point d'intersection de <math>\mathcal C</math> et de <math>\mathcal D</math> a pour coordonnées <math>\left (\sqrt{e},\frac{\sqrt{e}}4 \right )</math>.}}}}
 
c.{{boîte Surdéroulante|titre=Solution l'intervalle2.3|contenu=On I,étudie déterminerpour la position de la courbetout <math>x\mathcalin CI</math> parle rapportsigne àde la droitel'expression <math>f(x)-\mathcalfrac Dx4</math>.
 
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=On étudie pour tout <math>x \in I</math> le signe de l'expression <math>f(x)-\frac x4</math>.
 
Soit <math>x \in I</math>:
Ligne 182 ⟶ 147 :
*sur l'intervalle <math>[\sqrt e,+\infty[</math>,<math>\mathcal C</math> est au-dessus de <math>\mathcal D</math>}}}}
 
{{boîte déroulante|titre=Solution 3|contenu=[[Image:WV-ExoMaths00002.gif]]}}
3. En utilisant les résultats précédents, tracer avec soin la droite <math>\mathcal D</math> et la courbe <math>\mathcal C</math>.
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=[[Image:WV-ExoMaths00002.gif]]}}
4. On considère la fonction h définie sur l'intervalle I par :
 
<math>h(x) = -\frac{1}{2x}+ \frac{\ln(x)}{x}</math>
 
{{boîte déroulante|titre=Solution 4.1|contenu=
a. En remarquant que <math>\frac{\ln(x)}x</math> est de la forme <math>u'(x)~u(x)</math>, déterminer une primitive de la fonction h, que l'on notera H.
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu =
Séparons la fonction à intégrer en deux parties :
:<math>h\left(x \right) = h_1 \left(x \right) + h_2 \left(x )\right),</math>
Avec :
:<math>h_1 \left(x \right) = - \frac12.\frac 1xfrac1x</math>
:<math>h_2 \left(x \right) = \frac{\ln x}{x}</math>
 
Comme une primitive sur I de <math>x \mapsto \frac 1x</math> est <math>x \mapsto \ln(x)</math>, on trouve une primitive <math>H_1\,</math> de <math>h_1\,</math> sur I :
 
<math>H_1 :x\mapsto -\frac12 \ln(x)</math>
 
Pour la seconde, nous allons utiliser l'indication. Quelles sont les fonctions dont la dérivée est de la forme ''u'.u'' ? Si on ne s'en souvient pas, il est possible de repartir de la dérivée du produit ''uv'' :
Ligne 204 ⟶ 164 :
Lorsque ''u = v'', cela donne en particulier :
 
:<math>\left(u^2 \right)' = 2 u2u' u</math>
 
Par conséquent, à un facteur 2 près, une primitive de ''u'.u'' est ''u²''.
Ligne 221 ⟶ 181 :
{{cadre simple|contenu=Finalement, une primitive de h est <math>H:x \mapsto \frac12\ln(x)^2-\frac12 \ln(x)=\frac{\ln(x)}2(\ln(x)-1)</math>}}}}
 
{{boîte déroulante|titre=Solution 4.2|contenu=
b. Calculer en <math>cm^2</math> l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe <math>\mathcal C</math>, la droite <math>\mathcal D</math> et les droites d'équations <math>x = \sqrt{e}</math> et <math>x = e\,</math>.
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=
[[Image:WV-ExoMaths00003.gif]]
 
Ligne 235 ⟶ 194 :
&=\int_{\sqrt e}^e \frac t4-\frac 1{2t}+\frac{\ln(t)}t~\mathrm dt - \int_{\sqrt e}^e \frac t4~\mathrm dt\\
&=\int_{\sqrt e}^e h(t)~\mathrm dt\\
&=\left [H(t) \right ]^{t=e}_{t=\sqrt e} = H(e)-H(\sqrt e)\\
&=\frac{\ln(e)}2(\ln(e)-1)-\frac{\ln(\sqrt e)}2(\ln(\sqrt e)-1)\\
&=-\frac{\ln(e)}4 \left (\frac12 \ln(e)-1 \right )\\