« Fonction logarithme/Exercices/Une fonction logarithme comme solution d'une équation différentielle » : différence entre les versions
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{{Exercice|align=right|titre=Une fonction logarithme comme solution d'une équation différentielle▼
|idfaculté=mathématiques|leçon=[[Fonction logarithme]]|niveau=13|chapitre=[[Fonction logarithme]]|numero=1}}▼
▲|titre=Une fonction logarithme comme solution d'une équation différentielle
▲|idfaculté=mathématiques|leçon=[[Fonction logarithme]]
On considère la fonction
Ligne 13 ⟶ 11 :
</math>
{{boîte déroulante|titre=Solution question 1|contenu=
On pose deux fonctions ''u'' et ''v'' dérivables telles que
*Pour tout <math>x \in ]-1
*Pour tout <math>x \in ]-1
On écrit que pour tout <math>x \in ]-1
<math>\begin{align}
g(x)&=\frac12 v(u(t))+\frac14\\
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La dérivée de <math>x \mapsto (v \circ u)(x)</math> est <math>x \mapsto u'(x)~v'(u(x))</math>
*Pour tout <math>x \in ]-1
*Pour tout <math>x \in ]-1
*Pour tout <math>x \in ]-1
{{cadre simple|contenu=Finalement, pour tout <math>x \in ]-1;+\infty[, g'(x)=\frac 1{2+2x}</math>}}}}
▲2.Étudier les variations de <math>g\,</math>.
{{boîte déroulante|titre=Solution question 2|contenu=
Pour tout <math>x\in ]-1;+\infty[,~2+2x>0</math>, donc sur l'intervalle de définition, la fonction <math>g'\,</math> est strictement positive. Par conséquent : {{cadre simple|contenu=''g'' est une fonction strictement croissante.}}}}
▲3.Étudier la limite de <math>g\,</math> en <math>-1\,</math>.
{{boîte déroulante|titre=Solution question 3|contenu=
<math>\lim_{t
donc <math>\lim_{x
Donc <math>\lim_{x
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\lim_{x \rightarrow -1^+}
▲4.Étudier la limite de <math>g\,</math> en <math>+\infty</math>
{{boîte déroulante|titre=Solution question 4|contenu=
<math>\lim_{t
donc <math>\lim_{x
Donc <math>\lim_{x
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\lim_{x
▲5.Tracer la courbe représentative de <math>g\,</math>.
{{boîte déroulante|titre=Solution question 5|contenu=[[Image:WV-ExoMaths00001.gif]]}}
▲6.Démontrer que <math>g\,</math> est solution de l'équation différentielle <math>(E)~:~(1+x)~y '+2y=\ln(1+x)</math>
▲{{boîte déroulante|titre=Solution question 6|contenu=Soit <math>x \in ]-1;+\infty[</math>
<math>\begin{align}
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