« Fonction logarithme/Dérivée de ln(u) » : différence entre les versions
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{{Chapitre|titre=Dérivée de ln(u)|idfaculté=mathématiques|leçon=[[Fonction logarithme]]|numero=5|précédent=[[Fonction logarithme/Croissances comparées|Croissances comparées]]|suivant=[[Fonction logarithme/Utilisation du logarithme pour la recherche de primitives|Utilisation du logarithme pour la recherche de primitives]]|niveau=12}}
==Exemple==
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où ''u'' est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle ''I''. Par exemple, la fonction ''ƒ'' définie par :
:pour tout <math>x\in I,~f(x)=\ln(2x+1)</math>
est la fonction composée :
*
*
Or, la fonction ln n'est définie que sur <math>]0;+\infty[</math>. Pour que ''f'' soit définie en <math>x\in\R</math>, il faut et il suffit que <math>u(x)>0\,</math>, c'est-à-dire <math>x>-\frac12</math>.
Le domaine de définition de ''ƒ'' est alors <math>I=\left]-\frac12;+\infty\right[</math>
Pour calculer ''ƒ''', on utilise la formule
:pour tout <math>x\in I,~f'(x)=a\cdot f'(ax+b)\,</math>
D'où l'expression de la dérivée de ''ƒ'' :
:pour tout <math>x\in I,~f'(x)=2\cdot\frac1{2x+1}=\frac2{2x+1}</math>
Ici, <math>u'(x) = a\,</math>, on généralise ce procédé au cas où ''u'' n’est pas forcément affine :
{{Théorème|contenu=Soit une fonction ''ƒ'' définie sur un domaine ''I'' par l'expression
:pour tout <math>x\in I,~f(x)=\ln(u(x))</math>
où ''u'' est dérivable et strictement positive sur ''I'', alors ''ƒ'' est dérivable sur ''I'' et
:pour tout <math>x\in\R,~f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}</math>}}
==Exercices==
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Sans se préoccuper de l’intervalle ''I'', dériver les fonctions ''ƒ'' suivantes :
##<math>u(x)=\ldots</math>
##<math>u'(x)=\ldots</math>
##<math>f'(x)=\ldots</math>
#<math>f(x)=\ln(2x^3+1)\,</math>
#<math>f(x)=\ln(x^2+2x+1)\,</math>
#<math>f(x)=\ln((x+1)^2)\,</math>
#<math>f(x)=\ln\left(\frac{x+2}{4x-2}\right)</math>
#<math>f(x)=\ln(x+2)-\ln(4x-2)\,</math>
#<math>f(x)=-3\ln(5x^2+3)\,</math>
#<math>f(x)=-3x\cdot\ln(5x^2+3)</math>
{{Boîte déroulante|titre=Solutions|contenu=
'''1.''' <math>f(x)=\ln(x^2+1)\,</math>
*<math>u(x)=x^2+1\,</math>
*<math>u'(x)=2x\,</math>
*<math>f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}</math>
*<math>u(x)=2x^3+1\,</math>
*<math>u'(x)=6x^2\,</math>
*<math>f'(x)=\frac{6x^2}{2x^3+1}</math>
*<math>u(x)=x^2+2x+1\,</math>
*<math>u'(x)=2x+2\,</math>
*<math>f'(x)=\frac{2(x+1)}{(x+1)^2}=\frac2{x+1}</math>
'''4.''' <math>f(x)=\ln((x+1)^2)=2\ln(x+1)\,</math>
*<math>u(x)=x+1\,</math>
*<math>u'(x)=1\,</math>
*<math>f'(x)=\frac2{x+1}</math>
'''5.''' <math>\ln\left(\frac{x+2}{4x-2}\right)</math>
<math>u(x)=\frac{x+2}{4x-2}=\frac{v(x)}{w(x)}</math>
<math>\begin{align}u'(x)&=\frac{v'(x)w(x)-v(x)w'(x)}{w^2(x)}\\
&=\frac{1\cdot(4x-2)-(x+2)\cdot4}{(4x-2)^2}\\
&=\frac{-10}{(4x-2)^2}
\end{align}</math>
<math>\begin{align}f'(x)&=\frac{u'(x)}{u(x)}\\
&=\frac{-10}{(4x-2)^2}\times\frac{4x-2}{x+2}\\
&=\frac{-10}{(4x-2)(x+2)}\end{align}</math>
'''6.''' <math>f(x)=\ln(x+2)-\ln(4x-2)=\ln(u(x))-\ln(v(x))\,</math>
*<math>u(x)=x+2\,</math>
*<math>u'(x)=1\,</math>
*<math>v(x)=4x-2\,</math>
*<math>v'(x)=4\,</math>
<math>\begin{align}f'(x)&=\frac{u'(x)}{u(x)}-\frac{v'(x)}{v(x)}\\
&=\frac1{x+2}-\frac4{4x-2}\\
&=\frac{(4x-2)-4(x+2)}{(4x-2)(x+2)}\\
&=\frac{-10}{(4x-2)(x+2)}\\
\end{align}</math>
'''7.''' <math>f(x)=-3\ln(5x^2+3)\,</math>
*<math>u(x)=5x^2+3\,</math>
*<math>u'(x)=10x\,</math>
*<math>f'(x)=\frac{-30x}{5x^2+3}</math>
'''8.''' <math>f(x)=-3x\cdot\ln(5x^2+3)=u(x)\cdot v(x)\,</math>
<math>\begin{align}
f'(x)&=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\
&=-3\ln(5x^2+3)-\frac{30x^2}{5x^2+3}
\end{align}</math>}}
{{principe|titre=Morale|contenu=
On peut remarquer d'emblée que les fonctions 3 et 4 sont égales, ainsi que les fonctions 5 et 6.
Ce qui apparaît dans le calcul de la dérivée, c'est qu'il est souvent plus simple de '''développer l'expression au maximum en utilisant les propriétés de ln avant de dériver''' pour éviter des calculs de dérivée parfois (très) lourds.}}
{{Bas de page|idfaculté=mathématiques|leçon=[[Fonction logarithme]]|précédent=[[../Croissances comparées|Croissances comparées]]|suivant=[[../Utilisation du logarithme pour la recherche de primitives|Utilisation du logarithme pour la recherche de primitives]]}}
[[Catégorie:Fonction logarithme]]
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